Exercices: La loi de la gravitation universelle

Deux billes d'acier de $1\ \text{kg}$ chacune sont placées de sorte que leurs centres soient distants de $1\ \text{m}$, comme le montre la figure.

Appliquer la loi de la gravitation universelle, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, avec $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, et calculer la force avec laquelle elles s'attirent. Cette force vous semble-t-elle grande ou petite ? Commenter.

Dans la loi de la gravitation universelle, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$ :

1. a) Indiquer ce que représente chaque lettre ($F$, $G$, $M$, $m$ et $r$) et dans quelle unité elle se mesure dans le Système international.
2. b) La valeur de $G$ est $6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, un nombre très petit. Expliquer quelle conséquence cela a sur la force entre des objets de masse ordinaire.

Deux camarades de classe, de masses $60\ \text{kg}$ et $70\ \text{kg}$, sont assis de sorte que leurs corps soient distants de $1\ \text{m}$ en moyenne. Calculer la force d'attraction gravitationnelle entre eux ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$) et l'exprimer en notation scientifique.

Deux corps s'attirent avec une force $F$, comme le montre le graphique de la force en fonction de la distance.

Sans changer les masses, on les éloigne jusqu'à ce que la distance entre eux soit doublée. En regardant la formule $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, que vaudra maintenant la force ? Justifier.

Deux astéroïdes s'attirent avec une force $F$.

1. a) Si l'un d'eux avait une masse double, quelle serait la nouvelle force ?
2. b) Et si les deux avaient une masse double ?

Justifier les deux réponses avec la formule de la gravitation universelle.

Calculer la force avec laquelle la Terre attire une personne de $50\ \text{kg}$ située à sa surface, comme le montre la figure.

Données : masse de la Terre $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, rayon terrestre $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ et $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Comparer le résultat avec son poids, $P = m\cdot g$ avec $g = 9,8\ \text{m/s}^2$ : que remarque-t-on ?

Un livre et l'étagère sur laquelle il est posé s'attirent gravitationnellement, tout comme la Terre et la Lune. Pourtant, on ne voit jamais le livre se déplacer vers l'étagère. En pensant à la valeur de $G$, aux masses des objets et à la formule $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, expliquer pourquoi on ne remarque pas l'attraction gravitationnelle entre les objets du quotidien.

Quand un stylo vous tombe des mains, la Terre l'attire vers le bas ; mais, d'après la loi de la gravitation universelle, le stylo attire aussi la Terre avec une force de même valeur.

1. a) Pourquoi ne voit-on bouger que le stylo et non la Terre monter à sa rencontre ?
2. b) Le justifier en tenant compte des masses des deux corps et de l'accélération que la même force produit sur chacun.

Calculer la force d'attraction gravitationnelle entre la Terre et la Lune, comme le montre la figure.

Données : masse de la Terre $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, masse de la Lune $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distance moyenne entre leurs centres $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ et $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Exprimer le résultat en notation scientifique, en arrondissant à deux décimales.

Le Soleil maintient la Terre en orbite en l'attirant. Calculer cette force à l'aide des données suivantes : masse du Soleil $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, masse de la Terre $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, distance moyenne entre leurs centres $r = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$ et $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Ensuite, comparer le résultat avec la force Terre–Lune, d'environ $2\cdot10^{20}\ \text{N}$ : combien de fois plus grande est-elle ?

Deux pétroliers jumeaux, de $10^{6}\ \text{kg}$ de masse chacun, sont ancrés avec leurs centres de masse séparés de $100\ \text{m}$.

1. a) Calculer la force gravitationnelle avec laquelle ils s'attirent ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Comparer cette force à celle qu'il faut exercer pour faire glisser une feuille de papier sur une table, de l'ordre de $0,01\ \text{N}$. Les bateaux ressentiront-ils cette attraction ? Justifier.

Deux corps s'attirent avec une force $F$.

1. a) Si la distance entre eux est multipliée par trois, par quel facteur la force change-t-elle ?
2. b) Si, en plus de tripler la distance, on double chacune des deux masses, par quel facteur la force totale change-t-elle ?

Justifier chaque question avec la formule $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.

Un satellite géostationnaire de $1000\ \text{kg}$ orbite à une distance du centre de la Terre de $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, comme le montre la figure.

1. a) Calculer la force avec laquelle la Terre l'attire (masse de la Terre $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Comparer cette force au poids du satellite lorsqu'il était à la surface, $P = m\cdot g$ avec $g = 9,8\ \text{m/s}^2$ : combien de fois plus petite est-elle, approximativement ?

Deux sphères métalliques identiques, dont les centres sont distants de $2\ \text{m}$, s'attirent avec une force de $6,67\cdot10^{-5}\ \text{N}$.

1. a) Écrire la loi de la gravitation universelle en notant $m$ la masse de chaque sphère (les deux sont identiques !).
2. b) Exprimer $m$ à partir de la formule et calculer la masse de chaque sphère ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).

Un satellite de $500\ \text{kg}$ se trouve à la surface de la Terre, où la planète l'attire avec une force de $4900\ \text{N}$, comme le montre la figure.

1. a) En raisonnant avec le facteur $\frac{1}{r^2}$ de la loi de gravitation, avec quelle force la Terre l'attirera-t-elle lorsqu'il orbitera à une distance du centre de la planète égale au double du rayon terrestre ?
2. b) Si le rayon de la Terre est $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, à quelle altitude au-dessus de la surface se trouvera alors le satellite ?

Calculer la force gravitationnelle entre une personne de $80\ \text{kg}$ et un camion de $5000\ \text{kg}$ garé à $10\ \text{m}$ de distance ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$). Ensuite, calculer le poids d'un moustique de $2\ \text{mg}$ de masse ($P = m\cdot g$, avec $g = 9,8\ \text{m/s}^2$ ; attention aux unités) et comparer les deux forces. Quelle conclusion en tirer sur l'attraction gravitationnelle entre des objets du quotidien ?

Nous allons déduire la valeur de $g$ à la surface de la Terre à partir de la loi de la gravitation universelle.

1. a) Écrire la force que la Terre exerce sur un corps de masse $m$ de deux façons : sous la forme $F = m\cdot g$ et sous la forme $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.
2. b) Égaler les deux expressions, simplifier la masse $m$ et exprimer $g$.
3. c) Calculer sa valeur avec $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ et $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Quelle valeur bien connue obtient-on ?

Deux masses fixes, de $100\ \text{kg}$ et $400\ \text{kg}$, sont séparées de $3\ \text{m}$. On veut placer une troisième masse sur la droite qui les relie, entre les deux, de sorte que la force gravitationnelle résultante sur elle soit nulle, comme le montre la figure.

1. a) Si $x$ est la distance de la troisième masse à celle de $100\ \text{kg}$, écrire l'égalité entre les deux forces qui agissent sur elle.
2. b) Résoudre l'équation et calculer $x$ (indice : simplifier d'abord $G$ et la troisième masse, puis prendre les racines carrées).
3. c) Le résultat dépend-il de la valeur de la troisième masse ? Et de $G$ ? Commenter.

À quelle distance du centre de la Terre la force gravitationnelle sur un corps est-elle réduite de moitié par rapport à celle qu'il subit à la surface ?

1. a) Poser l'égalité en utilisant le fait que la force diminue avec $\frac{1}{r^2}$.
2. b) Exprimer $r$ en fonction du rayon terrestre $R_T$ (il apparaîtra un $\sqrt{2}$).
3. c) Avec $R_T = 6370\ \text{km}$, calculer à quelle altitude au-dessus de la surface il faut monter, en kilomètres. Pensez-vous qu'un avion de ligne, qui vole à environ $10\ \text{km}$ d'altitude, ressent cette diminution ? Justifier la réponse.

Le Soleil attire la Lune, et la Terre aussi. Calculer les deux forces sur la Lune avec ces données : masse du Soleil $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, masse de la Terre $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, masse de la Lune $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distance Soleil–Lune $\approx 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$, distance Terre–Lune $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ et $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Combien de fois l'attraction du Soleil sur la Lune est-elle plus grande que celle de la Terre ?
2. b) Si le Soleil attire la Lune avec plus de force, pourquoi la Lune continue-t-elle de tourner autour de la Terre au lieu de partir vers le Soleil ? Indice : penser aux autres corps que le Soleil attire en même temps.

Une exoplanète rocheuse a une masse quatre fois supérieure à celle de la Terre et un rayon double, comme le montre la figure.

1. a) En utilisant $g = \frac{G\cdot M}{R^2}$, justifier par quel facteur l'intensité de la pesanteur à sa surface change par rapport à celle de la Terre.
2. b) Combien pèserait là-bas une astronaute de $60\ \text{kg}$ (prendre l'intensité de la pesanteur terrestre égale à $9,8\ \text{m/s}^2$) ?
3. c) Et si la planète avait une masse quatre fois supérieure mais le même rayon que la Terre ? Calculer le nouveau poids de l'astronaute.

Newton a vérifié sa loi en comparant la chute des objets à la surface avec le mouvement de la Lune.

1. a) Calculer la force que la Terre exerce sur un corps de $1\ \text{kg}$ à sa surface ($r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calculer la force qu'elle exercerait sur ce même corps s'il se trouvait à la distance de la Lune ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$).
3. c) Vérifier que la seconde force est environ $3600$ fois plus petite et relier ce nombre au rapport entre les deux distances, qui vaut environ $60$. Quelle loi est ainsi confirmée ?

Imaginer que la Terre soit comprimée jusqu'à avoir la moitié de son rayon, en conservant toute sa masse.

1. a) En raisonnant avec $g = \frac{G\cdot M}{R^2}$, par quel facteur l'intensité de la pesanteur à sa surface changerait-elle ?
2. b) Combien pèserait alors une personne de $70\ \text{kg}$ ? (Prendre la $g$ actuelle égale à $9,8\ \text{m/s}^2$.)
3. c) Commenter une conséquence de ce changement pour la vie dans ce monde.

Un vaisseau voyage en ligne droite de la Terre à la Lune. Il existe un point du trajet où les attractions gravitationnelles des deux astres se compensent, comme le montre la figure.

1. a) Si $x$ est la distance du vaisseau au centre de la Terre, écrire l'égalité entre les forces que la Terre et la Lune exercent sur le vaisseau (distance Terre–Lune : $3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ ; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ ; $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$).
2. b) Vérifier numériquement que l'égalité est satisfaite pour $x \approx 3,46\cdot10^{8}\ \text{m}$.
3. c) Ce point se situe à $90\ \%$ du trajet total. Expliquer, en pensant aux masses de la Terre et de la Lune, pourquoi il est si proche de cette dernière.