Leyes de Kepler
Desde Quito se ve una antena apuntando siempre al mismo punto del cielo: allí hay un satélite de comunicaciones que parece clavado sobre la ciudad. Sin embargo, se mueve a miles de metros por segundo. ¿A qué altura tiene que estar para quedarse «quieto» sobre nosotros? Para responderlo necesitas las leyes que Johannes Kepler dedujo hace más de 400 años.
Las órbitas son elipses
Tycho Brahe pasó décadas midiendo con precisión la posición de los planetas, sobre todo la de Marte, sin telescopio. Kepler analizó esos datos y descubrió que Marte no describe una circunferencia perfecta, como se creía desde la época de Copérnico. Sus resultados cambiaron la forma de entender el Sistema Solar.
Una elipse es una circunferencia «achatada». Tiene dos focos, y el Sol está en uno de ellos; el otro foco está vacío.
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Perihelio: punto de la órbita más cercano al Sol.
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Afelio: punto más lejano del Sol.
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Semieje mayor $a$: la mitad del eje mayor. Es la «distancia media» al Sol, y se obtiene así:
Las órbitas de los planetas son elipses casi circulares: la Tierra apenas se aparta de una circunferencia. Los cometas, en cambio, tienen elipses muy alargadas.
Enuncia las tres leyes de Kepler (ley de las órbitas, ley de las áreas y ley de los periodos) con tus propias palabras y escribe la expresión matemática de la tercera…
Enuncia las tres leyes de Kepler (ley de las órbitas, ley de las áreas y ley de los periodos) con tus propias palabras y escribe la expresión matemática de la tercera ley.
Áreas iguales en tiempos iguales
Si el Sol atrae al planeta, ¿se mueve el planeta siempre con la misma rapidez? Kepler vio que no: va más rápido cuando pasa cerca del Sol y más lento cuando está lejos.
Para que el área sea igual, cuando el radio es corto el arco recorrido debe ser largo, y cuando el radio es largo el arco es corto. Entonces:
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en el perihelio la rapidez del planeta es máxima;
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en el afelio es mínima.
Una relación útil en los extremos
En el perihelio y en el afelio, la velocidad es perpendicular al radio. En un tiempo pequeño $\Delta t$, el área barrida es aproximadamente la de un triángulo de base $v\,\Delta t$ y altura $r$:
$$\text{Área} \approx \tfrac{1}{2}\, r \, v \, \Delta t$$Como las áreas son iguales en tiempos iguales, en esos dos puntos se cumple:
$$r_p \, v_p = r_a \, v_a$$El producto distancia · rapidez es el mismo: a mayor distancia, menor rapidez, en proporción inversa.
Según la segunda ley de Kepler, un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Explica si la rapidez del planeta es mayor en el perihelio (punto más cercano al Sol)…
Según la segunda ley de Kepler, un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Explica si la rapidez del planeta es mayor en el perihelio (punto más cercano al Sol) o en el afelio (punto más lejano), y justifica tu respuesta.
Un cometa describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio está a $0{,}5\ \text{UA}$ y en el afelio a $17{,}5\ \text{UA}$. a) Calcula el semieje mayor de…
Un cometa describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio está a $0{,}5\ \text{UA}$ y en el afelio a $17{,}5\ \text{UA}$.
- a) Calcula el semieje mayor de la órbita.
- b) Aplica la tercera ley de Kepler, tomando a la Tierra ($1\ \text{UA}$, $1$ año) como referencia, para hallar el periodo del cometa.
- c) Argumenta, con la segunda ley de Kepler, cómo se comparan las rapideces del cometa en el perihelio y en el afelio, y qué relación aproximada cumplen con las distancias en esos dos puntos.
Los periodos y las distancias
Mercurio tarda unos tres meses en dar una vuelta al Sol; Neptuno, más de $160$ años. Kepler buscó la regla que relaciona el tiempo de una vuelta con el tamaño de la órbita.
Aquí $T$ es el periodo: el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Es la misma constante para todos los planetas que giran alrededor del mismo astro. Si lo comparas con la Tierra, el cálculo se simplifica.
La Tierra como referencia
Se usa la unidad astronómica (UA), que es la distancia media Tierra-Sol ($\approx 1{,}5\times10^{11}\ \text{m}$). Para la Tierra, $a = 1\ \text{UA}$ y $T = 1$ año, así que la constante vale $1$ y, para cualquier planeta del Sistema Solar:
$$T^2 = a^3 \qquad (T \text{ en años}, a \text{ en UA})$$Para dos cuerpos que orbitan el mismo astro, también puedes usar el cociente:
$$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$$La regla «más lejos, más lento»
Si $a$ crece, $T$ crece aún más rápido. Si el radio se multiplica por $4$, el periodo se multiplica por $\sqrt{4^3} = 8$. Los planetas lejanos tardan mucho más en dar su vuelta, y también se mueven con menor rapidez: tienen un camino más largo y, además, la atracción del Sol es más débil allí.
Un planeta A tarda $2$ años en dar una vuelta al Sol y otro planeta B tarda $8$ años. Según la tercera ley de Kepler, indica cuál de los dos está más lejos del Sol y…
Un planeta A tarda $2$ años en dar una vuelta al Sol y otro planeta B tarda $8$ años. Según la tercera ley de Kepler, indica cuál de los dos está más lejos del Sol y explica por qué, sin necesidad de calcular distancias.
Un planeta imaginario orbita el Sol a una distancia media de $4$ unidades astronómicas (UA). Usando que la Tierra orbita a $1\ \text{UA}$ con un periodo de $1$ año y la…
Un planeta imaginario orbita el Sol a una distancia media de $4$ unidades astronómicas (UA). Usando que la Tierra orbita a $1\ \text{UA}$ con un periodo de $1$ año y la tercera ley de Kepler, calcula el periodo del planeta en años.
Dos satélites artificiales, A y B, giran alrededor de la Tierra. El satélite A tiene un radio orbital $r_A$ y un periodo de $2\ \text{h}$. El satélite B orbita con un…
Dos satélites artificiales, A y B, giran alrededor de la Tierra. El satélite A tiene un radio orbital $r_A$ y un periodo de $2\ \text{h}$. El satélite B orbita con un radio $r_B = 4\,r_A$. Aplica la tercera ley de Kepler para calcular el periodo de B y explica si se mueve más rápido o más lento que A.
La Luna y los satélites artificiales
Las leyes de Kepler no solo sirven para los planetas: valen para cualquier cuerpo que gira alrededor de otro por la atracción gravitatoria. La Luna y los satélites artificiales giran alrededor de la Tierra, y para ellos el astro central es la Tierra, no el Sol.
Semejanzas y diferencias
| Luna | Satélite artificial | |
|---|---|---|
| Qué lo mantiene en órbita | Atracción gravitatoria de la Tierra | Atracción gravitatoria de la Tierra |
| Leyes de Kepler | Se cumplen | Se cumplen |
| Origen | Natural | Construido y lanzado por el ser humano |
| Distancia a la Tierra | Muy grande ($\approx 3{,}8\times10^{8}\ \text{m}$) | Desde cientos de km hasta decenas de miles de km |
| Periodo | Unos $27$ días | Desde unos $90$ minutos hasta $24$ h o más |
| Se puede elegir su órbita | No | Sí: se escoge la altura según su misión |
Todos obedecen la misma regla: cuanto más lejos de la Tierra, mayor periodo y menor rapidez.
La tercera ley con unidades del SI
Para los satélites no sirve la comparación con la Tierra-Sol. Con unidades del SI, la tercera ley se escribe con la constante de gravitación $G$ y la masa $M_T$ de la Tierra:
$$T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M_T}\, r^3$$Aquí $r$ es el radio de la órbita medido desde el centro de la Tierra. Si el satélite está a una altura $h$ sobre la superficie, $r = R_T + h$. Para despejar el radio:
$$r = \sqrt[3]{\frac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}}$$El satélite geoestacionario
Un satélite geoestacionario parece quieto sobre un punto de la Tierra. Para lograrlo debe cumplir tres condiciones:
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su periodo es igual al de rotación de la Tierra, $T = 24\ \text{h}$;
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gira en el mismo sentido que la Tierra (de oeste a este);
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su órbita está en el plano del Ecuador.
La última se explica así: el centro de cualquier órbita por gravedad es el centro de la Tierra, así que el plano de la órbita siempre pasa por él. Solo los puntos del Ecuador están en ese plano cuando este coincide con el ecuador. Si el satélite orbitara en otro plano, subiría y bajaría respecto del Ecuador y no parecería fijo. Por eso, desde Quito, que está muy cerca de la línea ecuatorial, un satélite geoestacionario se ve casi sobre nuestras cabezas.
Vuelve al principio: un satélite que parece quieto sobre Quito debe tener $T = 24\ \text{h}$, estar en el plano del Ecuador y orbitar a un radio que sale de despejar $r$ en la tercera ley. Eso es justo lo que calcularás en el último ejercicio.
Un satélite de observación pasa sobre el Ecuador y tiene un periodo orbital de $T = 5{,}4\times10^{3}\ \text{s}$ alrededor de la Tierra. Si la tercera ley se escribe…
Un satélite de observación pasa sobre el Ecuador y tiene un periodo orbital de $T = 5{,}4\times10^{3}\ \text{s}$ alrededor de la Tierra. Si la tercera ley se escribe $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G\,M_T}\,r^3$, con $M_T = 5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}$ y $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$, calcula el radio de su órbita. Expresa el resultado en kilómetros.
Un satélite de comunicaciones se coloca en órbita geoestacionaria sobre la línea ecuatorial, de modo que parece quieto sobre Quito. Su periodo es el de rotación de la…
Un satélite de comunicaciones se coloca en órbita geoestacionaria sobre la línea ecuatorial, de modo que parece quieto sobre Quito. Su periodo es el de rotación de la Tierra, $T = 24\ \text{h}$.
- a) Explica por qué su órbita debe estar en el plano del Ecuador y girar en el mismo sentido que la Tierra.
- b) Calcula el radio de la órbita con $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G\,M_T}\,r^3$, $M_T = 5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}$ y $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$.
- c) Halla la altura sobre la superficie, sabiendo que $R_T = 6{,}37\times10^{6}\ \text{m}$.
Resumen
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1.ª ley (órbitas): los planetas describen elipses con el Sol en un foco. El semieje mayor es $a = \dfrac{r_p + r_a}{2}$.
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2.ª ley (áreas): el radio Sol-planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. La rapidez es máxima en el perihelio y mínima en el afelio; en esos puntos $r_p v_p = r_a v_a$.
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3.ª ley (periodos): $\dfrac{T^2}{a^3}$ es constante. Con la Tierra como referencia, $T^2 = a^3$ ($T$ en años, $a$ en UA).
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Con unidades del SI alrededor de la Tierra: $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G\,M_T}\,r^3$, con $r$ medido desde el centro de la Tierra.
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La Luna y los satélites artificiales cumplen las mismas leyes; el satélite geoestacionario tiene $T = 24\ \text{h}$ y órbita en el plano del Ecuador.