Ejercicios: Leyes de Kepler

Enuncia las tres leyes de Kepler (ley de las órbitas, ley de las áreas y ley de los periodos) con tus propias palabras y escribe la expresión matemática de la tercera ley.

Según la segunda ley de Kepler, un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Explica si la rapidez del planeta es mayor en el perihelio (punto más cercano al Sol) o en el afelio (punto más lejano), y justifica tu respuesta.

Un planeta A tarda $2$ años en dar una vuelta al Sol y otro planeta B tarda $8$ años. Según la tercera ley de Kepler, indica cuál de los dos está más lejos del Sol y explica por qué, sin necesidad de calcular distancias.

Un planeta imaginario orbita el Sol a una distancia media de $4$ unidades astronómicas (UA). Usando que la Tierra orbita a $1\ \text{UA}$ con un periodo de $1$ año y la tercera ley de Kepler, calcula el periodo del planeta en años.

Dos satélites artificiales, A y B, giran alrededor de la Tierra. El satélite A tiene un radio orbital $r_A$ y un periodo de $2\ \text{h}$. El satélite B orbita con un radio $r_B = 4\,r_A$. Aplica la tercera ley de Kepler para calcular el periodo de B y explica si se mueve más rápido o más lento que A.

Un satélite de observación pasa sobre el Ecuador y tiene un periodo orbital de $T = 5{,}4\times10^{3}\ \text{s}$ alrededor de la Tierra. Si la tercera ley se escribe $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G\,M_T}\,r^3$, con $M_T = 5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}$ y $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$, calcula el radio de su órbita. Expresa el resultado en kilómetros.

Un satélite de comunicaciones se coloca en órbita geoestacionaria sobre la línea ecuatorial, de modo que parece quieto sobre Quito. Su periodo es el de rotación de la Tierra, $T = 24\ \text{h}$.

1. a) Explica por qué su órbita debe estar en el plano del Ecuador y girar en el mismo sentido que la Tierra.
2. b) Calcula el radio de la órbita con $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G\,M_T}\,r^3$, $M_T = 5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}$ y $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$.
3. c) Halla la altura sobre la superficie, sabiendo que $R_T = 6{,}37\times10^{6}\ \text{m}$.

Un cometa describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio está a $0{,}5\ \text{UA}$ y en el afelio a $17{,}5\ \text{UA}$.

1. a) Calcula el semieje mayor de la órbita.
2. b) Aplica la tercera ley de Kepler, tomando a la Tierra ($1\ \text{UA}$, $1$ año) como referencia, para hallar el periodo del cometa.
3. c) Argumenta, con la segunda ley de Kepler, cómo se comparan las rapideces del cometa en el perihelio y en el afelio, y qué relación aproximada cumplen con las distancias en esos dos puntos.