Área de un poliedro
Doña Altagracia quiere forrar con zinc nuevo el techo de una caseta con forma de pirámide, y Wilkin necesita saber cuánto cartón gasta en una caja para su proyecto del liceo. En los dos casos hay que calcular el área del cuerpo: la suma de las áreas de todas sus caras. El truco es desplegarlo y verlo plano.
El desarrollo plano
Si "abres" un poliedro y lo extiendes sobre la mesa, obtienes su desarrollo plano: todas sus caras unidas por algunas aristas. El área del poliedro es el área de ese desarrollo. Te recomiendo que lo construyas tú mismo con cartulina, regla, escuadra y tijeras: se entiende mucho mejor.
Un joven diseñador está creando un prototipo de altavoz inteligente con forma de cubo. Si la arista del cubo mide $9\text{ cm}$, calcula la superficie total de material…
Un joven diseñador está creando un prototipo de altavoz inteligente con forma de cubo. Si la arista del cubo mide $9\text{ cm}$, calcula la superficie total de material plástico que se necesita para recubrir todas sus caras.
A partir del desarrollo plano de la figura, identifica de qué poliedro se trata y calcula su área total sabiendo que cada cuadrado tiene $5\text{ cm}$ de lado.
A partir del desarrollo plano de la figura, identifica de qué poliedro se trata y calcula su área total sabiendo que cada cuadrado tiene $5\text{ cm}$ de lado.
Área de un prisma
Las caras laterales de un prisma recto, desplegadas, forman un rectángulo cuya base es el perímetro de la base del prisma y cuya altura es la altura del prisma.
Cuando la base no es un rectángulo, primero hallas su perímetro y su área con lo que ya sabes (por ejemplo, el rombo: $A = \frac{D \times d}{2}$, y su lado con Pitágoras usando las semidiagonales). Si te dan el volumen, recuerda que $V = A_{base} \times h$ y despeja la altura.
La diagonal espacial de un ortoedro
La diagonal espacial une dos esquinas opuestas de un ortoedro de dimensiones $a$, $b$ y $c$. Se obtiene con Pitágoras dos veces: primero la diagonal del piso, $d_1^2 = a^2 + b^2$, y luego un triángulo rectángulo con catetos $d_1$ y $c$ (la altura):
$$D^2 = a^2 + b^2 + c^2$$Si te dan $D$ y te piden una dimensión, despeja en $D^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Por ejemplo, si el largo es el doble del ancho ($a = 2b$), queda $D^2 = 4b^2 + b^2 + c^2 = 5b^2 + c^2$, una ecuación en la que solo falta $b$.
Una caja de zapatos tiene forma de ortoedro (prisma rectangular) con las siguientes dimensiones: $30\text{ cm}$ de largo, $18\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de…
Una caja de zapatos tiene forma de ortoedro (prisma rectangular) con las siguientes dimensiones: $30\text{ cm}$ de largo, $18\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de alto. Calcula el área total de cartón utilizado para fabricar la caja (sin contar solapas).
Calcula el área lateral de un prisma recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y cuya base es un rombo de diagonales $16\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. (Pista: Primero debes…
Calcula el área lateral de un prisma recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y cuya base es un rombo de diagonales $16\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$.
(Pista: Primero debes hallar el lado del rombo usando el Teorema de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos interiores de la base).
Para un proyecto de tecnología, tienes que construir una caja de herramientas con forma de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide $10\text{ cm}$ y la altura…
Para un proyecto de tecnología, tienes que construir una caja de herramientas con forma de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide $10\text{ cm}$ y la altura del prisma es de $25\text{ cm}$. Si quieres forrar todas las caras exteriores (incluidas las dos bases) con una lámina protectora, ¿cuántos centímetros cuadrados de material necesitarás?
(Nota: Recuerda que para calcular el área de la base necesitarás hallar primero la apotema del hexágono usando el teorema de Pitágoras).
Un estudio de arquitectura está diseñando un loft con forma de ortoedro. Se sabe que la longitud de la habitación es el doble que su anchura, y que la altura es de…
Un estudio de arquitectura está diseñando un loft con forma de ortoedro. Se sabe que la longitud de la habitación es el doble que su anchura, y que la altura es de exactamente $3\text{ m}$. Si la diagonal espacial (la distancia máxima entre dos esquinas opuestas) mide exactamente $7\text{ m}$, calcula el área total de las paredes y el techo (sin contar el piso) que debe cubrirse con pintura aislante.
Área de una pirámide
Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos iguales de base el lado $l$ y altura la apotema de la pirámide $ap$:
$$A_L = \frac{P_{base} \times ap}{2}$$ $$A_T = A_L + A_{base}$$Calcula el área lateral de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base mide $10\text{ cm}$ y la apotema de la pirámide (la altura de sus caras…
Calcula el área lateral de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base mide $10\text{ cm}$ y la apotema de la pirámide (la altura de sus caras laterales) mide $15\text{ cm}$.
Una empresa de arquitectura ha diseñado un lucernario de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $4\text{ m}$ y la altura de la…
Una empresa de arquitectura ha diseñado un lucernario de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $4\text{ m}$ y la altura de la pirámide es de $3\text{ m}$. Calcula la superficie total de cristal necesaria para cubrir las cuatro caras laterales (la base queda abierta para dejar pasar la luz al interior del edificio).
Tronco de pirámide y poliedros regulares
Un tronco de pirámide es lo que queda al cortar una pirámide con un plano paralelo a la base y quitar la parte de arriba. Sus caras laterales son trapecios y tiene dos bases distintas ($B$ la mayor, $b$ la menor).
$$A_L = \frac{(P_B + P_b) \times ap}{2}$$ $$A_T = A_L + A_B + A_b$$Aquí $ap$ es la apotema del tronco (la altura de cada trapecio). Si te dan la altura $h$ del tronco, usa Pitágoras en un triángulo rectángulo de catetos $h$ y la diferencia de las apotemas de las bases (en cuadrados, $\frac{l_B - l_b}{2}$).
Poliedros regulares: todas las caras son iguales, así que $A = \text{n.° de caras} \times \text{área de una cara}$. Para un triángulo equilátero de lado $l$, el área de cada cara es $\frac{\sqrt{3}}{4}\,l^2$.
Cuando un cuerpo es compuesto (por ejemplo, un prisma con una pirámide encima), suma las áreas de las caras exteriores y descuenta las caras que quedan pegadas: no forman parte de la superficie exterior.
Un cristalero debe fabricar un cristal para una lámpara con forma de tetraedro regular (todas sus caras son triángulos equiláteros iguales). Si cada cara tiene un área…
Un cristalero debe fabricar un cristal para una lámpara con forma de tetraedro regular (todas sus caras son triángulos equiláteros iguales). Si cada cara tiene un área de $15.6\text{ cm}^2$, ¿cuánta superficie de cristal tendrá la lámpara completa?
Calcula el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases son cuadrados de lados $12\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$ respectivamente, y cuya altura de…
Calcula el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases son cuadrados de lados $12\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$ respectivamente, y cuya altura de la cara lateral (apotema del tronco) es de $8\text{ cm}$. ¿Cuánto papel de regalo se necesita como mínimo para envolver un objeto con esta forma?
Un trofeo tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. El trofeo se va a bañar en plata, y el costo del baño es de $\text{RD\$}\ 3…
Un trofeo tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. El trofeo se va a bañar en plata, y el costo del baño es de $\text{RD\$}\ 3$ por cada centímetro cuadrado. ¿Cuál será el costo total de platear las $8$ caras del trofeo?
(Dato: El área de un triángulo equilátero de lado $a$ es $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$).
Una marca de perfumes de lujo ha diseñado un frasco con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mayor mide $8\text{ cm}$ y la arista de la…
Una marca de perfumes de lujo ha diseñado un frasco con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mayor mide $8\text{ cm}$ y la arista de la base menor mide $4\text{ cm}$. Si la altura del frasco es de $10\text{ cm}$, calcula la superficie total de vidrio necesaria para fabricar el frasco (incluyendo ambas bases). Para ello, deberás calcular primero la apotema del tronco de pirámide (la altura de una cara lateral) utilizando el teorema de Pitágoras. En la figura, $h$ es la altura del frasco y $a$ es la apotema.
Caras, vértices y aristas: Euler
En todo poliedro convexo se cumple la relación de Euler: contando caras ($C$), vértices ($V$) y aristas ($A$),
$$C + V = A + 2$$Sirve para comprobar que contaste bien, o para hallar un dato que falta. En un cubo: $6 + 8 = 12 + 2$. Se cumple.
Verifica si se cumple el Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) para un prisma de base pentagonal, como el de la figura (las aristas discontinuas son las que quedan…
Verifica si se cumple el Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) para un prisma de base pentagonal, como el de la figura (las aristas discontinuas son las que quedan ocultas). Indica claramente el número de caras ($C$), vértices ($V$) y aristas ($A$) que has contado.
Un nuevo poliedro para un juego de mesa ha sido diseñado cumpliendo el teorema de Euler. Sabemos que el dado tiene $14$ vértices y que todas sus caras son triángulos…
Un nuevo poliedro para un juego de mesa ha sido diseñado cumpliendo el teorema de Euler. Sabemos que el dado tiene $14$ vértices y que todas sus caras son triángulos equiláteros. ¿Podrías deducir cuántas caras tiene este poliedro y cuál es el número total de aristas? Demuestra tu respuesta utilizando la relación matemática de Euler.
El "Teorema de Euler" establece que en poliedros convexos $C + V = A + 2$. Imagina un poliedro que tiene el mismo número de caras que de vértices. Si el número de…
El "Teorema de Euler" establece que en poliedros convexos $C + V = A + 2$. Imagina un poliedro que tiene el mismo número de caras que de vértices. Si el número de aristas es de $6$, deduce cuántas caras tiene y propón el nombre de un poliedro regular que cumpla esta condición. Una vez identificado, calcula su área total si su arista mide $\sqrt{10}\text{ cm}$.
Cuerpos compuestos y problemas
Los problemas más largos combinan todo lo anterior. Sigue este plan: comprende qué superficie te piden (¿con tapa? ¿sin piso?), dibuja el desarrollo, calcula los datos que faltan (con Pitágoras si hace falta), ejecuta las sumas y revisa unidades y resultado.
Diseñamos una pieza decorativa de madera que consiste en un prisma cuadrangular recto de base $8\text{ cm}$ y altura $10\text{ cm}$ al que se le ha extraído una pirámide…
Diseñamos una pieza decorativa de madera que consiste en un prisma cuadrangular recto de base $8\text{ cm}$ y altura $10\text{ cm}$ al que se le ha extraído una pirámide con la misma base y la misma altura. Calcula el área total de la superficie de esta pieza (incluyendo el "hueco" interior dejado por la pirámide).
Calcula el área lateral de un prisma pentagonal regular sabiendo que su volumen es de $450\text{ cm}^3$, el área de su base es de $30\text{ cm}^2$ y el lado de la base…
Calcula el área lateral de un prisma pentagonal regular sabiendo que su volumen es de $450\text{ cm}^3$, el área de su base es de $30\text{ cm}^2$ y el lado de la base mide $4\text{ cm}$.
(Pista: Utiliza primero la fórmula del volumen para encontrar la altura del prisma).
Se quiere fabricar una papelera metálica sin tapa con forma de prisma octogonal regular. La base tiene un perímetro de $64\text{ cm}$ y una apotema de $9.66\text{ cm}$.…
Se quiere fabricar una papelera metálica sin tapa con forma de prisma octogonal regular. La base tiene un perímetro de $64\text{ cm}$ y una apotema de $9.66\text{ cm}$. La altura de la papelera es de $40\text{ cm}$. Calcula la superficie total de metal necesaria para su fabricación.
Se desea construir una pieza metálica uniendo un prisma hexagonal regular y una pirámide hexagonal regular que encaja perfectamente sobre su base superior. El lado del…
Se desea construir una pieza metálica uniendo un prisma hexagonal regular y una pirámide hexagonal regular que encaja perfectamente sobre su base superior. El lado del hexágono de la base mide $6\text{ cm}$, la altura del prisma es de $15\text{ cm}$ y la altura de la pirámide es de $8\text{ cm}$. Calcula el área de la superficie exterior de la pieza completa (ten en cuenta que la base donde se unen ambos cuerpos no cuenta como superficie exterior).
Una hormiga recorre la superficie de un octaedro regular de arista $12\text{ cm}$. Si el octaedro se puede considerar como la unión de dos pirámides cuadrangulares…
Una hormiga recorre la superficie de un octaedro regular de arista $12\text{ cm}$. Si el octaedro se puede considerar como la unión de dos pirámides cuadrangulares regulares por su base, calcula el área total de la superficie que la hormiga puede recorrer. Para ello, recuerda que todas las caras de un octaedro regular son triángulos equiláteros. Expresa el resultado en función de $\sqrt{3}$.
Un prisma recto de $20\text{ cm}$ de altura tiene como base un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $14\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$, y su altura es de…
Un prisma recto de $20\text{ cm}$ de altura tiene como base un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $14\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$, y su altura es de $3\text{ cm}$. Calcula el área total del prisma. Pista: Necesitarás calcular primero la longitud de los lados oblicuos del trapecio de la base usando el teorema de Pitágoras.
Se ha fabricado un contenedor de residuos industriales con forma de prisma recto cuya base es un rombo. Las diagonales del rombo de la base miden $160\text{ cm}$ y…
Se ha fabricado un contenedor de residuos industriales con forma de prisma recto cuya base es un rombo. Las diagonales del rombo de la base miden $160\text{ cm}$ y $120\text{ cm}$. Si la altura del contenedor es de $2\text{ metros}$, calcula el área total de la superficie exterior del contenedor en metros cuadrados ($m^2$).
Considera un cubo de arista $10\text{ cm}$. Si realizamos un corte plano que pasa por los puntos medios de tres aristas que concurren en un mismo vértice, obtenemos una…
Considera un cubo de arista $10\text{ cm}$. Si realizamos un corte plano que pasa por los puntos medios de tres aristas que concurren en un mismo vértice, obtenemos una pequeña pirámide triangular (llamada tetraedro trunco). Calcula el área total del sólido que queda después de retirar esa pequeña pirámide en esa esquina.
Vuelve al principio: para la caja de Wilkin (cerrada) calculas el área total, lateral más dos bases; para el techo de zinc de la caseta piramidal de doña Altagracia solo necesitas el área lateral, porque la base es el piso.