Ganzrationale Funktionen aus Eigenschaften bestimmen
Ein Radweg im Ruhrgebiet soll ohne Knick um 2 m ansteigen. Er beginnt waagerecht im Punkt $A(0|0)$ und endet waagerecht im Punkt $B(4|2)$. Dabei ist $x$ in 100 m und $y$ in m gemessen. Welche Funktion beschreibt eine solche Rampe? Genau solche Fragen heißen Steckbriefaufgaben: Der „Steckbrief“ eines Graphen ist bekannt, der Funktionsterm wird gesucht. Am Ende dieser Seite haben Sie die Rampe berechnet.
Von Eigenschaften zu Gleichungen
Der Weg ist immer derselbe: Sie legen einen Ansatz mit unbekannten Koeffizienten fest, übersetzen jede Eigenschaft des Graphen in eine Gleichung und lösen das entstehende lineare Gleichungssystem (LGS).
Der Grad der Funktion bestimmt den Ansatz:
-
Grad 2: $f(x) = ax^2 + bx + c$, also 3 Unbekannte
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Grad 3: $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, also 4 Unbekannte
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Grad 4: $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$, also 5 Unbekannte
Jede Eigenschaft liefert eine Gleichung. Dazu brauchen Sie neben $f$ meist auch $f'$ und $f''$.
| Eigenschaft des Graphen | Bedingung |
|---|---|
| Der Graph verläuft durch $P(x_0\mid y_0)$ | $f(x_0) = y_0$ |
| Der Graph schneidet die y-Achse bei $y_0$ | $f(0) = y_0$ |
| Nullstelle bei $x_0$ | $f(x_0) = 0$ |
| Steigung $m$ an der Stelle $x_0$ (Tangente) | $f'(x_0) = m$ |
| Waagerechte Tangente bei $x_0$ | $f'(x_0) = 0$ |
| Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt) $E(x_0\mid y_0)$ | $f'(x_0) = 0$ und $f(x_0) = y_0$ |
| Wendepunkt $W(x_0\mid y_0)$ | $f''(x_0) = 0$ und $f(x_0) = y_0$ |
| Wendetangente mit Steigung $m$ | zusätzlich $f'(x_0) = m$ |
| Der Graph berührt die x-Achse bei $x_0$ | $f(x_0) = 0$ und $f'(x_0) = 0$ |
Ein Punkt „mit einer Eigenschaft“ liefert also oft zwei Gleichungen: die Lage ($f$) und die Eigenschaft ($f'$ oder $f''$).
Die Ableitungen für den Ansatz vom Grad 3 lauten:
$$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c, \qquad f''(x) = 6ax + 2b.$$Zum Ausprobieren: Verändern Sie die Koeffizienten und beobachten Sie, wie sich Lage, Steigung und Krümmung des Graphen ändern.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades $f$ verläuft durch die Punkte $A(0|3)$, $B(1|6)$ und $C(-1|4)$. a) Stellen Sie das zugehörige lineare…
Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades $f$ verläuft durch die Punkte $A(0|3)$, $B(1|6)$ und $C(-1|4)$.
- a) Stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem für die Koeffizienten von $f(x) = ax^2 + bx + c$ auf.
- b) Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$.
Symmetrie nutzen
Symmetrie spart Arbeit. Sie legt Koeffizienten schon vor dem Rechnen fest.
Der Grund: Für gerade Exponenten gilt $(-x)^{2k} = x^{2k}$, also $f(-x)=f(x)$. Für ungerade Exponenten gilt $(-x)^{2k+1} = -x^{2k+1}$, also $f(-x)=-f(x)$.
Damit schrumpft der Ansatz. Bei Grad 4 mit Achsensymmetrie bleiben nur noch drei Unbekannte, $a$, $c$ und $e$. Die Ableitung ist dann $f'(x)=4ax^3+2cx$.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, verläuft durch $P(1|2)$ und hat dort die Steigung…
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, verläuft durch $P(1|2)$ und hat dort die Steigung $m = 0$.
- a) Begründen Sie, warum $b = 0$ und $d = 0$ gilt.
- b) Bestimmen Sie $a$ und $c$.
Eine ganzrationale Funktion vierten Grades $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Ihr Graph schneidet die y-Achse im Punkt $S(0|-2)$ und hat den Tiefpunkt $T(1|-3)$.…
Eine ganzrationale Funktion vierten Grades $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Ihr Graph schneidet die y-Achse im Punkt $S(0|-2)$ und hat den Tiefpunkt $T(1|-3)$.
Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$.
Wendepunkte, Extrema und das LGS lösen
Bei Wendepunkten kommt die zweite Ableitung ins Spiel. Beim Lösen hilft eine feste Reihenfolge: Zuerst liefern einfache Gleichungen wie $f(0)=\ldots$ einzelne Koeffizienten. Dann eliminieren Sie Variable für Variable. Das ist das Gauß-Verfahren, hilfsmittelfrei bei höchstens drei Unbekannten und kleinen Zahlen. Bei vier Unbekannten (Grad 3 ohne Symmetrie) und bei „unschönen“ Zahlen nutzen Sie in Teil B das MMS, oder Sie vereinfachen das System zuerst durch einfache Gleichungen wie $f(0)=\ldots$.
Bei den Aufgaben mit Symmetrie im Grad 4 entstehen kleine Systeme, die man schrittweise auf Zeilenstufenform bringt. „Eindeutig lösbar“ heißt: Nach dem Eliminieren steht in jeder Zeile eine Unbekannte mehr als in der Zeile darunter, und es bleibt kein Widerspruch wie $0=5$ übrig.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f$ hat im Punkt $W(1|2)$ einen Wendepunkt. Die Wendetangente in $W$ hat die Steigung $-3$. Außerdem verläuft der…
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f$ hat im Punkt $W(1|2)$ einen Wendepunkt. Die Wendetangente in $W$ hat die Steigung $-3$. Außerdem verläuft der Graph durch den Ursprung.
- a) Formulieren Sie vier Bedingungen für $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.
- b) Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades $f$ ist symmetrisch zur y-Achse, hat im Punkt $W(1|0)$ einen Wendepunkt und verläuft durch $P(0|1)$. Bestimmen Sie…
Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades $f$ ist symmetrisch zur y-Achse, hat im Punkt $W(1|0)$ einen Wendepunkt und verläuft durch $P(0|1)$.
Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$ und prüfen Sie, ob $W$ tatsächlich ein Wendepunkt ist.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Er hat bei $x = 2$ eine Nullstelle, und im Punkt $P(2|0)$ ist die Tangente…
Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Er hat bei $x = 2$ eine Nullstelle, und im Punkt $P(2|0)$ ist die Tangente parallel zur Geraden $y = 8x$. Der Graph schneidet die y-Achse bei $y = 4$.
- a) Zeigen Sie, dass die Bedingungen $f(0)=4$, $f(2)=0$, $f'(2)=8$ für $f(x)=ax^4+cx^2+e$ ein eindeutig lösbares Gleichungssystem ergeben, und lösen Sie es.
- b) Bestimmen Sie die Extremstellen von $f$ und begründen Sie deren Art.
Steckbriefe im Sachkontext und mit Tangenten
In Anwendungen stehen die Bedingungen im Text: „beginnt waagerecht“, „Gipfel bei“, „geht ohne Knick über“. Sie müssen sie erst in Mathematik übersetzen. Ein Ausdruck wie „ohne Knick“ bedeutet gleiche Steigung, hier waagerecht, also $f'=0$.
Jetzt lösen wir die Radweg-Aufgabe vom Anfang. Zur Kontrolle sehen Sie den Graphen anschließend.
Auch beim Sachkontext zählt der Definitionsbereich: Die Funktion gilt nur für den Bereich, den der Text beschreibt (hier $0\le x\le4$), auch wenn der Graph darüber hinaus weiterläuft.
Der Querschnitt eines Hügels bei einer Wanderstrecke im Harz wird für $0 \le x \le 4$ (x und y in 100 m) durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades…
Der Querschnitt eines Hügels bei einer Wanderstrecke im Harz wird für $0 \le x \le 4$ (x und y in 100 m) durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f$ modelliert. Der Hügel beginnt bei $A(0|0)$ mit waagerechter Tangente. Außerdem ist bekannt: Der Graph hat bei $x = 3$ einen Hochpunkt und verläuft durch $B(2|2)$.
- a) Stellen Sie das Gleichungssystem für $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ auf.
- b) Bestimmen Sie den Funktionsterm und die Höhe des Gipfels.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f$ berührt die x-Achse im Ursprung und hat im Punkt $P(2|4)$ die Tangente $g(x) = -x + 6$. a) Stellen Sie die…
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f$ berührt die x-Achse im Ursprung und hat im Punkt $P(2|4)$ die Tangente $g(x) = -x + 6$.
- a) Stellen Sie die Bedingungen auf und bestimmen Sie $f$.
- b) Untersuchen Sie, ob $P$ ein Extrem- oder Wendepunkt oder keines von beiden ist. Begründen Sie.
Parameter bestimmen und Ortskurve
Manchmal ist der Funktionsterm fast bekannt, und nur ein Parameter fehlt, z. B. $f_a(x)=x^3-3ax^2+4$. Hier gilt dasselbe Prinzip: Jede Bedingung liefert eine Gleichung, die diesmal nur den Parameter enthält. Eine ausführliche Diskussion ganzer Funktionenscharen gehört nicht zu diesem Kurs. Sie müssen nur den Parameter bestimmen.
Eine Zusatzfrage lautet oft: „Auf welcher Kurve liegen alle Hoch-, Tief- oder Wendepunkte?“ Das ist die Ortskurve. Das Vorgehen hat drei Schritte:
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Die $x$-Koordinate des Punktes in Abhängigkeit vom Parameter bestimmen.
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Die $y$-Koordinate bestimmen, indem Sie die $x$-Koordinate in $f$ einsetzen.
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Den Parameter aus der $x$-Koordinate ausdrücken und in die $y$-Koordinate einsetzen.
Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = x^3 - 3ax^2 + 4$ mit $a > 0$. a) Bestimmen Sie $a$ so, dass der Graph von $f_a$ bei $x = 2$ einen Tiefpunkt hat. b) Zeigen Sie,…
Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = x^3 - 3ax^2 + 4$ mit $a > 0$.
- a) Bestimmen Sie $a$ so, dass der Graph von $f_a$ bei $x = 2$ einen Tiefpunkt hat.
- b) Zeigen Sie, dass für jedes $a > 0$ der Wendepunkt von $f_a$ auf dem Graphen einer ganzrationalen Funktion $h$ liegt, und bestimmen Sie $h$.
Zurück zum Anfang: Die Rampe wird durch $f(x)=-\tfrac1{16}x^3+\tfrac38x^2$ beschrieben, denn waagerechter Anfang und waagerechtes Ende sind vier Bedingungen für vier Koeffizienten.