Ley de gravitación universal de Newton
En la Mitad del Mundo, en Quito, una manzana suelta cae al piso. La Luna, en cambio, parece flotar sobre nuestras cabezas sin caer nunca. ¿Será que a la Luna no la atrae la Tierra? Newton se hizo esta pregunta en el siglo XVII. Su respuesta unió la caída de una manzana y el movimiento de la Luna en una sola ley.
La ley de gravitación universal
Dos cuerpos cualesquiera, por el solo hecho de tener masa, se atraen. Con tu compañero de banca la atracción existe, pero es tan pequeña que no se nota. Con la Tierra sí se nota, porque su masa es enorme.
Newton propuso que esta atracción es universal: es la misma para una manzana, para la Luna y para un planeta. Depende de dos cosas:
-
Cuanto mayor es la masa de los cuerpos, mayor es la fuerza.
-
Cuanto más lejos están, menor es la fuerza.
¿Por qué $r^2$? A medida que te alejas de un cuerpo, su influencia se reparte sobre una superficie cada vez mayor, que crece como el cuadrado de la distancia. Por eso la fuerza disminuye con el cuadrado de $r$.
Las dos flechas tienen el mismo módulo y sentidos opuestos. Es la tercera ley de Newton: la fuerza de $m_1$ sobre $m_2$ es igual y contraria a la de $m_2$ sobre $m_1$, aunque las masas sean muy distintas.
Enuncia con tus palabras la ley de gravitación universal de Newton y escribe su expresión matemática, indicando qué representa cada símbolo y en qué unidades del Sistema…
Enuncia con tus palabras la ley de gravitación universal de Newton y escribe su expresión matemática, indicando qué representa cada símbolo y en qué unidades del Sistema Internacional se mide cada magnitud.
Dos esferas de $2{,}0\ \text{kg}$ y $3{,}0\ \text{kg}$ tienen sus centros separados $0{,}50\ \text{m}$ sobre una mesa de laboratorio en Cuenca. Calcula la fuerza de…
Dos esferas de $2{,}0\ \text{kg}$ y $3{,}0\ \text{kg}$ tienen sus centros separados $0{,}50\ \text{m}$ sobre una mesa de laboratorio en Cuenca. Calcula la fuerza de atracción gravitatoria entre ellas. Usa $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$.
Cómo cambia la fuerza al variar masas y distancia
Muchas veces no hace falta calcular $F$, solo saber cómo cambia. La ley dice que:
-
$F$ es directamente proporcional a cada masa: si una masa se multiplica por $k$, $F$ se multiplica por $k$.
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$F$ es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: si $r$ se multiplica por $k$, $F$ se divide entre $k^2$.
| Cambio | Efecto sobre $F$ |
|---|---|
| $r$ se duplica | $F$ se divide entre 4 |
| $r$ se triplica | $F$ se divide entre 9 |
| $r$ se reduce a la mitad | $F$ se multiplica por 4 |
| una masa se duplica | $F$ se duplica |
| las dos masas se duplican | $F$ se multiplica por 4 |
Dos cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria $F$. Explica y justifica con la ley de Newton qué le ocurre a esa fuerza en cada caso: a) se duplica la distancia entre…
Dos cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria $F$. Explica y justifica con la ley de Newton qué le ocurre a esa fuerza en cada caso:
- a) se duplica la distancia entre sus centros;
- b) se triplica la masa de uno de ellos;
- c) se duplica la masa de ambos y a la vez se duplica la distancia.
El campo gravitatorio y el peso
Un cuerpo de masa $M$, como la Tierra, modifica el espacio que lo rodea. En cada punto hay una «influencia» que actuará sobre cualquier masa que se coloque allí. Esa influencia es el campo gravitatorio, y Newton lo describió como una acción a distancia: la Tierra atrae a la manzana sin tocarla.
Para medirlo se pone una masa de prueba $m$ en el punto y se mide la fuerza que recibe. La intensidad del campo gravitatorio $g$ es esa fuerza por cada kilogramo:
Observa que en $g = GM/r^2$ no aparece la masa $m$ del cuerpo que cae. En el mismo lugar, todos los cuerpos reciben el mismo $g$. En la superficie terrestre $g \approx 9{,}8\ \text{N/kg}$, que equivale a $9{,}8\ \text{m/s}^2$ de aceleración en caída libre.
Masa y peso no son lo mismo:
| Masa | Peso | |
|---|---|---|
| Qué es | cantidad de materia; mide la inercia | fuerza con que el campo atrae al cuerpo |
| Magnitud | escalar | vectorial (hacia el centro del astro) |
| Unidad | kg | N |
| Cambia con el lugar | no | sí, porque depende de $g$ |
Camila tiene una masa de $50\ \text{kg}$ y está en la Mitad del Mundo, en Quito. Si la intensidad del campo gravitatorio en ese lugar es aproximadamente…
Camila tiene una masa de $50\ \text{kg}$ y está en la Mitad del Mundo, en Quito. Si la intensidad del campo gravitatorio en ese lugar es aproximadamente $9{,}8\ \text{N/kg}$, calcula su peso y explica por qué el peso es una fuerza y la masa no.
La Tierra tiene una masa de $5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}$ y un radio de $6{,}37\times10^{6}\ \text{m}$. Calcula la intensidad del campo gravitatorio en la superficie…
La Tierra tiene una masa de $5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}$ y un radio de $6{,}37\times10^{6}\ \text{m}$. Calcula la intensidad del campo gravitatorio en la superficie terrestre y, con ese valor, el peso de Mateo, que tiene una masa de $60\ \text{kg}$. Usa $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$.
g con la altura y en otros planetas
La fórmula $g = GM/r^2$ nos dice que $g$ cambia según dónde estés. Hay dos formas de variar $r$ y $M$:
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Subir: $r = R + h$, donde $h$ es la altura sobre la superficie. Al subir, $r$ aumenta y $g$ disminuye.
-
Cambiar de astro: cambian $M$ y $R$.
Fíjate que $r$ se mide desde el centro del astro, no desde la superficie.
Para comparar planetas conviene escribir $g$ como una proporción respecto de la Tierra. Si un planeta tiene masa $x\,M_T$ y radio $y\,R_T$:
$$g = G\,\frac{x\,M_T}{(y\,R_T)^2} = \frac{x}{y^2}\;g_T$$Un satélite de $500\ \text{kg}$ orbita la Tierra a una altura de $600\ \text{km}$ sobre la superficie. Con $M_T = 5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}$,…
Un satélite de $500\ \text{kg}$ orbita la Tierra a una altura de $600\ \text{km}$ sobre la superficie. Con $M_T = 5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6{,}37\times10^{6}\ \text{m}$ y $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$, calcula la intensidad del campo gravitatorio a esa altura y la fuerza con que la Tierra atrae al satélite. Compara el valor de $g$ obtenido con el de la superficie.
Un planeta tiene el doble de masa que la Tierra y un radio igual a $1{,}5$ veces el radio terrestre. Sebastián, que en la Tierra pesa $588\ \text{N}$ (con…
Un planeta tiene el doble de masa que la Tierra y un radio igual a $1{,}5$ veces el radio terrestre. Sebastián, que en la Tierra pesa $588\ \text{N}$ (con $g_T = 9{,}8\ \text{N/kg}$), viajaría a ese planeta.
- a) Calcula la intensidad del campo gravitatorio en la superficie del planeta en función de $g_T$.
- b) Determina el peso y la masa de Sebastián allí.
- c) Explica por qué su masa no cambia aunque su peso sí.
La Tierra y la Luna: una sola ley para el cielo y la tierra
Volvamos a la pregunta del principio. Antes de Newton, el modelo copernicano ya había puesto a la Tierra a girar alrededor del Sol y a la Luna alrededor de la Tierra, pero no explicaba qué fuerza lo mantenía así. Newton respondió: la fuerza que hace caer la manzana y la fuerza que mantiene a la Luna en su órbita son la misma: la gravitación. Solo cambian las masas y las distancias.
Newton imaginó un cañón en una montaña muy alta. Con poca velocidad, la bala cae cerca. Con más velocidad, cae más lejos. Con la velocidad justa, la bala cae hacia la Tierra, pero la Tierra se curva por debajo de ella y la bala nunca llega al suelo. La Luna está en esa situación: cae continuamente hacia la Tierra mientras avanza de lado, y por eso describe una órbita.
Las dos fuerzas son iguales, pero no las dos aceleraciones. La fuerza es la misma sobre ambos cuerpos, y la aceleración es $a = F/m$. Con la masa enorme de la Tierra, su aceleración es mínima. Con la masa mucho menor de la Luna, su aceleración es grande. Por eso vemos a la Luna recorrer una órbita evidente, mientras la Tierra apenas se desplaza un poco respecto del centro común.
La Luna tiene una masa de $7{,}35\times10^{22}\ \text{kg}$ y está a una distancia media de $3{,}84\times10^{8}\ \text{m}$ del centro de la Tierra, cuya masa es…
La Luna tiene una masa de $7{,}35\times10^{22}\ \text{kg}$ y está a una distancia media de $3{,}84\times10^{8}\ \text{m}$ del centro de la Tierra, cuya masa es $5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}$. Usa $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$.
- a) Calcula la fuerza gravitatoria entre la Tierra y la Luna.
- b) Calcula la intensidad del campo gravitatorio que crea la Tierra a la distancia de la Luna.
- c) Argumenta si la fuerza que la Luna ejerce sobre la Tierra es menor, igual o mayor que la que la Tierra ejerce sobre la Luna, y por qué entonces la Luna es la que describe una órbita evidente.