Untersuchung des Verlaufs einer Funktion

Ein Content-Creator hat beobachtet, dass die Anzahl der Abonnenten seines Kanals, gemessen in Tausend, näherungsweise der Funktion $f(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 5$ folgt, wobei $t$ die Zeit in Monaten seit Jahresbeginn ist. Untersuchen Sie die Monotonieintervalle (Wachstum und Rückgang) seines Kanals in den ersten 5 Monaten ($t \in [0;5]$).

Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte der Polynomfunktion $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 2$. Geben Sie jeweils mithilfe des Kriteriums der ersten Ableitung an, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Bestimmen Sie ihre Krümmungsintervalle sowie die x-Koordinaten ihrer Wendepunkte. Verwenden Sie die Konvention, dass eine Funktion linksgekrümmt (konvex) ist, wenn sie „U“-förmig verläuft ($\cup$).

Bestimmen Sie die Punkte der Kurve $f(x) = x^3 - 12x + 1$, in denen die Tangente waagerecht ist. Geben Sie die Gleichungen dieser Tangenten an.

Die Temperatur $T$ (in Grad Celsius) eines elektronischen Bauteils während eines 8-stündigen Tests wird durch die Funktion $T(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 30$ beschrieben, wobei $0 \le t \le 8$ die Zeit in Stunden ist.

1. a) In welchen Zeitintervallen steigt die Temperatur des Bauteils?
2. b) Welche maximale Temperatur wird erreicht und wann?
3. c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Erwärmungsrate maximal ist (Wendepunkt).

Bei einer sommerlichen Hitzewelle registriert der Deutsche Wetterdienst (DWD) an einer Station im Rheintal die Temperatur $T(t)$ in Grad Celsius. Für das Zeitintervall von $06:00$ bis $18:00$ Uhr ($t \in [6;18]$, wobei $t$ die Uhrzeit angibt) wird sie durch die folgende Funktion beschrieben:

$T(t) = -\frac{1}{15}t^3 + \frac{11}{5}t^2 - 21t + 85$

1. a) Bestimmen Sie rechnerisch die Zeitintervalle, in denen die Temperatur im Laufe des Tages stieg bzw. fiel.
2. b) Ermitteln Sie, zu welcher genauen Uhrzeit die lokale Höchsttemperatur und zu welcher die lokale Tiefsttemperatur in diesem Zeitraum erreicht wurde. Berechnen Sie beide Temperaturwerte und deuten Sie, ob die ermittelten Uhrzeiten zum üblichen Tagesverlauf der Temperatur passen (Tiefstwert kurz nach Sonnenaufgang, Höchstwert am frühen Nachmittag).

Bestimmen Sie den Wert des Parameters $k \in \mathbb{R}$ so, dass die Funktion $f(x) = x^2 + kx + 8$ an der Stelle $x = 3$ einen lokalen Tiefpunkt hat. Geben Sie anschließend, nachdem Sie $k$ bestimmt haben, den Wert des Minimums an.

Gegeben ist die Polynomfunktion $f(x) = ax^3 + bx^2 + x - 4$. Bestimmen Sie die Werte der Parameter $a, b \in \mathbb{R}$, wenn die Funktion im Punkt $P(1|-2)$ einen Wendepunkt hat. Geben Sie anschließend an, ob die Funktion im Intervall $(2; +\infty)$ rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt ist.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^3 + px^2 + qx + r$. Bestimmen Sie die Koeffizienten $p, q$ und $r$, wenn Folgendes gilt:

1. Der Graph von $f(x)$ hat einen Wendepunkt in $I(1|2)$.

2. Die Tangente an den Graphen in diesem Wendepunkt $I$ schließt mit der positiven $x$-Achse einen Winkel von $135^\circ$ ein.

Überprüfen Sie, ob die ermittelte Funktion lokale Extrema besitzt. Falls ja, berechnen Sie deren Abstand zum Koordinatenursprung.

Der folgende Graph zeigt die Ableitungsfunktion $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$. Beantworten Sie anhand des Graphen mit Begründung:

• a) In welchen Intervallen steigt die ursprüngliche Funktion $f(x)$ und in welchen fällt sie?

• b) An welchen Stellen $x$ hat die Funktion $f(x)$ lokale Extrema? Geben Sie jeweils die Art an.

Sie können die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Lösung hochladen.

Der folgende Graph zeigt die Ableitungsfunktion $f'(x)$ einer stetigen Funktion $f(x)$. Leiten Sie daraus schlüssig her:

1. a) Die Intervalle, in denen die ursprüngliche Funktion $f(x)$ steigt bzw. fällt.
2. b) Die x-Werte, an denen $f(x)$ lokale Hoch- und Tiefpunkte hat.
3. c) Was geschieht mit der Krümmung von $f(x)$ an der Stelle, an der $f'(x)$ ein lokales Maximum hat?

Sie können die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Lösung hochladen.

Der folgende Graph gehört zur Ableitungsfunktion $f'(x)$ einer stetigen, auf ganz $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f(x)$:

Beantworten Sie ausschließlich anhand der Information aus dem Graphen von $f'(x)$ begründet:

1. a) In welchen Intervallen ist die ursprüngliche Funktion $f(x)$ monoton steigend und in welchen monoton fallend?
2. b) Geben Sie die x-Koordinaten der lokalen Hoch- und Tiefpunkte von $f(x)$ an.
3. c) In welchen Intervallen ist die Funktion $f(x)$ linksgekrümmt ($\cup$) und in welchen rechtsgekrümmt ($\cap$)? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie die Krümmung von $f$ mit dem Monotonieverhalten von $f'$ in Beziehung setzen.

Die Wirksamkeit eines neuen Medikaments wird untersucht. Die Konzentration im Blut (in $mg/l$) wird durch die Funktion $C(t) = \frac{4t}{t^2 + 1}$ beschrieben, wobei $t$ die seit der Einnahme vergangene Zeit in Stunden ist. Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Konzentration maximal ist und wie groß diese Konzentration ist.

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$. Aufgaben:

1. a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge der Funktion.

1. b) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Funktion steigt bzw. fällt (Monotonie).

1. c) Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte, falls vorhanden.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ mit seinen Asymptoten, damit Sie Ihre Ergebnisse überprüfen können.