Un maestro constructor quiere que la esquina de una casa en un solar quede perfectamente en escuadra. Marca $3\text{ m}$ en una pared, $4\text{ m}$ en la otra y ajusta hasta que la cuerda entre ambas marcas mida justo $5\text{ m}$. ¿Por qué esa medida garantiza el ángulo recto? En este apartado lo vas a demostrar, y además usarás el teorema para calcular diagonales, alturas, apotemas, cuerdas y distancias en el espacio.
El teorema y su demostración
Mueve los valores y mira cómo el área del cuadrado de la hipotenusa siempre es la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos. Pero ver no es demostrar. Veamos una demostración por áreas.
En la sección de la altura y el cateto verás una segunda demostración, por semejanza de triángulos.
Practica★☆☆Sin empezar
Una escalera de bomberos se apoya en la fachada de un edificio. La base de la escalera está a $3\text{ m}$ de la pared y alcanza una altura de $4\text{ m}$ en la…
Una escalera de bomberos se apoya en la fachada de un edificio. La base de la escalera está a $3\text{ m}$ de la pared y alcanza una altura de $4\text{ m}$ en la fachada. Calcula la longitud total de la escalera.
Un mástil de telecomunicaciones está sujeto por un cable tensado desde su extremo superior hasta un punto en el suelo. El cable mide $13\text{ m}$ y el mástil tiene una…
Un mástil de telecomunicaciones está sujeto por un cable tensado desde su extremo superior hasta un punto en el suelo. El cable mide $13\text{ m}$ y el mástil tiene una altura de $12\text{ m}$. Determina a qué distancia de la base del mástil está anclado el cable en el suelo.
Las dimensiones de una pantalla de computadora rectangular son $32\text{ cm}$ de ancho y $24\text{ cm}$ de alto. Calcula la longitud de su diagonal para saber el tamaño…
Las dimensiones de una pantalla de computadora rectangular son $32\text{ cm}$ de ancho y $24\text{ cm}$ de alto. Calcula la longitud de su diagonal para saber el tamaño real de la pantalla.
Entre la diagonal de un rectángulo, la de un cuadrado o el lado de un rombo siempre hay un triángulo rectángulo escondido. Hay que encontrarlo.
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Una plaza tiene forma de cuadrado con un lado de $50\text{ m}$. Si decides cruzarla en línea recta desde una esquina hasta la esquina opuesta, ¿qué distancia recorrerás?
Una plaza tiene forma de cuadrado con un lado de $50\text{ m}$. Si decides cruzarla en línea recta desde una esquina hasta la esquina opuesta, ¿qué distancia recorrerás?
Para construir una cometa con forma de rombo, se han cruzado dos varillas de madera que miden $60\text{ cm}$ y $80\text{ cm}$. Calcula la longitud del borde exterior de…
Para construir una cometa con forma de rombo, se han cruzado dos varillas de madera que miden $60\text{ cm}$ y $80\text{ cm}$. Calcula la longitud del borde exterior de la cometa (el lado del rombo).
El perímetro de una piscina con forma de rombo es de $52\text{ m}$ y una de sus diagonales mide $10\text{ m}$. Calcula la longitud de la otra diagonal y el área de la…
El perímetro de una piscina con forma de rombo es de $52\text{ m}$ y una de sus diagonales mide $10\text{ m}$. Calcula la longitud de la otra diagonal y el área de la superficie de la piscina.
Un triángulo isósceles no es rectángulo, pero su altura lo corta en dos triángulos rectángulos iguales, porque cae sobre el punto medio de la base.
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Una señal de tráfico tiene forma de triángulo isósceles. Su base mide $60\text{ cm}$ y cada uno de los dos lados iguales mide $50\text{ cm}$. Calcula la altura $h$ de la…
Una señal de tráfico tiene forma de triángulo isósceles. Su base mide $60\text{ cm}$ y cada uno de los dos lados iguales mide $50\text{ cm}$. Calcula la altura $h$ de la señal.
El corte transversal de un canal de riego tiene forma de trapecio isósceles. La anchura en la parte superior es de $8\text{ m}$, la anchura en el fondo es de…
El corte transversal de un canal de riego tiene forma de trapecio isósceles. La anchura en la parte superior es de $8\text{ m}$, la anchura en el fondo es de $2\text{ m}$ y la profundidad del canal es de $4\text{ m}$. Calcula la longitud de los lados inclinados $x$ del canal.
En un trapecio, al trazar las alturas desde los extremos de la base menor aparecen triángulos rectángulos a los lados. Siempre pregúntate: ¿qué parte de la base cae en cada triángulo?
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Una parcela de terreno tiene forma de trapecio rectángulo. El lado perpendicular a las bases mide $12\text{ m}$, la base mayor mide $30\text{ m}$ y la base menor mide…
Una parcela de terreno tiene forma de trapecio rectángulo. El lado perpendicular a las bases mide $12\text{ m}$, la base mayor mide $30\text{ m}$ y la base menor mide $25\text{ m}$. Calcula el perímetro total de la parcela.
Una antena vertical está sujeta por dos cables anclados en el suelo a lados opuestos de la base. Un cable mide $15\text{ m}$ y está anclado a $9\text{ m}$ de la base. El…
Una antena vertical está sujeta por dos cables anclados en el suelo a lados opuestos de la base. Un cable mide $15\text{ m}$ y está anclado a $9\text{ m}$ de la base. El otro cable está anclado a $16\text{ m}$ de la base. Calcula la altura de la antena y la longitud del segundo cable.
La altura sobre la hipotenusa divide al triángulo rectángulo en dos triángulos más pequeños. Los tres triángulos son semejantes (tienen los mismos ángulos), y de ahí salen relaciones muy útiles.
Aquí $a$ es la hipotenusa, $b$ y $c$ los catetos, $m$ es la proyección de $b$ sobre la hipotenusa y $n$ la de $c$.
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En el diseño de la cubierta de una nave industrial, la estructura principal forma un triángulo rectángulo. La altura relativa a la hipotenusa divide a esta en dos…
En el diseño de la cubierta de una nave industrial, la estructura principal forma un triángulo rectángulo. La altura relativa a la hipotenusa divide a esta en dos segmentos de $4\text{ m}$ y $9\text{ m}$. Aplica el teorema de la altura para calcular la longitud de dicha altura.
En un parque, un parterre de flores tiene forma de triángulo rectángulo. La hipotenusa mide $25\text{ m}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa mide…
En un parque, un parterre de flores tiene forma de triángulo rectángulo. La hipotenusa mide $25\text{ m}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa mide $9\text{ m}$. Utiliza el teorema del cateto para calcular la longitud de ese cateto.
El tejado de una casa tiene forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura del tejado respecto a la base horizontal es de $6\text{ m}$ y la…
El tejado de una casa tiene forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura del tejado respecto a la base horizontal es de $6\text{ m}$ y la proyección de una de las vertientes (cateto) sobre la base es de $8\text{ m}$. Calcula la longitud de la otra proyección y la medida de los dos lados inclinados del tejado.
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa mide $12\text{ cm}$ y uno de los catetos mide $15\text{ cm}$. Utilizando los teoremas del cateto y de la…
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa mide $12\text{ cm}$ y uno de los catetos mide $15\text{ cm}$. Utilizando los teoremas del cateto y de la altura, o el teorema de Pitágoras iterativamente, calcula la longitud de la hipotenusa $a$ y del otro cateto $c$.
El radio, la mitad de una cuerda y la distancia del centro a la cuerda forman un triángulo rectángulo. Esto es así porque el radio perpendicular a una cuerda la corta por su punto medio.
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Una tubería cilíndrica transporta agua. El radio de la tubería es de $13\text{ cm}$ y la superficie del agua forma una cuerda horizontal de $24\text{ cm}$ de ancho. Si…
Una tubería cilíndrica transporta agua. El radio de la tubería es de $13\text{ cm}$ y la superficie del agua forma una cuerda horizontal de $24\text{ cm}$ de ancho. Si el nivel del agua está por debajo del centro de la tubería, ¿cuál es la profundidad máxima del agua $h$?
En una pieza circular de madera de $25\text{ cm}$ de radio, se realizan dos cortes rectos y paralelos. Uno de los cortes tiene una longitud de $48\text{ cm}$ y el otro…
En una pieza circular de madera de $25\text{ cm}$ de radio, se realizan dos cortes rectos y paralelos. Uno de los cortes tiene una longitud de $48\text{ cm}$ y el otro de $40\text{ cm}$. Si ambos cortes se realizan a lados opuestos del centro del círculo, calcula la distancia perpendicular que separa a los dos cortes.
Un logotipo está formado por un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia. La base del triángulo mide $16\text{ cm}$ y su altura relativa a la base mide…
Un logotipo está formado por un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia. La base del triángulo mide $16\text{ cm}$ y su altura relativa a la base mide $18\text{ cm}$. Calcula el radio de la circunferencia en la que está inscrito el triángulo.
En tres dimensiones, Pitágoras se aplica dos veces seguidas: primero en una cara para hallar una diagonal plana, y luego con la altura para hallar la diagonal espacial.
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Para transportar una barra de metal rígida, se dispone de una caja con forma de ortoedro (prisma rectangular) cuyas dimensiones son $80\text{ cm}$ de largo,…
Para transportar una barra de metal rígida, se dispone de una caja con forma de ortoedro (prisma rectangular) cuyas dimensiones son $80\text{ cm}$ de largo, $60\text{ cm}$ de ancho y $50\text{ cm}$ de alto. Calcula la longitud máxima que puede tener la barra para que quepa completamente cerrada dentro de la caja.
La Gran Pirámide de Guiza tiene una base cuadrada. Supongamos que el lado de su base mide $230\text{ m}$ y que la longitud de una de sus aristas laterales (desde un…
La Gran Pirámide de Guiza tiene una base cuadrada. Supongamos que el lado de su base mide $230\text{ m}$ y que la longitud de una de sus aristas laterales (desde un vértice de la base hasta la cúspide) es de $219\text{ m}$. Calcula la altura $h$ de la pirámide.
Una habitación tiene forma de prisma rectangular de dimensiones $5\text{ m}$ de largo, $4\text{ m}$ de ancho y $3\text{ m}$ de alto. Una araña se encuentra en una…
Una habitación tiene forma de prisma rectangular de dimensiones $5\text{ m}$ de largo, $4\text{ m}$ de ancho y $3\text{ m}$ de alto. Una araña se encuentra en una esquina del techo y quiere llegar a la esquina opuesta del piso caminando por las paredes, el techo o el piso. Si la araña toma el camino más corto posible, calcula dicha distancia. (Pista: imagina el desarrollo plano de la habitación).
A veces no conoces ningún lado completo, solo relaciones entre ellos. Entonces llamas $x$ a la incógnita y el teorema te da una ecuación (o un sistema).
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En un jardín, se quiere delimitar una zona con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que las longitudes de sus tres lados son tres números enteros pares consecutivos.…
En un jardín, se quiere delimitar una zona con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que las longitudes de sus tres lados son tres números enteros pares consecutivos. Plantea la ecuación correspondiente usando el teorema de Pitágoras y determina las longitudes de los tres lados.
Un puente tiene una estructura lateral en forma de trapecio escaleno. Las bases horizontales miden $40\text{ m}$ y $26\text{ m}$, y los lados oblicuos miden…
Un puente tiene una estructura lateral en forma de trapecio escaleno. Las bases horizontales miden $40\text{ m}$ y $26\text{ m}$, y los lados oblicuos miden $13\text{ m}$ y $15\text{ m}$. Planteando un sistema de ecuaciones con el teorema de Pitágoras, calcula la altura del trapecio.
Dos torres de $15\text{ m}$ y $20\text{ m}$ de altura están separadas por una distancia horizontal desconocida. Un pájaro vuela en línea recta desde la cima de la torre…
Dos torres de $15\text{ m}$ y $20\text{ m}$ de altura están separadas por una distancia horizontal desconocida. Un pájaro vuela en línea recta desde la cima de la torre de $15\text{ m}$ hasta la base de la torre de $20\text{ m}$, recorriendo exactamente $25\text{ m}$. Calcula la distancia entre las bases de las torres. A continuación, si otro pájaro vuela en línea recta desde la cima de la torre de $20\text{ m}$ hasta la base de la torre de $15\text{ m}$, ¿qué distancia recorrerá?
Vuelve al principio: la cuerda de $5\text{ m}$ garantiza la escuadra porque $3^2 + 4^2 = 5^2$, y por el recíproco del teorema ese triángulo tiene un ángulo recto.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado