Triángulos semejantes
Wilkin quiere saber la altura de un edificio de la Zona Colonial, pero no puede subir con una cinta métrica. Con un espejo en el suelo y un poco de geometría lo logra. ¿Qué hace falta para estar seguro de que dos triángulos tienen la misma forma? Menos de lo que piensas: basta una de tres condiciones, los postulados.
Congruencia y semejanza: postulados
¿Por qué bastan? Un triángulo con tres datos bien elegidos queda "rígido". En LLL, tres varillas de longitud fija solo se pueden unir de una forma. En LAL, el ángulo y los dos lados fijan el tercer vértice, y por tanto el tercer lado. En ALA, desde los dos extremos del lado salen dos rayos con ángulos dados, y esos rayos se cortan en un único punto: no hay otro triángulo posible.
Fíjate en la conexión: ALA es AA con un lado igual ($k = 1$), LLL y LAL son los mismos postulados con $k = 1$.
Dos triángulos tienen, respectivamente, los siguientes ángulos: el primero tiene un ángulo de $45^\circ$ y otro de $60^\circ$; el segundo tiene un ángulo de $60^\circ$ y…
Dos triángulos tienen, respectivamente, los siguientes ángulos: el primero tiene un ángulo de $45^\circ$ y otro de $60^\circ$; el segundo tiene un ángulo de $60^\circ$ y otro de $75^\circ$. Determina si ambos triángulos son semejantes justificando tu respuesta en base a los criterios de semejanza.
Determina si los triángulos $ABC$ y $DEF$ son semejantes, sabiendo que sus lados miden $AB = 12\text{ cm}$, $BC = 16\text{ cm}$, $CA = 20\text{ cm}$ y…
Determina si los triángulos $ABC$ y $DEF$ son semejantes, sabiendo que sus lados miden $AB = 12\text{ cm}$, $BC = 16\text{ cm}$, $CA = 20\text{ cm}$ y $DE = 9\text{ cm}$, $EF = 12\text{ cm}$, $FD = 15\text{ cm}$. En caso afirmativo, indica cuál es el criterio utilizado y la razón de semejanza.
Los lados de un triángulo miden $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Sabiendo que un segundo triángulo es semejante a este y que su lado menor mide…
Los lados de un triángulo miden $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Sabiendo que un segundo triángulo es semejante a este y que su lado menor mide $15\text{ cm}$, calcula la longitud de los otros dos lados del segundo triángulo.
Thales dentro de un triángulo
Cuando una recta corta a dos lados de un triángulo paralelamente al tercero, aparecen dos triángulos semejantes.
Demostración. Como $DE \parallel BC$, los ángulos $\angle ADE$ y $\angle ABC$ son correspondientes entre paralelas, y por eso son iguales. Lo mismo pasa con $\angle AED$ y $\angle ACB$. El ángulo $A$ es común. Por AA, $\triangle ADE \sim \triangle ABC$, y los lados correspondientes son proporcionales: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$. Además, $AB = AD + DB$ y $AC = AE + EC$, y restando 1 a cada razón inversa se llega a $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$.
Demostración del recíproco. Si $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$, los triángulos $ADE$ y $ABC$ tienen el ángulo $A$ común y los lados que lo forman proporcionales. Por LAL son semejantes, así que $\angle ADE = \angle ABC$. Esos ángulos son correspondientes, y si son iguales las rectas $DE$ y $BC$ son paralelas.
En un triángulo $ABC$, se traza un segmento $DE$ paralelo a la base $BC$, de modo que el punto $D$ pertenece al lado $AB$ y el punto $E$ al lado $AC$. Sabiendo que…
En un triángulo $ABC$, se traza un segmento $DE$ paralelo a la base $BC$, de modo que el punto $D$ pertenece al lado $AB$ y el punto $E$ al lado $AC$. Sabiendo que $AD = 4\text{ cm}$, $DB = 6\text{ cm}$ y $DE = 5\text{ cm}$, aplica el teorema de Tales en el triángulo para calcular la longitud de la base $BC$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En la siguiente figura, los segmentos $DE$ y $BC$ son paralelos. Las longitudes vienen dadas por expresiones algebraicas: $AD = x$, $DB = 2\text{ cm}$, $AE = x + 2$, y…
En la siguiente figura, los segmentos $DE$ y $BC$ son paralelos. Las longitudes vienen dadas por expresiones algebraicas: $AD = x$, $DB = 2\text{ cm}$, $AE = x + 2$, y $EC = 3\text{ cm}$. Aplica el teorema de Tales para plantear una ecuación y calcular el valor numérico de $x$.
Sombras, espejos, cámaras oscuras y visuales cruzadas
Las sombras, un espejo en el suelo, una cámara oscura o dos visuales que se cruzan al otro lado de un río generan triángulos semejantes por AA. Es el método de Wilkin.
Para calcular la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base del edificio. Al retroceder $1.5\text{ m}$ desde el…
Para calcular la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base del edificio. Al retroceder $1.5\text{ m}$ desde el espejo, el estudiante (cuyos ojos están a $1.6\text{ m}$ del suelo) puede ver exactamente la parte más alta del edificio reflejada en él. Sabiendo que los ángulos de incidencia y reflexión en el espejo forman triángulos rectángulos semejantes, calcula la altura del edificio.
Una cámara oscura (o cámara estenopeica) tiene una profundidad de $15\text{ cm}$. Se sitúa frente a un edificio que está a $30\text{ m}$ de distancia del orificio de la…
Una cámara oscura (o cámara estenopeica) tiene una profundidad de $15\text{ cm}$. Se sitúa frente a un edificio que está a $30\text{ m}$ de distancia del orificio de la cámara. Si la imagen invertida del edificio que se proyecta en el fondo de la cámara tiene una altura de $12\text{ cm}$, ¿cuál es la altura real del edificio?
Para medir la anchura de un río de orillas paralelas, un topógrafo se sitúa en un punto $A$ de una orilla, justo enfrente de un árbol $B$ en la orilla opuesta. Camina…
Para medir la anchura de un río de orillas paralelas, un topógrafo se sitúa en un punto $A$ de una orilla, justo enfrente de un árbol $B$ en la orilla opuesta. Camina $15\text{ m}$ por la orilla hasta un punto $C$ y clava un jalón. Luego camina $3\text{ m}$ más hasta el punto $D$, gira $90^\circ$ alejándose del río y camina $4\text{ m}$ hasta un punto $E$, desde el cual ve alineados el jalón $C$ y el árbol $B$. Calcula la anchura $x$ del río.
Triángulo rectángulo: teoremas de la altura y del cateto
En un triángulo rectángulo $ABC$ (recto en $C$), la altura $h$ sobre la hipotenusa $c$ la divide en dos proyecciones $m$ y $n$ ($m + n = c$). Aparecen tres triángulos semejantes por AA: el grande y los dos pequeños, porque cada uno comparte un ángulo agudo con el grande y tiene un ángulo recto.
De la semejanza salen dos teoremas:
¿Por qué? Los dos triángulos pequeños son semejantes entre sí: $\dfrac{h}{m} = \dfrac{n}{h}$, de donde $h^2 = mn$. Y el triángulo pequeño con el grande da $\dfrac{a}{c} = \dfrac{m}{a}$, de donde $a^2 = mc$.
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) que miden $4\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Aplica el…
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) que miden $4\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Aplica el teorema de la altura para calcular la longitud de dicha altura $h$.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $10\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre ella mide $3.6\text{ cm}$. Aplica el teorema del cateto para…
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $10\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre ella mide $3.6\text{ cm}$. Aplica el teorema del cateto para hallar la longitud de dicho cateto.
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa mide $6\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es de $4.5\text{ cm}$. Aplica…
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa mide $6\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es de $4.5\text{ cm}$. Aplica los teoremas de la semejanza en triángulos rectángulos para calcular el perímetro y el área del triángulo completo.
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) tales que uno es $5\text{ cm}$ más largo que el otro. Si la…
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) tales que uno es $5\text{ cm}$ más largo que el otro. Si la altura mide $6\text{ cm}$, determina analíticamente la longitud de los dos segmentos y calcula el perímetro exacto del triángulo original.
La diagonal de un rectángulo mide $20\text{ cm}$. Si trazamos la perpendicular desde uno de los vértices a la diagonal, esta queda dividida en dos segmentos. Si uno de…
La diagonal de un rectángulo mide $20\text{ cm}$. Si trazamos la perpendicular desde uno de los vértices a la diagonal, esta queda dividida en dos segmentos. Si uno de los segmentos mide $7.2\text{ cm}$, halla el área total del rectángulo aplicando los teoremas del cateto y de la altura.
Triángulos en una semicircunferencia
Si tomas un diámetro $AB$ de una circunferencia y un punto $C$ cualquiera de ella, el triángulo $ABC$ siempre es rectángulo, con el ángulo recto en $C$. Eso permite usar los teoremas de la altura y del cateto dentro de círculos, esferas y conos.
¿Por qué? Sea $O$ el centro. Como $OA = OB = OC$ (radios), los triángulos $OAC$ y $OBC$ son isósceles. Sus ángulos de la base miden $\alpha$ (en $A$ y en $C$) y $\beta$ (en $B$ y en $C$). Los tres ángulos de $ABC$ suman $\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180^\circ$, así que $\alpha + \beta = 90^\circ$, que es justo el ángulo en $C$.
En una esfera de radio $R = 15\text{ cm}$ se inscribe un cono recto cuya generatriz mide $g = 24\text{ cm}$. Considera el triángulo rectángulo formado por el diámetro de…
En una esfera de radio $R = 15\text{ cm}$ se inscribe un cono recto cuya generatriz mide $g = 24\text{ cm}$. Considera el triángulo rectángulo formado por el diámetro de la esfera y la generatriz del cono para aplicar los teoremas de semejanza. Calcula el radio de la base del cono y su altura.
Áreas y volúmenes con razón k
Si dos figuras semejantes tienen razón $k$: las longitudes (lados, perímetros) se multiplican por $k$, las áreas por $k^2$ y los volúmenes por $k^3$.
La razón de semejanza entre dos polígonos semejantes es $k = 2.5$. Si el área del polígono menor es de $12\text{ cm}^2$, ¿cuál es el área del polígono mayor?
La razón de semejanza entre dos polígonos semejantes es $k = 2.5$. Si el área del polígono menor es de $12\text{ cm}^2$, ¿cuál es el área del polígono mayor?
Dos empresas fabrican velas triangulares semejantes para barcos de competición. El perímetro de la vela pequeña es de $12\text{ m}$ y el de la vela grande es de…
Dos empresas fabrican velas triangulares semejantes para barcos de competición. El perímetro de la vela pequeña es de $12\text{ m}$ y el de la vela grande es de $18\text{ m}$. Si el área de la vela pequeña es de $6\text{ m}^2$, ¿cuál es el área de la vela grande?
Una pirámide de base cuadrada tiene una altura de $12\text{ cm}$ y el lado de su base mide $8\text{ cm}$. Se corta la pirámide por un plano paralelo a la base, situado a…
Una pirámide de base cuadrada tiene una altura de $12\text{ cm}$ y el lado de su base mide $8\text{ cm}$. Se corta la pirámide por un plano paralelo a la base, situado a $3\text{ cm}$ del vértice. Calcula el área de la sección obtenida y el volumen de la pirámide deficiente (la pequeña pirámide superior).
Un depósito de agua tiene forma de cono invertido (el vértice hacia abajo) con un radio en la base superior de $3\text{ m}$ y una profundidad total de $4\text{ m}$. Si…
Un depósito de agua tiene forma de cono invertido (el vértice hacia abajo) con un radio en la base superior de $3\text{ m}$ y una profundidad total de $4\text{ m}$. Si el depósito contiene agua hasta una altura de $2\text{ m}$, utiliza la relación entre los volúmenes de cuerpos semejantes para calcular el volumen de agua que contiene y el volumen vacío restante.
Triángulos semejantes escondidos
A veces los triángulos no están dibujados: hay que encontrarlos dentro de un cuadrado inscrito, un trapecio prolongado o dos postes con cables cruzados.
En un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, se inscribe un cuadrado de lado $x$ de tal forma que uno de los vértices del cuadrado coincide con…
En un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, se inscribe un cuadrado de lado $x$ de tal forma que uno de los vértices del cuadrado coincide con el vértice del ángulo recto del triángulo, y el vértice opuesto descansa sobre la hipotenusa. Calcula el valor exacto del lado del cuadrado $x$.
Dos postes verticales de alturas $4\text{ m}$ y $6\text{ m}$ están situados sobre un suelo horizontal, separados por una distancia de $10\text{ m}$. Se tiende un cable…
Dos postes verticales de alturas $4\text{ m}$ y $6\text{ m}$ están situados sobre un suelo horizontal, separados por una distancia de $10\text{ m}$. Se tiende un cable recto desde la parte superior de cada poste hasta la base del otro. Calcula a qué altura $h$ del suelo se cruzan ambos cables. Demuestra si este resultado depende o no de la distancia que separa los postes.
Se tiene un trapecio isósceles cuyas bases miden $15\text{ cm}$ y $25\text{ cm}$, y su altura es de $12\text{ cm}$. Se prolongan los lados no paralelos hasta que se…
Se tiene un trapecio isósceles cuyas bases miden $15\text{ cm}$ y $25\text{ cm}$, y su altura es de $12\text{ cm}$. Se prolongan los lados no paralelos hasta que se cortan en un punto, formando un triángulo en la parte superior. Calcula la altura $x$ de dicho triángulo superior y el área total del gran triángulo formado.