Movimientos rectilíneos y circulares
Un chico se lanza de un trampolín en una piscina de Guayaquil y en menos de un segundo está en el agua. Un bus de la Ecovía arranca en una parada de la avenida 10 de Agosto, en Quito, y gana rapidez poco a poco. Una rueda moscovita en las fiestas de Quito da vueltas a ritmo constante. ¿Cómo se describen con las mismas herramientas movimientos tan distintos? Eso vamos a ver.
El MRU y el MRUV
Un tren avanza tramos iguales cada segundo; un carro arranca en un semáforo y gana rapidez de manera constante. ¿Cómo expresamos estas dos formas de avanzar en línea recta, con ecuaciones horarias?
Mueve los deslizadores de $x_0$, $v$ (velocidad inicial) y $a$. Con $a=0$ tienes un MRU: una recta en la gráfica $x(t)$, cuya pendiente es la velocidad. Con $a \neq 0$, la gráfica $x(t)$ se curva y $v(t)$ deja de ser horizontal: su pendiente es la aceleración, y el área bajo la curva $v(t)$ es el desplazamiento. En la gráfica $a(t)$ del MRUV hay una recta horizontal.
También puedes trabajar con tablas de valores. Para un MRU con $x_0 = 0$ y $v = 4\ \text{m/s}$, y para un MRUV con $x_0 = 0$, $v_0 = 0$ y $a = 2\ \text{m/s}^2$:
| $t$ (s) | MRU: $x$ (m) | MRU: $v$ (m/s) | MRUV: $x$ (m) | MRUV: $v$ (m/s) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 4 | 0 | 0 |
| 1 | 4 | 4 | 1 | 2 |
| 2 | 8 | 4 | 4 | 4 |
| 3 | 12 | 4 | 9 | 6 |
En el MRU, $x$ crece lo mismo cada segundo: la gráfica $x$-$t$ es una recta, $v$-$t$ es horizontal y $a$-$t$ vale cero. En el MRUV, $v$ crece lo mismo cada segundo: $v$-$t$ es una recta de pendiente $a$, $a$-$t$ es una recta horizontal en $a = 2\ \text{m/s}^2$ y $x$-$t$ es una curva (parábola).
La aceleración dice cuánto cambia la velocidad en cada segundo: una aceleración de $3\ \text{m/s}^2$ significa que la velocidad aumenta $3\ \text{m/s}$ cada segundo. Para hallar el tiempo en un MRUV desde el reposo, despeja $t$ de $v(t) = v_0 + a\,t$, o de $\Delta x = \frac{1}{2}\,a\,t^2$.
También se usa una ecuación que no depende del tiempo, útil cuando no conoces el tiempo:
$$v^2 = v_0^2 + 2\,a\,\Delta x$$Un tren de cercanías circula en línea recta con velocidad constante $\vec{v} = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$. Cuando $t = 0$ pasa por la posición $x_0 = 100\ \text{m}$. a)…
Un tren de cercanías circula en línea recta con velocidad constante $\vec{v} = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$. Cuando $t = 0$ pasa por la posición $x_0 = 100\ \text{m}$.
- a) Escribe la ecuación de su posición $x(t)$.
- b) Calcula su posición cuando $t = 8\ \text{s}$.
Un avión parte del reposo en la pista y acelera uniformemente con $\vec{a} = 3\,\vec{i}\ \text{m/s}^2$. a) Escribe la ecuación de su velocidad $v(t)$. b) Calcula la…
Un avión parte del reposo en la pista y acelera uniformemente con $\vec{a} = 3\,\vec{i}\ \text{m/s}^2$.
- a) Escribe la ecuación de su velocidad $v(t)$.
- b) Calcula la velocidad que lleva a los $10\ \text{s}$.
- c) Explica con tus palabras qué significa una aceleración de $3\ \text{m/s}^2$.
Un ciclista se mueve en línea recta con MRUV, con $x_0 = 0$, $v_0 = 4\ \text{m/s}$ y $a = 1\ \text{m/s}^2$. a) Escribe su ecuación de posición $x(t)$. b) Calcula su…
Un ciclista se mueve en línea recta con MRUV, con $x_0 = 0$, $v_0 = 4\ \text{m/s}$ y $a = 1\ \text{m/s}^2$.
- a) Escribe su ecuación de posición $x(t)$.
- b) Calcula su posición cuando $t = 6\ \text{s}$ usando $x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.
Un bus que circula a $72\ \text{km/h}$ frena uniformemente con $a = -2\ \text{m/s}^2$ hasta detenerse. a) Expresa su velocidad inicial en $\text{m/s}$. b) Calcula el…
Un bus que circula a $72\ \text{km/h}$ frena uniformemente con $a = -2\ \text{m/s}^2$ hasta detenerse.
- a) Expresa su velocidad inicial en $\text{m/s}$.
- b) Calcula el tiempo que tarda en parar.
- c) Calcula la distancia que recorre durante la frenada.
Un tren de metro parte del reposo y acelera uniformemente a $0,5\ \text{m/s}^2$ a lo largo de $400\ \text{m}$. a) Calcula la velocidad que alcanza usando…
Un tren de metro parte del reposo y acelera uniformemente a $0,5\ \text{m/s}^2$ a lo largo de $400\ \text{m}$.
- a) Calcula la velocidad que alcanza usando $v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta x$.
- b) Calcula el tiempo que tarda en recorrer esos $400\ \text{m}$.
Frenado y distancia de detención
Cuando ves un obstáculo en la vía, no frenas al instante. Primero pasa el tiempo de reacción, en el que el carro sigue con rapidez constante (MRU); después frena con aceleración constante (MRUV).
Un conductor circula a $90\ \text{km/h}$, tarda $0,8\ \text{s}$ en reaccionar ante un obstáculo y después frena con $a = -5\ \text{m/s}^2$. El esquema muestra las dos…
Un conductor circula a $90\ \text{km/h}$, tarda $0,8\ \text{s}$ en reaccionar ante un obstáculo y después frena con $a = -5\ \text{m/s}^2$. El esquema muestra las dos fases de la detención.
- a) Expresa la velocidad en $\text{m/s}$ y calcula la distancia recorrida durante el tiempo de reacción.
- b) Calcula el tiempo de frenado y la distancia de frenado.
- c) Calcula la distancia total de detención, suma de las dos anteriores.
Un carro circula a $108\ \text{km/h}$. a) Expresa esa velocidad en $\text{m/s}$. b) Calcula la distancia de frenado en calzada seca, con $a = -6\ \text{m/s}^2$. c)…
Un carro circula a $108\ \text{km/h}$.
- a) Expresa esa velocidad en $\text{m/s}$.
- b) Calcula la distancia de frenado en calzada seca, con $a = -6\ \text{m/s}^2$.
- c) Calcula la distancia de frenado en calzada mojada, con $a = -3\ \text{m/s}^2$.
- d) Si el tiempo de reacción del conductor es $0,5\ \text{s}$, calcula la distancia total de detención en ambos casos y explica por qué conviene aumentar la distancia de seguridad cuando llueve.
Sobrepaso y alcance entre dos móviles
Si un carro arranca justo cuando una motocicleta pasa a su lado, ¿cuándo la alcanza? Escribe la posición de cada uno con el mismo origen y el mismo instante cero, e iguala las posiciones: $x_1(t) = x_2(t)$.
Un carro parte del reposo con aceleración constante $a = 2\ \text{m/s}^2$ justo cuando una motocicleta pasa a su lado con velocidad constante de $12\ \text{m/s}$, en el…
Un carro parte del reposo con aceleración constante $a = 2\ \text{m/s}^2$ justo cuando una motocicleta pasa a su lado con velocidad constante de $12\ \text{m/s}$, en el mismo sentido. Las gráficas $x$-$t$ de ambos vehículos se muestran en la figura.
- a) Escribe las ecuaciones de posición de ambos vehículos tomando como origen el punto del adelantamiento.
- b) Calcula el instante en que el carro alcanza a la motocicleta.
- c) ¿En qué posición lo hace y qué velocidad lleva el carro en ese momento?
- d) Explica, a partir de cómo varía la velocidad del carro con el tiempo, por qué acaba alcanzándola aunque al principio se quede atrás.
Caída libre y lanzamiento vertical
Si lanzas una pelota hacia arriba, pierde rapidez hasta detenerse un instante y luego cae cada vez más rápido. ¿Cómo describe una misma ecuación la subida y la bajada?
Es una aproximación: $g$ cambia muy poco con la altura en distancias de decenas de metros, y la resistencia del aire es despreciable para objetos pesados y compactos. Por eso podemos tomar $g$ constante; con una pluma o un paracaídas el modelo deja de valer.
El peso $P = m\,g$ varía con el lugar (depende de $g$), pero la masa no. Si el aire frena al objeto, la resistencia crece con la rapidez hasta igualar al peso; entonces la aceleración es cero y el objeto cae con rapidez terminal constante, como un paracaidista.
Se deja caer una moneda desde lo alto de una torre de $20\ \text{m}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. a) Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo. b) Calcula la…
Se deja caer una moneda desde lo alto de una torre de $20\ \text{m}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo.
- b) Calcula la velocidad con la que llega.
Desde un puente de $15\ \text{m}$ de altura se lanza una piedra verticalmente hacia abajo con $v_0 = 10\ \text{m/s}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa el…
Desde un puente de $15\ \text{m}$ de altura se lanza una piedra verticalmente hacia abajo con $v_0 = 10\ \text{m/s}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa el esquema:
- a) Plantea la ecuación de posición tomando la superficie del agua como origen y calcula el tiempo que tarda en llegar al agua.
- b) Calcula la velocidad con la que llega.
Un malabarista lanza una bola verticalmente hacia arriba con $v_0 = 30\ \text{m/s}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa el esquema del lanzamiento: a) Calcula el…
Un malabarista lanza una bola verticalmente hacia arriba con $v_0 = 30\ \text{m/s}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa el esquema del lanzamiento:
- a) Calcula el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima.
- b) Calcula esa altura máxima.
- c) ¿Cuánto tiempo pasa hasta que la bola vuelve a su mano y con qué velocidad llega? Justifícalo por la simetría del movimiento.
Desde un balcón a $15\ \text{m}$ del suelo se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con $v_0 = 10\ \text{m/s}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. a) Calcula la…
Desde un balcón a $15\ \text{m}$ del suelo se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con $v_0 = 10\ \text{m/s}$. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula la altura máxima que alcanza, medida desde el suelo.
- b) Plantea la ecuación de posición tomando el suelo como origen y calcula el tiempo total de vuelo hasta que llega al suelo.
- c) Calcula la velocidad con la que llega al suelo.
- d) Compara ese tiempo de vuelo con el que tardaría si simplemente se dejara caer desde el balcón y explica la diferencia.
Un globo aerostático asciende con velocidad constante de $8\ \text{m/s}$. Cuando está a $48\ \text{m}$ de altura se desprende un saco de lastre. Toma…
Un globo aerostático asciende con velocidad constante de $8\ \text{m/s}$. Cuando está a $48\ \text{m}$ de altura se desprende un saco de lastre. Toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa el esquema de la situación:
- a) Explica por qué el saco, al soltarse, sigue subiendo durante unos instantes en lugar de caer inmediatamente.
- b) Plantea la ecuación de posición del saco tomando el suelo como origen y calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo.
- c) Calcula la velocidad con la que llega al suelo.
- d) Calcula la altura a la que se encuentra el globo en el instante en que el saco toca el suelo.
Movimiento circular uniforme: período, frecuencia y velocidades
Hay una analogía directa con el MRU: la posición angular $\theta$ hace el papel de $x$ y la velocidad angular $\omega$ el de $v$. En la gráfica $\theta$-$t$ del MCU tienes una recta de pendiente $\omega$, y en la gráfica $\omega$-$t$ una recta horizontal, igual que $x$-$t$ y $v$-$t$ en el MRU.
Las aspas de un ventilador de techo tardan $0,5\ \text{s}$ en dar una vuelta completa. a) ¿Cuánto valen el período $T$ y la frecuencia $f$ del giro? b) Calcula la…
Las aspas de un ventilador de techo tardan $0,5\ \text{s}$ en dar una vuelta completa.
- a) ¿Cuánto valen el período $T$ y la frecuencia $f$ del giro?
- b) Calcula la velocidad angular $\omega = \frac{2\pi}{T}$, en $\text{rad/s}$, y aproxímala con un decimal.
Una rueda moscovita gira con velocidad angular constante $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$ y su radio es $r = 10\ \text{m}$. El esquema muestra una cesta en el borde y otra…
Una rueda moscovita gira con velocidad angular constante $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$ y su radio es $r = 10\ \text{m}$. El esquema muestra una cesta en el borde y otra más cerca del eje.
- a) Calcula la velocidad lineal $v = \omega \cdot r$ de una cesta situada en el borde.
- b) Explica por qué una cesta situada más cerca del eje se movería más despacio, aunque la velocidad angular sea la misma.
Un tiovivo de $4\ \text{m}$ de radio da una vuelta cada $8\ \text{s}$. a) Calcula su velocidad angular $\omega$ en $\text{rad/s}$, en función de $\pi$. b) Calcula la…
Un tiovivo de $4\ \text{m}$ de radio da una vuelta cada $8\ \text{s}$.
- a) Calcula su velocidad angular $\omega$ en $\text{rad/s}$, en función de $\pi$.
- b) Calcula la velocidad lineal de un niño montado en el borde.
- c) Calcula su aceleración normal. Expresa los resultados finales también con un decimal.
Una bicicleta avanza a $7\ \text{m/s}$ y sus ruedas tienen $0,35\ \text{m}$ de radio. a) Calcula la velocidad angular de las ruedas, teniendo en cuenta que en el borde…
Una bicicleta avanza a $7\ \text{m/s}$ y sus ruedas tienen $0,35\ \text{m}$ de radio.
- a) Calcula la velocidad angular de las ruedas, teniendo en cuenta que en el borde $v = \omega \cdot r$.
- b) Calcula el período del giro de la rueda.
- c) Calcula la distancia que avanza la bicicleta por cada vuelta completa de la rueda y explica por qué coincide con la longitud de la circunferencia.
La aguja minutera del reloj de una estación mide $1,5\ \text{m}$ y tarda una hora en dar una vuelta completa. a) Calcula su velocidad angular en $\text{rad/s}$, en…
La aguja minutera del reloj de una estación mide $1,5\ \text{m}$ y tarda una hora en dar una vuelta completa.
- a) Calcula su velocidad angular en $\text{rad/s}$, en notación científica.
- b) Calcula la velocidad lineal de la punta de la aguja.
- c) Calcula la aceleración normal de la punta y exprésala en notación científica.
- d) Compara la velocidad angular del minutero con la del segundero, que tarda $60\ \text{s}$ por vuelta: ¿cuántas veces mayor es la del segundero?
La aceleración normal (central o centrípeta)
En una rueda moscovita que gira a ritmo fijo, la rapidez es constante y aun así sientes que tu cuerpo necesita una fuerza para no salirse. Si el valor de la velocidad no cambia, ¿por qué hay aceleración?
¿Por qué? En un intervalo corto $\Delta t$ el móvil recorre un ángulo $\Delta\theta$. Los vectores velocidad inicial y final tienen el mismo módulo $v$ y forman ese ángulo, así que el triángulo de velocidades es semejante al triángulo formado por los dos radios. Por semejanza, $\Delta v / v = \Delta s / r$, con $\Delta s = v\,\Delta t$. Entonces $\Delta v = v^2 \Delta t / r$ y $a_c = \Delta v/\Delta t = v^2/r$. Cuando $\Delta t$ se hace muy pequeño, $\Delta v$ apunta hacia el centro.
Un patinador toma una curva de $8\ \text{m}$ de radio a $4\ \text{m/s}$. La figura muestra la curva y el vector velocidad. a) Calcula su aceleración normal…
Un patinador toma una curva de $8\ \text{m}$ de radio a $4\ \text{m/s}$. La figura muestra la curva y el vector velocidad.
- a) Calcula su aceleración normal $a_n = \frac{v^2}{r}$.
- b) Indica su dirección y su sentido.
Un satélite describe una órbita aproximadamente circular alrededor de la Tierra con rapidez constante. a) ¿Tiene aceleración el satélite? b) Si el módulo de la velocidad…
Un satélite describe una órbita aproximadamente circular alrededor de la Tierra con rapidez constante.
- a) ¿Tiene aceleración el satélite?
- b) Si el módulo de la velocidad no cambia, ¿qué es lo que cambia del vector velocidad? Explica por qué eso implica que existe aceleración y cómo se llama esa aceleración.
Una centrífuga de laboratorio gira con frecuencia $f = 50\ \text{Hz}$ y las muestras describen círculos de $0,1\ \text{m}$ de radio. a) Calcula la velocidad angular…
Una centrífuga de laboratorio gira con frecuencia $f = 50\ \text{Hz}$ y las muestras describen círculos de $0,1\ \text{m}$ de radio.
- a) Calcula la velocidad angular $\omega = 2\pi \cdot f$.
- b) Calcula la velocidad lineal de las muestras.
- c) Calcula su aceleración normal y exprésala en notación científica.
En una plataforma giratoria de un parque de diversiones que rota con $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$, un niño está sentado a $2\ \text{m}$ del eje y un adulto a…
En una plataforma giratoria de un parque de diversiones que rota con $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$, un niño está sentado a $2\ \text{m}$ del eje y un adulto a $8\ \text{m}$.
- a) Calcula la velocidad lineal de cada uno.
- b) Calcula la aceleración normal de cada uno.
- c) Razona, a partir de la expresión $a_n = \omega^2 \cdot r$, quién de los dos está sometido a mayor aceleración y qué implica eso sobre el agarre que necesita para no resbalar hacia fuera.
El tambor de una lavadora tiene $0,25\ \text{m}$ de radio y en el centrifugado gira a $600$ revoluciones por minuto, es decir, $10$ vueltas por segundo. a) Expresa la…
El tambor de una lavadora tiene $0,25\ \text{m}$ de radio y en el centrifugado gira a $600$ revoluciones por minuto, es decir, $10$ vueltas por segundo.
- a) Expresa la frecuencia de giro en $\text{Hz}$ y calcula la velocidad angular.
- b) Calcula la velocidad lineal de un botón pegado al tambor.
- c) Calcula su aceleración normal y compárala con $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: ¿cuántas veces mayor es, aproximadamente?
- d) Explica cómo este resultado ayuda a entender por qué el centrifugado extrae el agua de la ropa.
En la atracción «el rotor», las personas se apoyan en la pared interior de un cilindro de $4\ \text{m}$ de radio que gira hasta que el suelo se retira. Se quiere que la…
En la atracción «el rotor», las personas se apoyan en la pared interior de un cilindro de $4\ \text{m}$ de radio que gira hasta que el suelo se retira. Se quiere que la aceleración normal de los pasajeros sea $2,5$ veces $g$; toma $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula la velocidad lineal que debe tener la pared.
- b) Calcula la velocidad angular $\omega$.
- c) Calcula el período de giro.
- d) Explica por qué las personas no se caen cuando desaparece el suelo, mencionando qué fuerza proporciona la aceleración normal y cuál equilibra al peso.
Movimiento circular uniformemente variado (MCUV)
Si la rapidez también cambia, aparece la aceleración angular $\alpha$ (rad/s²). En el MCUV, $\alpha$ es constante y las ecuaciones son análogas a las del MRUV ($x\to\theta$, $v\to\omega$, $a\to\alpha$):
$$\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac12 \alpha t^2 \qquad \omega = \omega_0 + \alpha t$$Con gráficos se distinguen: en el MCU, $\omega$-$t$ es una recta horizontal y $\theta$-$t$ una recta; en el MCUV, $\omega$-$t$ es una recta inclinada (pendiente $\alpha$) y $\theta$-$t$ una parábola.
La aceleración lineal tiene dos componentes: la tangencial $a_t = \alpha r$ y la normal $a_c = \omega^2 r$.
En una curva de $50\ \text{m}$ de radio tomada a $10\ \text{m/s}$, $a_c = 2\ \text{m/s}^2$. Aunque el velocímetro no cambie, hace falta una fuerza resultante hacia el centro; la «fuerza centrípeta» no es una fuerza extra, es la resultante radial de fuerzas como la normal, la fricción o la tensión.