La loi de la gravitation universelle

Deux billes d'acier de $1\ \text{kg}$ chacune sont placées de sorte que leurs centres soient distants de $1\ \text{m}$, comme le montre la figure.

Appliquer la loi de la gravitation universelle, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, avec $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, et calculer la force avec laquelle elles s'attirent. Cette force vous semble-t-elle grande ou petite ? Commenter.

Dans la loi de la gravitation universelle, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$ :

1. a) Indiquer ce que représente chaque lettre ($F$, $G$, $M$, $m$ et $r$) et dans quelle unité elle se mesure dans le Système international.
2. b) La valeur de $G$ est $6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, un nombre très petit. Expliquer quelle conséquence cela a sur la force entre des objets de masse ordinaire.

Calculer la force avec laquelle la Terre attire une personne de $50\ \text{kg}$ située à sa surface, comme le montre la figure.

Données : masse de la Terre $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, rayon terrestre $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ et $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Comparer le résultat avec son poids, $P = m\cdot g$ avec $g = 9,8\ \text{m/s}^2$ : que remarque-t-on ?

Quand un stylo vous tombe des mains, la Terre l'attire vers le bas ; mais, d'après la loi de la gravitation universelle, le stylo attire aussi la Terre avec une force de même valeur.

1. a) Pourquoi ne voit-on bouger que le stylo et non la Terre monter à sa rencontre ?
2. b) Le justifier en tenant compte des masses des deux corps et de l'accélération que la même force produit sur chacun.

Deux camarades de classe, de masses $60\ \text{kg}$ et $70\ \text{kg}$, sont assis de sorte que leurs corps soient distants de $1\ \text{m}$ en moyenne. Calculer la force d'attraction gravitationnelle entre eux ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$) et l'exprimer en notation scientifique.

Un livre et l'étagère sur laquelle il est posé s'attirent gravitationnellement, tout comme la Terre et la Lune. Pourtant, on ne voit jamais le livre se déplacer vers l'étagère. En pensant à la valeur de $G$, aux masses des objets et à la formule $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, expliquer pourquoi on ne remarque pas l'attraction gravitationnelle entre les objets du quotidien.

Calculer la force gravitationnelle entre une personne de $80\ \text{kg}$ et un camion de $5000\ \text{kg}$ garé à $10\ \text{m}$ de distance ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$). Ensuite, calculer le poids d'un moustique de $2\ \text{mg}$ de masse ($P = m\cdot g$, avec $g = 9,8\ \text{m/s}^2$ ; attention aux unités) et comparer les deux forces. Quelle conclusion en tirer sur l'attraction gravitationnelle entre des objets du quotidien ?

Deux corps s'attirent avec une force $F$, comme le montre le graphique de la force en fonction de la distance.

Sans changer les masses, on les éloigne jusqu'à ce que la distance entre eux soit doublée. En regardant la formule $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, que vaudra maintenant la force ? Justifier.

Deux astéroïdes s'attirent avec une force $F$.

1. a) Si l'un d'eux avait une masse double, quelle serait la nouvelle force ?
2. b) Et si les deux avaient une masse double ?

Justifier les deux réponses avec la formule de la gravitation universelle.

Deux corps s'attirent avec une force $F$.

1. a) Si la distance entre eux est multipliée par trois, par quel facteur la force change-t-elle ?
2. b) Si, en plus de tripler la distance, on double chacune des deux masses, par quel facteur la force totale change-t-elle ?

Justifier chaque question avec la formule $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.

Un satellite de $500\ \text{kg}$ se trouve à la surface de la Terre, où la planète l'attire avec une force de $4900\ \text{N}$, comme le montre la figure.

1. a) En raisonnant avec le facteur $\frac{1}{r^2}$ de la loi de gravitation, avec quelle force la Terre l'attirera-t-elle lorsqu'il orbitera à une distance du centre de la planète égale au double du rayon terrestre ?
2. b) Si le rayon de la Terre est $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, à quelle altitude au-dessus de la surface se trouvera alors le satellite ?

Calculer la force d'attraction gravitationnelle entre la Terre et la Lune, comme le montre la figure.

Données : masse de la Terre $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, masse de la Lune $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distance moyenne entre leurs centres $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ et $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Exprimer le résultat en notation scientifique, en arrondissant à deux décimales.

Le Soleil maintient la Terre en orbite en l'attirant. Calculer cette force à l'aide des données suivantes : masse du Soleil $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, masse de la Terre $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, distance moyenne entre leurs centres $r = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$ et $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Ensuite, comparer le résultat avec la force Terre–Lune, d'environ $2\cdot10^{20}\ \text{N}$ : combien de fois plus grande est-elle ?

Un satellite géostationnaire de $1000\ \text{kg}$ orbite à une distance du centre de la Terre de $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, comme le montre la figure.

1. a) Calculer la force avec laquelle la Terre l'attire (masse de la Terre $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Comparer cette force au poids du satellite lorsqu'il était à la surface, $P = m\cdot g$ avec $g = 9,8\ \text{m/s}^2$ : combien de fois plus petite est-elle, approximativement ?

À quelle distance du centre de la Terre la force gravitationnelle sur un corps est-elle réduite de moitié par rapport à celle qu'il subit à la surface ?

1. a) Poser l'égalité en utilisant le fait que la force diminue avec $\frac{1}{r^2}$.
2. b) Exprimer $r$ en fonction du rayon terrestre $R_T$ (il apparaîtra un $\sqrt{2}$).
3. c) Avec $R_T = 6370\ \text{km}$, calculer à quelle altitude au-dessus de la surface il faut monter, en kilomètres. Pensez-vous qu'un avion de ligne, qui vole à environ $10\ \text{km}$ d'altitude, ressent cette diminution ? Justifier la réponse.