Semejanza
Cuando haces zoom en una foto de tu celular, todo se agranda en la misma proporción: la foto no se deforma. Las dos imágenes son semejantes. Con esta idea, hace unos 2,600 años, Tales de Mileto midió la altura de una pirámide usando solo su sombra y un palo. Hoy la usan los planos, los mapas, las maquetas y las impresoras 3D. ¿Cómo midió Tales la pirámide? Lo resolvemos al final.
Figuras semejantes
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$k > 1$: ampliación. $\quad k < 1$: reducción.
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$k = 1$: las figuras son congruentes ($\cong$): misma forma y mismo tamaño. La congruencia es el caso particular de semejanza con $k = 1$.
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Una escala es una razón de semejanza: un plano 1:50 tiene $k = \frac{1}{50}$.
Cambia la razón: los lados se multiplican por $k$, pero el área se multiplica por $k^2$.
Un diseñador gráfico está trabajando en el logotipo de una nueva aplicación. El diseño original es un rectángulo que mide $8\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de…
Un diseñador gráfico está trabajando en el logotipo de una nueva aplicación. El diseño original es un rectángulo que mide $8\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de alto. Para la pantalla de carga, necesita crear una versión más grande que sea semejante a la original. Si el ancho de la versión ampliada debe ser de $20\text{ cm}$, ¿cuál será la altura del logotipo en esa pantalla?
En el plano de una vivienda, la escala utilizada es $1:50$. Si el salón tiene una longitud de $12\text{ cm}$ en el dibujo, calcula cuántos metros mide la longitud real…
En el plano de una vivienda, la escala utilizada es $1:50$. Si el salón tiene una longitud de $12\text{ cm}$ en el dibujo, calcula cuántos metros mide la longitud real de dicha estancia.
Un diseñador gráfico está trabajando en el logotipo de una nueva marca de ropa. El diseño original es un cuadrilátero con lados que miden $6\text{ cm}$, $8\text{ cm}$,…
Un diseñador gráfico está trabajando en el logotipo de una nueva marca de ropa. El diseño original es un cuadrilátero con lados que miden $6\text{ cm}$, $8\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. El cliente le pide una versión más grande para un cartel publicitario, donde el lado que antes medía $9\text{ cm}$ ahora debe medir $45\text{ cm}$.
- a) Calcula la razón de semejanza $k$ entre el logotipo del cartel y el original.
- b) Determina la medida de los otros tres lados en el logotipo del cartel.
- c) Si el perímetro del logotipo original es de $35\text{ cm}$, ¿cuál será el perímetro del logotipo del cartel sin sumar sus lados uno a uno?
Postulados de semejanza y congruencia
Para saber si dos triángulos son semejantes no hace falta comprobarlo todo. Basta con uno de estos postulados:
| Postulado | Qué hay que comprobar |
|---|---|
| AA | Dos ángulos iguales (el tercero también, pues suman 180°). |
| LLL | Los tres lados en la misma razón: $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}$. |
| LAL | Un ángulo igual y los dos lados que lo forman proporcionales: $\angle A = \angle A'$ y $\frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}$. |
Cada uno funciona porque fija la forma del triángulo: con dos ángulos, o con tres razones, o con un ángulo y sus lados, solo se puede dibujar un triángulo de esa forma; el tamaño es lo único que puede variar.
Si además la razón es $k = 1$, los triángulos son congruentes. Entonces se usan los postulados de congruencia:
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LLL: tres lados iguales.
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LAL: dos lados y el ángulo comprendido iguales.
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ALA: dos ángulos y el lado comprendido iguales.
Indica si los siguientes pares de triángulos son semejantes y justifica qué criterio has utilizado (AAA, SSS o SAS): Triángulo 1: Ángulos de $40^\circ$ y $70^\circ$.…
Indica si los siguientes pares de triángulos son semejantes y justifica qué criterio has utilizado (AAA, SSS o SAS):
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Triángulo 1: Ángulos de $40^\circ$ y $70^\circ$.
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Triángulo 2: Ángulos de $70^\circ$ y $70^\circ$.
Considera un triángulo isósceles $ABC$ donde el lado desigual $BC$ mide $12\text{ cm}$ y los lados iguales miden $10\text{ cm}$ cada uno. Inscrito en él, se coloca un…
Considera un triángulo isósceles $ABC$ donde el lado desigual $BC$ mide $12\text{ cm}$ y los lados iguales miden $10\text{ cm}$ cada uno. Inscrito en él, se coloca un cuadrado cuya base descansa sobre el lado $BC$ del triángulo y sus otros dos vértices tocan los lados $AB$ y $AC$.
Utiliza la semejanza entre el triángulo original y el triángulo pequeño que queda por encima del cuadrado para calcular el lado del cuadrado.
El teorema de Thales
Demostración
Paso 1: el triángulo en posición de Thales. Sea un triángulo $ABC$ y una recta $DE$ paralela a $BC$, con $D$ en $AB$ y $E$ en $AC$.
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Los triángulos $ADE$ y $ABC$ comparten el ángulo $A$.
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$\angle ADE = \angle ABC$, porque son ángulos correspondientes entre las paralelas $DE$ y $BC$ cortadas por la transversal $AB$.
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Por el postulado AA, $\triangle ADE \sim \triangle ABC$, y sus lados correspondientes son proporcionales:
Paso 2: varias paralelas. En la figura, traza por $A$ una recta paralela a $A'C'$. Corta a las paralelas que pasan por $B$ y por $C$ en $P$ y $Q$. Los cuadriláteros $AA'B'P$ y $PB'C'Q$ tienen lados opuestos paralelos, así que $AP = A'B'$ y $PQ = B'C'$. En el triángulo $ACQ$, la recta $BP$ es paralela a $CQ$, y por el paso 1:
$$\frac{AB}{AC} = \frac{AP}{AQ}$$Restando partes ($BC = AC - AB$ y $PQ = AQ - AP$) se obtiene $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AP}{PQ} = \dfrac{A'B'}{B'C'}$. ∎
Un caso muy útil son los triángulos en posición de Thales: un triángulo pequeño dentro de uno grande, compartiendo un ángulo y con el lado opuesto paralelo. Son semejantes (paso 1).
Dos triángulos están colocados en posición de Tales. Sabiendo que los segmentos horizontales son paralelos y miden $6\text{ cm}$ y $10\text{ cm}$, y que el segmento…
Dos triángulos están colocados en posición de Tales. Sabiendo que los segmentos horizontales son paralelos y miden $6\text{ cm}$ y $10\text{ cm}$, y que el segmento vertical del triángulo menor mide $9\text{ cm}$, calcula el valor del segmento vertical desconocido denotado por $x$ del triángulo mayor.
En la siguiente figura, las rectas $r$, $s$ y $t$ son paralelas. Sabiendo que $y = x + 1$, utiliza el Teorema de Tales para calcular las longitudes desconocidas $x$ e…
En la siguiente figura, las rectas $r$, $s$ y $t$ son paralelas. Sabiendo que $y = x + 1$, utiliza el Teorema de Tales para calcular las longitudes desconocidas $x$ e $y$ expresadas en centímetros.
Dos ciudades, A y B, están separadas por un río de orillas paralelas. Para calcular la distancia entre un punto $P$ en la orilla de la ciudad A y un punto $Q$ en la…
Dos ciudades, A y B, están separadas por un río de orillas paralelas. Para calcular la distancia entre un punto $P$ en la orilla de la ciudad A y un punto $Q$ en la orilla de la ciudad B (situado justo enfrente), un topógrafo recorre $60\text{ m}$ por la orilla de la ciudad A hasta un punto $R$. Desde $R$, camina otros $20\text{ m}$ en la misma dirección hasta un punto $S$. En $S$, gira $90^\circ$ y se aleja del río hasta que los puntos $Q$ y $R$ quedan alineados con su posición actual ($T$). Si la distancia $ST$ es de $15\text{ m}$:
- a) Calcula la anchura del río ($PQ$).
- b) Calcula la distancia en línea recta entre el topógrafo en el punto $T$ y el punto $Q$ al otro lado del río.
Altura sobre la hipotenusa
En un triángulo rectángulo, la altura trazada desde el ángulo recto hasta la hipotenusa lo divide en dos triángulos rectángulos más pequeños. Los tres triángulos son semejantes.
Llamamos $a$ y $b$ a los catetos, $c$ a la hipotenusa, $h$ a la altura y $m$ y $n$ a los segmentos de la hipotenusa ($BD = m$, $AD = n$).
Por qué son semejantes. Los tres triángulos tienen un ángulo recto.
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$\triangle ABC$ y $\triangle CBD$ comparten el ángulo $B$.
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$\triangle ABC$ y $\triangle ACD$ comparten el ángulo $A$.
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Por AA, $\triangle ABC \sim \triangle CBD \sim \triangle ACD$. Los dos pequeños también son semejantes entre sí, y en ellos $\angle ACD = \angle B$.
Observa el triángulo rectángulo de la figura. La altura $h$ sobre la hipotenusa divide al triángulo original en dos triángulos más pequeños. a) Justifica por qué los…
Observa el triángulo rectángulo de la figura. La altura $h$ sobre la hipotenusa divide al triángulo original en dos triángulos más pequeños.
- a) Justifica por qué los tres triángulos (el original y los dos pequeños) son semejantes entre sí.
- b) Si los segmentos en los que queda dividida la hipotenusa miden $m = 4\text{ cm}$ y $n = 9\text{ cm}$, calcula la altura $h$ utilizando la semejanza de los dos triángulos pequeños.
- c) Calcula el área del triángulo original.
Un arquitecto está diseñando la fachada de un auditorio moderno. Ha dibujado un triángulo rectángulo principal y, para mejorar la acústica, necesita trazar la altura…
Un arquitecto está diseñando la fachada de un auditorio moderno. Ha dibujado un triángulo rectángulo principal y, para mejorar la acústica, necesita trazar la altura sobre la hipotenusa. Esta altura divide al triángulo original en otros dos triángulos más pequeños. Sabiendo que los catetos del triángulo original miden $18\text{ m}$ y $24\text{ m}$, utiliza la semejanza de triángulos para calcular:
- a) La longitud de la altura trazada sobre la hipotenusa.
- b) Las longitudes de los dos segmentos en los que queda dividida la hipotenusa.
Medir alturas con sombras
A la misma hora, los rayos del Sol llegan paralelos. Por eso un objeto y su sombra forman un triángulo rectángulo semejante (postulado AA) al de cualquier otro objeto y su sombra.
El mismo razonamiento sirve con un espejo en el suelo: el rayo se refleja con ángulos iguales, y de nuevo se forman dos triángulos rectángulos semejantes.
Un estudiante de 3.° de secundaria mide $1.60\text{ m}$ de altura. En un momento del día, proyecta una sombra sobre el suelo de $2\text{ m}$. Si justo al lado, un poste…
Un estudiante de 3.° de secundaria mide $1.60\text{ m}$ de altura. En un momento del día, proyecta una sombra sobre el suelo de $2\text{ m}$. Si justo al lado, un poste de luz proyecta una sombra de $5\text{ m}$, ¿cuál es la altura del poste de luz?
Para calcular la altura de una torre de comunicación que proyecta una sombra muy larga, Marcos, que mide $1.70\text{ m}$, se coloca de pie de forma que el extremo de su…
Para calcular la altura de una torre de comunicación que proyecta una sombra muy larga, Marcos, que mide $1.70\text{ m}$, se coloca de pie de forma que el extremo de su propia sombra coincida con el extremo de la sombra de la torre. Si Marcos está a $25\text{ m}$ de la base de la torre y su sombra mide $2.5\text{ m}$, responde:
- a) ¿Por qué podemos afirmar que los triángulos formados por Marcos y la torre con sus respectivas sombras son semejantes? Menciona el criterio de semejanza utilizado.
- b) Calcula la altura de la torre.
Para medir la altura de una torre de refrigeración de una central eléctrica, un equipo de ingenieros utiliza un espejo colocado en el suelo. El ingeniero se sitúa de…
Para medir la altura de una torre de refrigeración de una central eléctrica, un equipo de ingenieros utiliza un espejo colocado en el suelo. El ingeniero se sitúa de modo que, mirando el espejo, ve reflejada la parte superior de la torre. El espejo está a $45\text{ m}$ de la base de la torre. El ingeniero, cuyos ojos están a una altura de $1.75\text{ m}$, se encuentra a $1.5\text{ m}$ del espejo. Entre el espejo y la torre hay una valla de seguridad de $5\text{ m}$ de altura.
¿A qué distancia mínima del espejo debe estar la valla para que no oculte el reflejo de la parte superior de la torre en los ojos del ingeniero?
Perímetros, áreas y volúmenes
Si las longitudes se multiplican por $k$:
Una pizzería ofrece dos tamaños de pizza redonda que son semejantes. La pizza "Pequeña" tiene un radio de $10\text{ cm}$ y un área de aproximadamente $314\text{ cm}^2$.…
Una pizzería ofrece dos tamaños de pizza redonda que son semejantes. La pizza "Pequeña" tiene un radio de $10\text{ cm}$ y un área de aproximadamente $314\text{ cm}^2$. Si la pizza "Familiar" tiene un radio de $20\text{ cm}$, ¿cuál será su área? (Recuerda la relación entre la razón de semejanza $k$ y las áreas).
Dos rectángulos son semejantes. El primero tiene una base de $12\text{ cm}$ y un área de $96\text{ cm}^2$. El segundo rectángulo tiene un área de $150\text{ cm}^2$. a)…
Dos rectángulos son semejantes. El primero tiene una base de $12\text{ cm}$ y un área de $96\text{ cm}^2$. El segundo rectángulo tiene un área de $150\text{ cm}^2$.
- a) Calcula la razón de semejanza entre el segundo y el primer rectángulo. (Pista: utiliza la relación entre áreas).
- b) Calcula las dimensiones (base y altura) del segundo rectángulo.
- c) ¿Cuál es la razón entre sus perímetros?
Una empresa de impresión 3D ha creado una maqueta a escala de una plaza circular. En la maqueta, el área de la plaza es de $450\text{ cm}^2$. El cliente solicita una…
Una empresa de impresión 3D ha creado una maqueta a escala de una plaza circular. En la maqueta, el área de la plaza es de $450\text{ cm}^2$. El cliente solicita una segunda maqueta donde el perímetro sea un $20\%$ mayor que el de la primera maqueta.
- a) ¿Cuál será el área de la plaza en esta segunda maqueta?
- b) Si la plaza real tiene un radio de $30\text{ m}$, ¿cuál es la escala utilizada en la primera maqueta? (Expresa la escala en formato $1:n$).
Vuelve al principio: Tales clavó un bastón vertical en el suelo y midió su sombra al mismo tiempo que la de la pirámide. Como los rayos del Sol son paralelos, los triángulos son semejantes y planteó $\frac{\text{altura pirámide}}{\text{sombra pirámide}} = \frac{\text{altura bastón}}{\text{sombra bastón}}$.