Yaritza quiere saber qué altura tiene un edificio de Santiago sin subirse a él. Solo tiene una cinta métrica y un espejito de la cartera. ¿Se puede? Sí, porque en un triángulo rectángulo hay triángulos semejantes escondidos. Al final de la página lo resolvemos.
Tres triángulos semejantes en uno
Si en un triángulo rectángulo trazas la altura desde el ángulo recto hasta la hipotenusa, el triángulo queda partido en dos triángulos más pequeños. Los tres (el grande y los dos pequeños) son semejantes entre sí.
En el triángulo $ABC$ el ángulo recto está en $A$ y la hipotenusa es $\overline{BC}$. El punto $H$ es el pie de la altura $h = \overline{AH}$. Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son $m = \overline{BH}$ y $n = \overline{HC}$. El cateto $c = \overline{AB}$ se proyecta en $m$ y el cateto $b = \overline{AC}$ se proyecta en $n$.
El teorema de la altura
Un caso muy visual es el arco de un puente. Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. Por eso, si unes un punto del arco con los dos extremos del diámetro, formas un triángulo rectángulo. La altura de ese punto sobre el diámetro es la altura sobre la hipotenusa.
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En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos que miden $4$ cm y $9$ cm. Calcula la longitud de dicha altura…
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos que miden $4$ cm y $9$ cm. Calcula la longitud de dicha altura utilizando el teorema correspondiente.
La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $6$ cm. Si uno de los segmentos en los que divide a la hipotenusa mide $3$ cm, ¿cuánto mide el otro…
La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $6$ cm. Si uno de los segmentos en los que divide a la hipotenusa mide $3$ cm, ¿cuánto mide el otro segmento de la hipotenusa?
Un arco de puente de piedra tiene forma de semicircunferencia perfecta con un diámetro de $20$ m. A $4$ m de uno de los extremos del puente, se necesita colocar un pilar…
Un arco de puente de piedra tiene forma de semicircunferencia perfecta con un diámetro de $20$ m. A $4$ m de uno de los extremos del puente, se necesita colocar un pilar vertical que llegue desde el suelo hasta el arco. Utilizando el teorema de la altura, determina qué longitud exacta debe tener este pilar.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25$ cm y la proyección de uno de sus catetos sobre ella mide $9$ cm. Calcula la longitud de dicho cateto aplicando el…
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25$ cm y la proyección de uno de sus catetos sobre ella mide $9$ cm. Calcula la longitud de dicho cateto aplicando el teorema del cateto.
Un cateto de un triángulo rectángulo mide $8$ cm y su proyección ortogonal sobre la hipotenusa mide $3.2$ cm. Determina la longitud total de la hipotenusa.
Un cateto de un triángulo rectángulo mide $8$ cm y su proyección ortogonal sobre la hipotenusa mide $3.2$ cm. Determina la longitud total de la hipotenusa.
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa miden $5$ cm y $12$ cm respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa del triángulo?
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa miden $5$ cm y $12$ cm respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa del triángulo?
Dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual son semejantes (AA). Entonces todos sus lados correspondientes guardan la misma razón $k$. Pero las áreas guardan la razón $k^2$.
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Dos triángulos rectángulos son semejantes. El primero tiene unos catetos que miden $3$ cm y $4$ cm. Si el cateto menor del segundo triángulo mide $9$ cm, ¿cuánto mide la…
Dos triángulos rectángulos son semejantes. El primero tiene unos catetos que miden $3$ cm y $4$ cm. Si el cateto menor del segundo triángulo mide $9$ cm, ¿cuánto mide la hipotenusa de este segundo triángulo?
Dos cartabones de dibujo (que tienen forma de triángulo rectángulo escaleno) son semejantes. Si la hipotenusa del cartabón más grande es el triple que la del cartabón…
Dos cartabones de dibujo (que tienen forma de triángulo rectángulo escaleno) son semejantes. Si la hipotenusa del cartabón más grande es el triple que la del cartabón más pequeño, ¿cuántas veces mayor es el área del cartabón grande respecto al pequeño?
Los techos de zinc se apoyan en cerchas. Las velas de los veleros y los paneles solares también suelen ser triángulos rectángulos. En todos, una medida vertical (la altura) reparte la base inclinada (hipotenusa) en dos tramos.
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En el diseño de una cercha para un tejado a dos aguas en forma de triángulo rectángulo, la viga vertical (que hace de altura sobre la hipotenusa) mide $2.4$ m y separa…
En el diseño de una cercha para un tejado a dos aguas en forma de triángulo rectángulo, la viga vertical (que hace de altura sobre la hipotenusa) mide $2.4$ m y separa la viga inferior (hipotenusa) en dos tramos, uno de los cuales mide $1.8$ m. Calcula el perímetro total de la estructura exterior de la cercha.
La vela principal de un velero tiene forma de triángulo rectángulo. La costura que marca la altura trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa mide $6$…
La vela principal de un velero tiene forma de triángulo rectángulo. La costura que marca la altura trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa mide $6$ m. Si la proyección del lado menor de la vela sobre la hipotenusa es de $4.5$ m, calcula la superficie total de la vela en metros cuadrados.
A veces el dato no es un valor directo, sino una relación entre $m$, $n$ y $h$ (una razón, una diferencia, una suma). Entonces escribes las proyecciones con una incógnita, aplicas el teorema y resuelves.
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En un terreno con forma de triángulo rectángulo, se ha trazado una zanja de riego que coincide con la altura sobre la hipotenusa y mide $12$ m. Si la razón entre los dos…
En un terreno con forma de triángulo rectángulo, se ha trazado una zanja de riego que coincide con la altura sobre la hipotenusa y mide $12$ m. Si la razón entre los dos segmentos en los que esta zanja divide a la hipotenusa es $\frac{9}{16}$, calcula las dimensiones de los tres lados que delimitan el terreno.
En un triángulo rectángulo, la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide $x$ cm, la proyección del cateto mayor mide $(x+5)$ cm, y la altura relativa a la…
En un triángulo rectángulo, la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide $x$ cm, la proyección del cateto mayor mide $(x+5)$ cm, y la altura relativa a la hipotenusa mide $(x+2)$ cm. Plantea la ecuación correspondiente, halla el valor de $x$ y calcula el área total del triángulo.
En un triángulo rectángulo, la razón entre los cuadrados de los catetos es $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Si la hipotenusa mide $50$ cm, utiliza la relación de…
En un triángulo rectángulo, la razón entre los cuadrados de los catetos es $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Si la hipotenusa mide $50$ cm, utiliza la relación de proporcionalidad deducida a partir de los teoremas del cateto para hallar primero la medida de las proyecciones de ambos catetos sobre la hipotenusa, y posteriormente la longitud exacta de los catetos.
Otras veces los datos son el área y la altura. Con ellos conoces dos cosas sobre las proyecciones: su suma (la hipotenusa) y su producto (que es $h^2$). Eso es un sistema de ecuaciones.
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El área de un panel solar con forma de triángulo rectángulo es de $150$ dm$^2$ y la altura relativa a su hipotenusa mide $12$ dm. Planteando un sistema de ecuaciones con…
El área de un panel solar con forma de triángulo rectángulo es de $150$ dm$^2$ y la altura relativa a su hipotenusa mide $12$ dm. Planteando un sistema de ecuaciones con las proyecciones de los catetos, determina la longitud exacta de los dos catetos del panel solar.
Medir con semejanza: espejo, jalón, rampas y cámara oscura
No hace falta el teorema de la altura para medir cosas: basta encontrar dos triángulos rectángulos semejantes y plantear una proporción. Es el método de los topógrafos y de los albañiles, que usan el espejo en el suelo o un jalón (una estaca o varilla clavada en el suelo) para medir alturas y distancias sin subirse ni cruzar nada.
La luz se refleja con el mismo ángulo con que llega. Así, los triángulos de la estudiante y del edificio tienen un ángulo agudo igual y un ángulo recto: son semejantes por AA.
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Para medir la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $15$ m de la base del edificio. Al retroceder $1.2$ m desde el espejo, ve la…
Para medir la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $15$ m de la base del edificio. Al retroceder $1.2$ m desde el espejo, ve la parte más alta del edificio reflejada en él. Si los ojos del estudiante están a $1.6$ m del suelo, ¿cuál es la altura del edificio?
Una rampa de accesibilidad tiene una longitud total de $12$ m apoyada sobre el suelo y salva un desnivel máximo de $1.5$ m. Si una silla de ruedas ha avanzado $4$ m…
Una rampa de accesibilidad tiene una longitud total de $12$ m apoyada sobre el suelo y salva un desnivel máximo de $1.5$ m. Si una silla de ruedas ha avanzado $4$ m sobre la rampa desde su inicio en la parte inferior, ¿a qué altura se encuentra respecto al nivel del suelo?
En una cámara oscura artesanal de $20$ cm de profundidad, se forma la imagen invertida de un árbol que se encuentra a $15$ m del orificio estenopeico. Si la imagen…
En una cámara oscura artesanal de $20$ cm de profundidad, se forma la imagen invertida de un árbol que se encuentra a $15$ m del orificio estenopeico. Si la imagen formada en el fondo de la cámara tiene una altura de $8$ cm, ¿cuál es la altura real del árbol en metros?
La misma idea sirve cuando los triángulos están «escondidos»: un rebote, un vaso cónico, dos cables que se cruzan. Siempre buscas los ángulos iguales y escribes la proporción de lados homólogos.
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En una mesa de billar rectangular, golpeas una bola sin efecto contra una de las bandas, de modo que rebota formando dos triángulos rectángulos semejantes en su…
En una mesa de billar rectangular, golpeas una bola sin efecto contra una de las bandas, de modo que rebota formando dos triángulos rectángulos semejantes en su trayectoria. La bola parte de una posición situada a $40\text{ cm}$ de dicha banda y, tras el rebote, llega a un punto situado a $60\text{ cm}$ de la misma banda. Si la distancia longitudinal total que avanza la bola en la dirección paralela a la banda es de $150\text{ cm}$, determina:
a) La distancia longitudinal recorrida por la bola antes del rebote.
b) La distancia longitudinal recorrida después del rebote.
Un vaso cónico de cristal tiene $15$ cm de profundidad total y $6$ cm de radio en su abertura superior. Se llena de agua hasta que el líquido alcanza una altura de $10$…
Un vaso cónico de cristal tiene $15$ cm de profundidad total y $6$ cm de radio en su abertura superior. Se llena de agua hasta que el líquido alcanza una altura de $10$ cm medida desde el fondo (vértice inferior). Calcula el radio de la superficie circular del agua utilizando la semejanza de triángulos rectángulos que se forman con el eje central del vaso.
Dos postes verticales de alturas $a = 3$ m y $b = 6$ m están separados por una distancia desconocida. Se tienden dos cables tensos desde la base de cada poste hasta el…
Dos postes verticales de alturas $a = 3$ m y $b = 6$ m están separados por una distancia desconocida. Se tienden dos cables tensos desde la base de cada poste hasta el extremo superior del otro poste. Utilizando la semejanza de los triángulos rectángulos que se forman, demuestra que la altura $h$ a la que se cruzan los cables es independiente de la distancia que separa los postes y calcula su valor.
Dos problemas de nivel alto con la misma estrategia.
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En un triángulo rectángulo de catetos $8$ cm y $6$ cm, se inscribe un cuadrado de forma que uno de sus vértices coincide con el ángulo recto del triángulo, y los dos…
En un triángulo rectángulo de catetos $8$ cm y $6$ cm, se inscribe un cuadrado de forma que uno de sus vértices coincide con el ángulo recto del triángulo, y los dos lados del cuadrado que forman ese vértice descansan sobre los catetos. Calcula la medida del lado del cuadrado $x$ utilizando la semejanza de los triángulos rectángulos que se forman.
Si consideramos que la Tierra es una esfera de radio $R = 6371$ km, y una persona se encuentra en un globo aerostático a una altura $h = 2$ km sobre la superficie, la…
Si consideramos que la Tierra es una esfera de radio $R = 6371$ km, y una persona se encuentra en un globo aerostático a una altura $h = 2$ km sobre la superficie, la línea visual tangente a la superficie forma un triángulo rectángulo en el punto del horizonte. Utiliza el teorema del cateto (o el de Pitágoras en triángulos semejantes) para hallar la distancia rectilínea $d$ desde el globo aerostático hasta el horizonte visible, aproximando a dos decimales.