Teorema de Thales
Yaritza quiere saber qué altura tiene la palma que está frente a su liceo, y no piensa treparse. Clava una vara de $1.5$ m en el suelo y mide las sombras. Con un poco de geometría y una proporción, sale la respuesta. Esa herramienta es el teorema de Thales, y en este apartado vas a ver qué dice, por qué es cierto y cómo se usa.
El teorema de Thales
En la figura, las tres rectas horizontales son paralelas y las dos secantes las cortan:
Aquí $\dfrac{6}{4.5} = \dfrac{8}{x}$. Cada segmento de una secante se compara con su correspondiente, el que queda entre las mismas paralelas.
Calcula el valor del segmento desconocido $x$ en la siguiente figura, sabiendo que las rectas horizontales son paralelas entre sí.
Calcula el valor del segmento desconocido $x$ en la siguiente figura, sabiendo que las rectas horizontales son paralelas entre sí.
Dos rectas secantes son cortadas por dos rectas paralelas. En la primera recta secante, los segmentos determinados por las paralelas miden $12$ cm y $15$ cm. En la…
Dos rectas secantes son cortadas por dos rectas paralelas. En la primera recta secante, los segmentos determinados por las paralelas miden $12$ cm y $15$ cm. En la segunda recta secante, el segmento correspondiente al de $12$ cm mide $8$ cm. Calcula la longitud del segmento correspondiente al de $15$ cm.
Halla el valor de $x$ aplicando el Teorema de Tales en el siguiente diagrama, donde las tres rectas verticales son paralelas. Expresa el resultado como un número entero…
Halla el valor de $x$ aplicando el Teorema de Tales en el siguiente diagrama, donde las tres rectas verticales son paralelas. Expresa el resultado como un número entero o una fracción simplificada.
Thales en el triángulo y su demostración
Cuando una paralela a un lado corta a los otros dos lados de un triángulo, tenemos el mismo teorema con las secantes unidas en un vértice. Se dice que los triángulos están en posición de Thales.
¿Por qué es cierto? Demostración en el triángulo
Compara áreas. Los triángulos $AMN$ y $MNB$ tienen la misma altura (la distancia de $N$ a la recta $AB$), así que sus áreas están en la razón de sus bases:
$$\dfrac{\text{área}(AMN)}{\text{área}(MNB)} = \dfrac{AM}{MB}$$Del mismo modo, $AMN$ y $MNC$ tienen la misma altura (la distancia de $M$ a la recta $AC$):
$$\dfrac{\text{área}(AMN)}{\text{área}(MNC)} = \dfrac{AN}{NC}$$Pero $MNB$ y $MNC$ comparten la base $\overline{MN}$ y, por ser $MN \parallel BC$, tienen la misma altura. Entonces tienen la misma área, y las dos razones anteriores son iguales: $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}$. ∎
Además, $AMN$ y $ABC$ comparten el ángulo $A$ y tienen ángulos correspondientes iguales, así que son semejantes. De ahí salen las igualdades con $MN$ y $BC$.
Demostración del teorema general (varias paralelas)
Sean $r_1 \parallel r_2 \parallel r_3$ y dos secantes $s$ y $s'$. La secante $s$ las corta en $A$, $B$, $C$ y la secante $s'$ en $A'$, $B'$, $C'$. Queremos probar que $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{B'C'}$.
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Por $A$ traza una paralela a $s'$. Corta a $r_2$ en $P$ y a $r_3$ en $Q$.
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$AA'B'P$ es un paralelogramo (lados opuestos paralelos), así que $AP = A'B'$. Igualmente $PB'C'Q$ es un paralelogramo, así que $PQ = B'C'$.
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En el triángulo $ACQ$, el segmento $\overline{PB}$ es paralelo a $\overline{QC}$ (están en $r_2$ y $r_3$). Por Thales en el triángulo: $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AP}{PQ}$.
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Sustituyendo $AP = A'B'$ y $PQ = B'C'$: $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{B'C'}$. ∎
Los triángulos de la figura están en posición de Tales. Calcula las longitudes de los lados $x$ e $y$.
Los triángulos de la figura están en posición de Tales. Calcula las longitudes de los lados $x$ e $y$.
En un triángulo $\Delta ABC$, se traza un segmento $MN$ paralelo al lado $BC$, de modo que $M$ pertenece al lado $AB$ y $N$ al lado $AC$. Sabemos que $AM = 4$ cm,…
En un triángulo $\Delta ABC$, se traza un segmento $MN$ paralelo al lado $BC$, de modo que $M$ pertenece al lado $AB$ y $N$ al lado $AC$. Sabemos que $AM = 4$ cm, $MB = 2$ cm y $AN = 6$ cm. Calcula la longitud del lado completo $AC$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
El recíproco de Thales
¿Por qué?
Traza por $M$ la paralela a $BC$ y llama $N'$ al punto donde corta a $AC$. Por Thales, $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN'}{N'C}$. Pero por hipótesis también $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}$. Solo hay un punto de $AC$ que reparte el lado en esa razón, así que $N' = N$. Por tanto $MN$ es esa paralela. ∎
Esto te deja comprobar paralelismo con una cinta métrica, sin escuadra ni transportador.
Tres rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes $r$ y $s$. En la recta $r$, los segmentos miden $3.5$ cm y $5$ cm. En la recta $s$, el segmento…
Tres rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes $r$ y $s$. En la recta $r$, los segmentos miden $3.5$ cm y $5$ cm. En la recta $s$, el segmento correspondiente al de $3.5$ cm mide $4.2$ cm. ¿Cuánto mide el segmento correspondiente al de $5$ cm en la recta $s$?
Comprueba si los segmentos determinados por tres rectas sobre dos secantes son proporcionales. En la primera secante miden $15$ cm y $20$ cm. En la segunda secante miden…
Comprueba si los segmentos determinados por tres rectas sobre dos secantes son proporcionales. En la primera secante miden $15$ cm y $20$ cm. En la segunda secante miden $24$ cm y $32$ cm. ¿Son paralelas las tres rectas? Justifica tu respuesta usando el recíproco del Teorema de Tales.
Dividir un segmento en partes iguales
Con regla y compás, Thales te permite dividir cualquier segmento en $n$ partes iguales sin tener que medir con decimales.
Explica los pasos geométricos necesarios para dividir un segmento de $11$ cm en $5$ partes exactamente iguales utilizando regla, compás y el Teorema de Tales.
Explica los pasos geométricos necesarios para dividir un segmento de $11$ cm en $5$ partes exactamente iguales utilizando regla, compás y el Teorema de Tales.
Thales con incógnitas y figuras en X
A veces los segmentos del teorema no son números sino expresiones con $x$. También hay figuras donde las dos paralelas quedan a lados distintos de un punto de cruce.
Figura de reloj de arena
Dos transversales se cruzan en $P$ entre dos paralelas. Se forman dos triángulos semejantes, uno hacia arriba y otro hacia abajo, y sus lados homólogos son proporcionales.
Cuando aparece $x^2$
Si al desarrollar el $x^2$ no se cancela, queda una ecuación de segundo grado: se lleva a la forma $ax^2 + bx + c = 0$, se resuelve y se descartan las soluciones que den longitudes negativas o cero.
Alturas que crecen desde un vértice
Si dos tirantes verticales parten de un mismo brazo inclinado, sus alturas son proporcionales a su distancia al punto donde el brazo toca la base (el vértice).
En un sistema de dos rectas secantes cortadas por tres rectas paralelas, los segmentos de la primera secante miden $x$ y $x+3$. En la segunda secante, los segmentos…
En un sistema de dos rectas secantes cortadas por tres rectas paralelas, los segmentos de la primera secante miden $x$ y $x+3$. En la segunda secante, los segmentos correspondientes miden $x-2$ y $x$. Plantea la proporción, resuelve la ecuación resultante y halla el valor de los cuatro segmentos.
En la estructura de una grúa torre, el brazo principal forma un triángulo con los cables tensores. Desde un nodo $A$ en el brazo principal se traza un tirante vertical…
En la estructura de una grúa torre, el brazo principal forma un triángulo con los cables tensores. Desde un nodo $A$ en el brazo principal se traza un tirante vertical hasta el brazo inferior horizontal, midiendo $3$ m. Desde un nodo $B$, situado $4$ m más adelante en el brazo principal, se traza otro tirante vertical que mide $4.5$ m. ¿A qué distancia del nodo $A$ se encuentra el punto de articulación (donde se unen los dos brazos de la grúa)?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dos rectas paralelas distan entre sí $H$. Dos segmentos transversales se cruzan en un punto $P$ entre las paralelas, formando una figura en forma de reloj de arena. Los…
Dos rectas paralelas distan entre sí $H$. Dos segmentos transversales se cruzan en un punto $P$ entre las paralelas, formando una figura en forma de reloj de arena. Los segmentos de una de las transversales miden $x$ y $x+5$, mientras que la base del triángulo superior mide $12$ cm y la base del triángulo inferior mide $27$ cm. Calcula el valor de $x$ y la longitud total de esa transversal.
Sombras, cámaras oscuras y rayos de luz
La luz viaja en línea recta. Cuando un rayo pasa por un punto fijo (un orificio, el foco de una lámpara, el Sol), el objeto y su sombra o imagen forman triángulos semejantes.
El mismo razonamiento sirve para el Sol y la Luna. Si el Sol (diámetro $D_S$) está a una distancia $d_S$ y la Luna (diámetro $D_L$) tapa exactamente su disco a una distancia $d_L$, entonces $\dfrac{D_L}{d_L} = \dfrac{D_S}{d_S}$.
Vuelve al principio: la vara de Yaritza mide $1.5$ m y su sombra $1.2$ m, y la sombra de la palma mide $12$ m. Entonces $\dfrac{1.5}{1.2} = \dfrac{h}{12}$ y $h = 15$ m. Los rayos del Sol son paralelos, así que los triángulos son semejantes.
En una cámara oscura, la luz entra por un pequeño orificio y proyecta la imagen invertida de un objeto en la pared del fondo. Si un árbol de $4$ m de altura se encuentra…
En una cámara oscura, la luz entra por un pequeño orificio y proyecta la imagen invertida de un objeto en la pared del fondo. Si un árbol de $4$ m de altura se encuentra a $15$ m del orificio, calcula la altura de la imagen proyectada $h$ si la profundidad de la cámara es de $0.3$ m.
Durante un eclipse solar, la Luna se interpone exactamente entre la Tierra y el Sol, bloqueando su luz. Sabiendo que el diámetro del Sol es aproximadamente…
Durante un eclipse solar, la Luna se interpone exactamente entre la Tierra y el Sol, bloqueando su luz. Sabiendo que el diámetro del Sol es aproximadamente $1.4 \times 10^6$ km y se encuentra a $1.5 \times 10^8$ km de la Tierra, y que la Luna está a $384000$ km de la Tierra, calcula el diámetro aproximado de la Luna usando la semejanza de triángulos.
Un foco de teatro ilumina a un actor proyectando su sombra en el telón de fondo. El foco está a ras de suelo. El actor, de $1.80$ m de altura, camina hacia el telón.…
Un foco de teatro ilumina a un actor proyectando su sombra en el telón de fondo. El foco está a ras de suelo. El actor, de $1.80$ m de altura, camina hacia el telón. Cuando está a $4$ m del foco, su sombra mide $h_1$. Si camina $2$ m más hacia el telón, su sombra mide $h_2$. Sabiendo que la distancia total del foco al telón es de $10$ m, calcula la diferencia de altura entre las dos sombras proyectadas ($h_1 - h_2$).
Medir lo inaccesible: ríos, edificios y lomas
Thales permite medir distancias y alturas a las que no puedes llegar. Se busca un triángulo grande que no puedes medir y uno pequeño semejante que sí.
Ancho de un río
Se ponen estacas $A$, $B$, $C$ en una orilla, con $A$ frente al árbol $T$ de la otra orilla. Se busca $D$ de modo que $T$, $B$, $D$ estén alineados y $\overline{CD} \parallel \overline{TA}$. Los triángulos $TAB$ y $DCB$ forman un reloj de arena en $B$, así que $\dfrac{TA}{CD} = \dfrac{AB}{BC}$.
Método del espejo
Se coloca un espejo plano en el suelo. La luz que viene de lo alto de la antena se refleja en él y llega al ojo con el mismo ángulo con que incidió. Así se forman dos triángulos rectángulos semejantes.
Dos varillas para una loma
Para una cima de altura $H$ que no puedes alcanzar, usas una varilla de $2$ m y miras desde el suelo, alineando el ojo, la punta y la cima. Haces dos observaciones desde puntos distintos, separados una distancia conocida.
Para medir la anchura de un río de orillas paralelas, un topógrafo coloca tres estacas $A, B$ y $C$ alineadas en ese orden en una de las orillas, situando $A$ justo…
Para medir la anchura de un río de orillas paralelas, un topógrafo coloca tres estacas $A, B$ y $C$ alineadas en ese orden en una de las orillas, situando $A$ justo enfrente de un árbol $T$ en la orilla opuesta (de modo que el segmento $TA$ es perpendicular a las orillas), y una cuarta estaca $D$ tal que los puntos $T, B$ y $D$ están alineados. Sabiendo que el segmento $TA$ es paralelo al segmento $CD$, que $AB = 8$ m, $BC = 12$ m y la distancia desde $D$ hasta el río perpendicularmente es de $2$ m, calcula la anchura del río aplicando la semejanza de triángulos.
Un espejo plano se coloca en el suelo horizontal. Una persona cuyos ojos están a $1.60$ m del suelo se sitúa a $1.20$ m del centro del espejo y ve exactamente reflejada…
Un espejo plano se coloca en el suelo horizontal. Una persona cuyos ojos están a $1.60$ m del suelo se sitúa a $1.20$ m del centro del espejo y ve exactamente reflejada en él la antena de un edificio. Si la distancia desde el espejo hasta la base del edificio es de $18$ m, y tanto la persona como el edificio son perpendiculares al suelo, ¿cuál es la altura total de la antena desde el suelo?
Para medir la altura de una montaña inaccesible sin usar trigonometría, un topógrafo utiliza dos varillas verticales de $2$ m de altura. Clava la primera varilla en el…
Para medir la altura de una montaña inaccesible sin usar trigonometría, un topógrafo utiliza dos varillas verticales de $2$ m de altura. Clava la primera varilla en el suelo y, tumbándose, alinea visualmente la punta de la varilla con la cima de la montaña. La distancia desde su ojo hasta la varilla es de $1.5$ m. Luego retrocede $150$ m en línea recta, clava la segunda varilla, y alinea de nuevo su ojo con la punta de la varilla y la cima. Esta vez, la distancia de su ojo a la varilla es de $1.6$ m. Calcula la altura de la montaña.
Rampas, trayectorias y techos
Un elemento que avanza en línea recta y cruza soportes verticales (una rampa, la línea de una pelota, una cercha de techo de zinc) forma triángulos en posición de Thales con cada soporte.
Trayectorias rectas
Techos a dos aguas
Una rampa de acceso para sillas de ruedas salva un desnivel de $1.2$ m en una distancia horizontal de $15$ m. Si se quiere colocar un soporte vertical intermedio cuando…
Una rampa de acceso para sillas de ruedas salva un desnivel de $1.2$ m en una distancia horizontal de $15$ m. Si se quiere colocar un soporte vertical intermedio cuando la distancia horizontal recorrida desde el inicio de la rampa es de $6$ m, ¿cuál debe ser la altura de dicho soporte?
En un partido de tenis, un jugador golpea la pelota a una altura de $2.4$ m. La pelota viaja en línea recta, roza exactamente la cinta superior de la red (que está a…
En un partido de tenis, un jugador golpea la pelota a una altura de $2.4$ m. La pelota viaja en línea recta, roza exactamente la cinta superior de la red (que está a $0.9$ m de altura) y cae en el campo contrario. Si la distancia horizontal desde el jugador hasta la red es de $12$ m, ¿a qué distancia de la red botará la pelota?
En la estructura de un tejado a dos aguas, se coloca un puntal vertical de refuerzo. La base del tejado mide $10$ m en total (del centro al alero hay $5$ m). La altura…
En la estructura de un tejado a dos aguas, se coloca un puntal vertical de refuerzo. La base del tejado mide $10$ m en total (del centro al alero hay $5$ m). La altura máxima en el centro es de $3$ m. Si el puntal se coloca a $1.5$ m del centro hacia el alero, ¿cuál debe ser su longitud?
La paralela media
Demostración
Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$. Entonces $AM = MB$ y $AN = NC$, de modo que $\dfrac{AM}{MB} = 1 = \dfrac{AN}{NC}$. Por el recíproco de Thales, $\overline{MN} \parallel \overline{BC}$.
Por la semejanza $AMN \sim ABC$, la razón es $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{1}{2}$, así que $MN = \dfrac{1}{2}\,BC$. ∎
En un trapecio $ABCD$ de bases $AB = 25$ cm y $CD = 15$ cm, se traza un segmento $MN$ paralelo a las bases, con $M$ en $AD$ y $N$ en $BC$. Sabemos que el segmento $MN$…
En un trapecio $ABCD$ de bases $AB = 25$ cm y $CD = 15$ cm, se traza un segmento $MN$ paralelo a las bases, con $M$ en $AD$ y $N$ en $BC$. Sabemos que el segmento $MN$ divide a los lados no paralelos en la proporción $\frac{AM}{MD} = \frac{2}{3}$. Calcula la longitud del segmento $MN$. (Pista: Traza una paralela a uno de los lados oblicuos desde un vértice).
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Demuestra, utilizando el recíproco del Teorema de Tales, que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo cualquiera es paralelo al tercer lado. Si…
Demuestra, utilizando el recíproco del Teorema de Tales, que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo cualquiera es paralelo al tercer lado. Si el tercer lado mide $L$, ¿cuál es la longitud de este segmento en función de $L$? Argumenta tu respuesta basándote en la semejanza de triángulos.