El movimiento armónico simple

Un columpio oscila libremente tras un empujón. Con un cronómetro, se mide que completa $15$ oscilaciones completas en $30\ \text{s}$. La figura muestra el columpio en tres posiciones de su oscilación.

1. a) Define, aplicándolos al columpio, los conceptos de elongación, amplitud, periodo y frecuencia.
2. b) Calcula el periodo $T$ y la frecuencia $f$ de la oscilación.

Un electrocardiograma registra un ritmo cardiaco de $75$ latidos por minuto, perfectamente regular. La figura representa la señal registrada.

1. a) Calcula la frecuencia del latido, en $\text{Hz}$.
2. b) Calcula su periodo, en segundos: ¿cuánto tiempo pasa entre dos latidos consecutivos?

La tensión de la red eléctrica ecuatoriana oscila con una frecuencia de $50\ \text{Hz}$. Calcula su frecuencia angular $\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$, en $\text{rad/s}$.

La elongación de una masa que oscila en un resorte horizontal viene dada, en unidades del Sistema Internacional, por $x = 0,1 \cdot \sen(20 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) ¿Cuánto valen la amplitud $A$ y la frecuencia angular $\omega$?
2. b) Calcula el período $T$ y la frecuencia $f$ del movimiento, recordando que $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$ y $f = \frac{1}{T}$.

Un oscilador describe un movimiento armónico simple de ecuación $x = 0,08 \cdot \sen(\pi \cdot t)$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Calcula la elongación en el instante $t = 0,5\ \text{s}$.
2. b) ¿Cuál es el valor máximo que puede tomar la elongación? ¿En qué instantes se alcanza?

Dos osciladores idénticos vibran según las ecuaciones, en unidades del Sistema Internacional, $x_1 = 0,05 \cdot \sen(3 \cdot \pi \cdot t)$ y $x_2 = 0,05 \cdot \sen(3 \cdot \pi \cdot t + \frac{\pi}{2})$.

1. a) ¿Qué magnitudes tienen en común los dos movimientos?
2. b) Calcula la elongación inicial (en $t = 0$) de cada uno y explica en qué se diferencian.

El vástago de un motor de combustión vibra según la ecuación $x = 0,04 \cdot \sen(10 \cdot \pi \cdot t + \frac{\pi}{2})$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Indica el valor de la amplitud $A$, la frecuencia angular $\omega$ y la fase inicial $\varphi_0$.
2. b) Calcula el período $T$ y la frecuencia $f$.
3. c) Calcula la elongación en $t = 0,1\ \text{s}$ e interpreta su signo.

La aguja de una máquina de coser sube y baja con un movimiento armónico simple de amplitud $6\ \text{cm}$ y periodo $0,5\ \text{s}$. En el instante inicial la aguja pasa por la posición de equilibrio moviéndose en el sentido positivo, de modo que $\varphi_0 = 0$.

1. a) Calcula la frecuencia angular $\omega$.
2. b) Escribe la ecuación completa de la elongación, $x = A \cdot \sen(\omega \cdot t + \varphi_0)$, expresando la amplitud en metros.

Una boya de captación de energía undimotriz oscila verticalmente con las olas según la ecuación $x = 0,1 \cdot \sen(2 \cdot \pi \cdot t)$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Calcula el período y la frecuencia de la oscilación.
2. b) Calcula la elongación en el instante $t = \frac{1}{12}\ \text{s}$.
3. c) ¿En qué instante alcanza por primera vez su altura máxima?

Un punto del centro de una cuerda de guitarra vibra con un movimiento armónico simple de amplitud $A = 2\ \text{mm}$ y frecuencia $f = 440\ \text{Hz}$ (la nota «la» de afinación). La velocidad máxima de un oscilador es $v_{max} = A \cdot \omega$.

1. a) Calcula la frecuencia angular $\omega$ de la vibración.
2. b) Expresa la amplitud en metros y calcula la velocidad máxima del punto de la cuerda.

En una pista de aire sin rozamiento, un carro de $m = 0,25\ \text{kg}$ está unido a un resorte de constante $k = 400\ \text{N/m}$. Se separa el carro $10\ \text{cm}$ de la posición de equilibrio y se suelta en reposo en el instante $t = 0$. El montaje se muestra en la figura.

1. a) Calcula la frecuencia angular, $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$, y el período de la oscilación.
2. b) Tomando $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$, razona por qué la fase inicial es $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$: ¿cuánto vale la elongación en $t = 0$?
3. c) Escribe la ecuación completa de la elongación, en unidades del Sistema Internacional.
4. d) Calcula la velocidad máxima del carro, $v_{max} = A \cdot \omega$.

La aguja registradora de un sismógrafo oscila según la ecuación $x = 0,06 \cdot \sen(8 \cdot \pi \cdot t)$, en unidades del Sistema Internacional. La velocidad en el movimiento armónico simple es $v = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t + \varphi_0)$. La gráfica de la elongación en función del tiempo es la de la figura.

1. a) Calcula el primer instante en el que la elongación vale $x = 0,03\ \text{m}$ (la mitad de la amplitud).
2. b) Calcula la velocidad de la aguja en ese instante.
3. c) ¿En qué posición la velocidad es máxima y cuánto vale?

El período de un oscilador masa-resorte es $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$. En el laboratorio, un bloque de $m = 0,25\ \text{kg}$ oscila unido a un resorte de constante elástica $k = 100\ \text{N/m}$. Calcula el período de la oscilación.

El período de un péndulo simple es $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$. La lámpara del vestíbulo de un museo cuelga de un cable de $l = 1\ \text{m}$ de longitud y oscila ligeramente tras una corriente de aire (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Calcula su período de oscilación.

En la Estación Espacial Internacional no se puede usar una balanza para medir la masa de los astronautas. En su lugar, el astronauta se sienta en un asiento unido a un resorte de constante $k = 1000\ \text{N/m}$ y se mide el periodo de oscilación del conjunto, $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.

1. a) Si el periodo medido es $T = 1,6\ \text{s}$, despeja la masa de la fórmula y calcula la masa del astronauta (desprecia la del asiento).
2. b) Explica por qué este método funciona en ausencia de gravedad y una balanza no.

Un reloj de pie antiguo funciona con un péndulo cuyo periodo debe ser exactamente $T = 2,0\ \text{s}$: cada oscilación completa hace avanzar un diente del mecanismo (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). El péndulo se muestra en la figura.

1. a) Despeja la longitud de la fórmula $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$.
2. b) Calcula la longitud que debe tener el péndulo.

En un taller se ensaya un resorte de constante $k = 250\ \text{N/m}$ uniéndole una masa de $0,4\ \text{kg}$ y haciéndolo oscilar.

1. a) Calcula el período de la oscilación, $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.
2. b) Calcula la frecuencia, en $\text{Hz}$.

Un péndulo de $l = 1,5\ \text{m}$ de longitud forma parte de un experimento que se instalará en una base lunar. La gravedad en la superficie de la Luna es $g_L = 1,6\ \text{m/s}^2$ y en la Tierra $g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el período del péndulo en la Tierra.
2. b) Calcula el período en la Luna.
3. c) ¿Cuántas veces más lento oscila en la Luna? Calcula el cociente de ambos períodos.

El péndulo de Foucault instalado en el Panteón de París tiene una longitud de $l = 67\ \text{m}$ (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula su periodo de oscilación.
2. b) Calcula cuántas oscilaciones completas realiza en una hora.
3. c) Foucault usó una esfera de $28\ \text{kg}$. Justifica, a partir de la fórmula del periodo, por qué la masa de la esfera no influye en la medida y por qué interesa construir el péndulo lo más largo posible para observar el fenómeno con comodidad.

En el laboratorio se montan dos osciladores con el mismo resorte, de constante $k = 100\ \text{N/m}$: el oscilador A lleva una masa de $0,1\ \text{kg}$ y el oscilador B una masa de $0,4\ \text{kg}$. La figura muestra los dos montajes.

1. a) Calcula el periodo de cada oscilador y su cociente $\frac{T_B}{T_A}$.
2. b) Sin repetir los cálculos, razona con la fórmula $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$ qué relación hay entre ese cociente y el cociente de masas $\frac{m_B}{m_A}$.
3. c) ¿Qué constante elástica debería tener el resorte del oscilador B para que oscilara con el mismo periodo que el A? Justifícalo.

Se cuelga una masa de $m = 0,5\ \text{kg}$ de un resorte vertical de constante $k = 200\ \text{N/m}$ (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). El montaje se muestra en la figura.

1. a) Calcula cuánto se estira el resorte hasta alcanzar la posición de equilibrio, donde la fuerza elástica $k \cdot x_0$ iguala al peso $m \cdot g$.
2. b) Se separa ligeramente la masa de esa posición y se suelta. Calcula el período de la oscilación vertical, $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.
3. c) Explica por qué la gravedad no modifica el período respecto al mismo oscilador dispuesto en horizontal: ¿qué es lo único que cambia la gravedad en la oscilación vertical?

Un grupo de estudiantes mide la gravedad con un péndulo. La longitud medida es $l = 1,20\ \text{m}$ y cronometran $20$ oscilaciones completas en $44,0\ \text{s}$.

1. a) Calcula el período del péndulo.
2. b) Despeja $g$ de la fórmula $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$ y calcula su valor experimental.
3. c) Compara con el valor aceptado $g = 9,81\ \text{m/s}^2$ y explica por qué se cronometran $20$ oscilaciones y no una sola para obtener el período.