Wilkin quiere saber qué tan ancho es un río, pero no puede cruzarlo con una cinta métrica. Con un par de estacas y un poco de semejanza lo logra sin mojarse los zapatos. Los teoremas de la altura y del cateto son la base de técnicas como esta. En este apartado los demuestras y los aplicas a situaciones reales.
Repaso rápido: altura y cateto
¿Por qué se cumplen? La altura parte el triángulo en dos triángulos rectángulos más pequeños. Veamos que los tres son semejantes y comparemos sus lados.
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En un tejado a dos aguas que forma un ángulo recto en su vértice superior, la altura trazada desde dicho vértice divide la base (hipotenusa) en dos segmentos de…
En un tejado a dos aguas que forma un ángulo recto en su vértice superior, la altura trazada desde dicho vértice divide la base (hipotenusa) en dos segmentos de $2\text{ m}$ y $8\text{ m}$. Aplica el teorema de la altura para calcular la altura máxima del tejado.
En una estructura metálica con forma de triángulo rectángulo, un pilar vertical (altura sobre la hipotenusa) divide a la viga inferior (hipotenusa) en dos partes. Si un…
En una estructura metálica con forma de triángulo rectángulo, un pilar vertical (altura sobre la hipotenusa) divide a la viga inferior (hipotenusa) en dos partes. Si un lado inclinado (cateto) mide $5\text{ m}$ y la viga inferior total mide $10\text{ m}$, ¿cuánto mide la proyección de ese lado sobre la viga inferior?
En una clase de dibujo técnico, un alumno traza un triángulo rectángulo con una hipotenusa de $13\text{ cm}$ y catetos de $5\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. Luego, traza la…
En una clase de dibujo técnico, un alumno traza un triángulo rectángulo con una hipotenusa de $13\text{ cm}$ y catetos de $5\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. Luego, traza la altura relativa a la hipotenusa. Utiliza el teorema del cateto para calcular cuánto miden las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Comprobar si dos triángulos rectángulos son semejantes
Dos triángulos rectángulos ya comparten el ángulo recto. Por eso son semejantes si tienen proporcionales los dos catetos, o un cateto y la hipotenusa. Si te falta un lado, lo calculas con Pitágoras.
Practica★☆☆Sin empezar
Un carpintero corta dos cuñas de madera en forma de triángulo rectángulo. La primera tiene catetos de $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. La segunda tiene una hipotenusa de…
Un carpintero corta dos cuñas de madera en forma de triángulo rectángulo. La primera tiene catetos de $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. La segunda tiene una hipotenusa de $50\text{ cm}$ y un cateto de $30\text{ cm}$. Comprueba matemáticamente si ambas cuñas son semejantes.
Las dos cuerdas principales que sujetan el mástil central de una carpa desde la parte superior hasta el suelo forman un ángulo recto entre sí. El mástil mide…
Las dos cuerdas principales que sujetan el mástil central de una carpa desde la parte superior hasta el suelo forman un ángulo recto entre sí. El mástil mide $4\text{ m}$ de altura y una de las cuerdas se ancla a $3.2\text{ m}$ de la base del mástil. ¿A qué distancia de la base se ancla la otra cuerda?
La fachada de un edificio moderno tiene un ventanal en forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura del ventanal respecto a la base es de…
La fachada de un edificio moderno tiene un ventanal en forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura del ventanal respecto a la base es de $4.8\text{ m}$ y la proyección del lado menor sobre la base es de $3.6\text{ m}$. Calcula la longitud de los dos catetos y de la hipotenusa.
A veces no te dan las proyecciones, sino una relación entre ellas (una es mayor que la otra, o están en proporción). Entonces llamas $x$ a una proyección, escribes la otra en función de $x$ y aplicas el teorema de la altura o del cateto para plantear una ecuación.
Practica★★☆Sin empezar
Un terreno agrícola tiene forma de triángulo rectángulo. La proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es $4\text{ dam}$ mayor que la proyección del otro…
Un terreno agrícola tiene forma de triángulo rectángulo. La proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es $4\text{ dam}$ mayor que la proyección del otro cateto. Si la altura relativa a la hipotenusa mide $4.8\text{ dam}$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula la longitud total de la hipotenusa.
El diseño de una vela de windsurf tiene forma de triángulo rectángulo. Se sabe que el borde inferior (hipotenusa) mide $5\text{ m}$ y que el borde de fuga (uno de los…
El diseño de una vela de windsurf tiene forma de triángulo rectángulo. Se sabe que el borde inferior (hipotenusa) mide $5\text{ m}$ y que el borde de fuga (uno de los catetos) mide $1.2\text{ m}$ más que su proyección sobre la hipotenusa. Determina las dos posibles longitudes que puede tener el borde de fuga utilizando el teorema del cateto.
Un puente atirantado tiene un pilar principal que forma un ángulo recto con los dos tirantes más largos. La longitud total del tablero entre los anclajes de estos…
Un puente atirantado tiene un pilar principal que forma un ángulo recto con los dos tirantes más largos. La longitud total del tablero entre los anclajes de estos tirantes (hipotenusa) es de $125\text{ m}$. Si uno de los tirantes mide $25\text{ m}$ más que el otro, determina la altura del pilar principal (altura sobre la hipotenusa).
Un espejo plano en el suelo cumple que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión. Eso crea dos triángulos rectángulos semejantes (el de tus ojos con el espejo y el del objeto con el espejo), que permiten calcular alturas sin subir a ningún sitio.
Practica★★☆Sin empezar
Para medir la altura de un aerogenerador, una ingeniera coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base de la torre. Ella retrocede $1.5\text{ m}$ desde el…
Para medir la altura de un aerogenerador, una ingeniera coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base de la torre. Ella retrocede $1.5\text{ m}$ desde el espejo hasta que ve el punto más alto del aerogenerador reflejado exactamente en el centro del espejo. Si los ojos de la ingeniera están a $1.6\text{ m}$ del suelo, calcula la altura del aerogenerador.
Triángulos superpuestos: billar y cuadrados inscritos
Cuando una figura esconde dos triángulos rectángulos que comparten un ángulo, son semejantes, y la proporción entre sus lados resuelve problemas que a simple vista no parecen de semejanza. Piensa en una bola que rebota en la banda de una mesa de billar.
Cuadrado inscrito
Si inscribes un cuadrado de lado $x$ en un triángulo rectángulo, con un vértice en el ángulo recto y el vértice opuesto sobre la hipotenusa, el cuadrado deja a un lado un triángulo pequeño semejante al original. Los catetos de ese triángulo pequeño son $x$ (el lado del cuadrado) y lo que sobra del otro cateto del triángulo grande después de quitar el cuadrado (cateto menos $x$). Se plantea con la proporción entre esos catetos y los del triángulo grande.
Practica★★☆Sin empezar
En una mesa de billar, una bola debe golpear la banda y rebotar hacia un agujero, formando dos triángulos rectángulos semejantes. La bola está a $20\text{ cm}$ de la…
En una mesa de billar, una bola debe golpear la banda y rebotar hacia un agujero, formando dos triángulos rectángulos semejantes. La bola está a $20\text{ cm}$ de la banda y el agujero a $60\text{ cm}$ de la misma banda. Si la distancia horizontal paralela a la banda entre la bola y el agujero es de $100\text{ cm}$, ¿a qué distancia horizontal desde la posición inicial de la bola debe producirse el impacto en la banda?
En una pieza de joyería, se inscribe un cuadrado de lado $x$ dentro de un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ mm}$ y $8\text{ mm}$, de modo que el vértice del…
En una pieza de joyería, se inscribe un cuadrado de lado $x$ dentro de un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ mm}$ y $8\text{ mm}$, de modo que el vértice del ángulo recto del triángulo coincide con un vértice del cuadrado y el vértice opuesto del cuadrado descansa sobre la hipotenusa. Calcula el valor de $x$ utilizando semejanza de triángulos.
En un estudio de estática, dos postes verticales de alturas $a = 120\text{ cm}$ y $b = 80\text{ cm}$ están separados una distancia $d$. Desde la base de cada poste se…
En un estudio de estática, dos postes verticales de alturas $a = 120\text{ cm}$ y $b = 80\text{ cm}$ están separados una distancia $d$. Desde la base de cada poste se tira un cable tenso hasta la cima del otro poste. Los cables se cruzan a una altura $h$. Demuestra mediante semejanza de triángulos que la altura $h$ a la que se cruzan no depende de la distancia $d$ y calcula su valor.
Medir una anchura inaccesible: el método de la estaca
Para medir la anchura de un río sin cruzarlo, se construyen con estacas (o varillas) dos triángulos rectángulos semejantes en una sola orilla: uno grande, hasta el árbol de la otra orilla, y uno pequeño que sí puedes medir entero.
Practica★★★Sin empezar
Un topógrafo quiere calcular la anchura de un río. Para ello, se sitúa en una orilla y observa un árbol en la orilla opuesta. Camina $30\text{ m}$ a lo largo de la…
Un topógrafo quiere calcular la anchura de un río. Para ello, se sitúa en una orilla y observa un árbol en la orilla opuesta. Camina $30\text{ m}$ a lo largo de la orilla (perpendicularmente a la visual inicial) y coloca un jalón. Luego camina otros $6\text{ m}$ en la misma dirección, gira $90^\circ$ alejándose del río y camina $4\text{ m}$ hasta que ve el jalón alineado con el árbol. ¿Cuál es la anchura del río?
Si cortas una pirámide con un plano paralelo a la base, la parte de arriba es otra pirámide semejante a la original. Sus longitudes están en razón $k$, sus áreas en razón $k^2$ y sus volúmenes en razón $k^3$.
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Dos señales de tráfico con forma de triángulo rectángulo son semejantes. El cateto menor de la señal pequeña mide $30\text{ cm}$ y su área es de $600\text{ cm}^2$. Si el…
Dos señales de tráfico con forma de triángulo rectángulo son semejantes. El cateto menor de la señal pequeña mide $30\text{ cm}$ y su área es de $600\text{ cm}^2$. Si el cateto menor de la señal grande mide $60\text{ cm}$, ¿cuál es el área de la señal grande?
Una pirámide recta de base cuadrada se corta por un plano paralelo a la base a un tercio de su altura (midiendo desde el vértice). Si el área de la sección transversal…
Una pirámide recta de base cuadrada se corta por un plano paralelo a la base a un tercio de su altura (midiendo desde el vértice). Si el área de la sección transversal obtenida es de $15\text{ cm}^2$, ¿cuál es el volumen de la pirámide original si su altura total es de $18\text{ cm}$?