Skalarprodukt

Ein Ingenieurteam entwirft die Konstruktion einer Halterung für eine Telekommunikationsantenne. Es hat zwei Haltekabel festgelegt, die durch die Vektoren $\vec{u} = (2, -3, 1)$ und $\vec{v} = (4, 2, 5)$ dargestellt werden. Berechnen Sie das Skalarprodukt beider Vektoren, um den Winkel am zentralen Knoten zu untersuchen.

Zwei Überwachungsdrohnen befinden sich an festen Positionen im Raum. Die erste Drohne ist im Punkt $A(1|2|-1)$, die zweite im Punkt $B(3|-2|2)$. Die Kontrollstation liegt im Koordinatenursprung $O(0|0|0)$. Berechnen Sie den Betrag des Ortsvektors jeder Drohne, $|\vec{OA}|$ und $|\vec{OB}|$.

Bei einer Attraktion in einem Freizeitpark ziehen zwei Seile an einer Gondel. Die Richtungen der Seile sind durch die Vektoren $\vec{u} = (1, 0, 1)$ und $\vec{v} = (0, 1, 1)$ gegeben. Bestimmen Sie mithilfe der Definition des Skalarprodukts den Winkel $\alpha$ zwischen beiden Seilen.

Die Eckpunkte eines Dreiecks im Raum sind $A(1|2|1)$, $B(3|-1|0)$ und $C(-1|0|4)$.

• a) Berechnen Sie den Innenwinkel am Eckpunkt $A$.

• b) Bestimmen Sie mithilfe des Skalarprodukts, ob das Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist.

Bestimmen Sie den Wert von $k$ so, dass der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u} = (1, 1, 0)$ und $\vec{v} = (0, 1, k)$ genau $45^\circ$ beträgt. Begründen Sie, ob der erhaltene Wert von $k$ eindeutig ist oder ob es mehrere mögliche Orientierungen für den Vektor $\vec{v}$ gibt.

Bestimmen Sie den Wert des reellen Parameters $k$ so, dass die Vektoren $\vec{a} = (k, 4, -2)$ und $\vec{b} = (3, -2, 5)$ senkrecht (orthogonal) zueinander sind. Berechnungen dieser Art sind in der Spieleprogrammierung grundlegend, um Kollisionen zwischen Oberflächen zu erkennen.

Gegeben sind die Punkte $A(1|1|1)$, $B(3|1|1)$ und $C(1|4|1)$.

1. a) Bestimmen Sie die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$.
2. b) Berechnen Sie ihr Skalarprodukt $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
3. c) Begründen Sie, ob das Dreieck $ABC$ am Eckpunkt $A$ einen rechten Winkel hat.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (m, 2, -1)$ und $\vec{v} = (3, m, m+2)$. Bestimmen Sie die Werte des reellen Parameters $m$, für die beide Vektoren orthogonal zueinander sind. Falls es mehrere Werte gibt, erklären Sie, ob die sich ergebenden Vektoren in jedem Fall denselben Betrag haben.

Ein Windvektor hat die Komponenten $\vec{w} = (3, -4, 12)$. In der Meteorologie arbeitet man sinnvollerweise mit normierten Richtungen. Berechnen Sie den Einheitsvektor $\vec{u_w}$ mit derselben Richtung und demselben Richtungssinn wie $\vec{w}$.

In der Physik ist die von einer konstanten Kraft verrichtete Arbeit als Skalarprodukt aus Kraftvektor und Verschiebungsvektor definiert: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Eine Kraft $\vec{F} = (5, 3, 2)$ Newton verschiebt einen Körper vom Punkt $P(0|0|0)$ zum Punkt $Q(2|4|1)$ (in Metern). Berechnen Sie die verrichtete Arbeit in Joule.

In einer Ingenieurkonstruktion verschiebt eine Kraft $\vec{F} = (4, -3, 2)$ Newton einen Punkt von der Position $P(1|1|1)$ nach $Q(5|2|-3)$ (Koordinaten in Metern). Berechnen Sie die von der Kraft verrichtete Arbeit; beachten Sie dabei, dass die Arbeit das Skalarprodukt aus Kraftvektor und Verschiebungsvektor $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ ist.

Seien $\vec{u}$ und $\vec{v}$ zwei Vektoren im Raum mit den Beträgen $|\vec{u}| = 4$ und $|\vec{v}| = 3$. Der eingeschlossene Winkel beträgt $60^\circ$. Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$ und $\vec{b} = \vec{u} + 3\vec{v}$ mithilfe der Distributivität und der Kommutativität.

Seien $\vec{u}$ und $\vec{v}$ zwei Einheitsvektoren. Beweisen Sie, dass der Summenvektor $\vec{u} + \vec{v}$ und der Differenzvektor $\vec{u} - \vec{v}$ stets senkrecht zueinander sind, unabhängig von den Komponenten dieser Vektoren. Erklären Sie mithilfe dieses Ergebnisses die geometrische Beziehung zwischen den Diagonalen einer Raute.

Zeigen Sie mithilfe der Eigenschaften des Skalarprodukts, dass für je zwei Vektoren $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^3$ die folgende Identität gilt (bekannt als Polarisationsidentität):

Verwenden Sie dieses Ergebnis anschließend, um das Skalarprodukt zweier Vektoren zu berechnen, deren Summe und Differenz die Beträge $|\vec{x} + \vec{y}| = 10$ und $|\vec{x} - \vec{y}| = 6$ haben. Welchen Winkel schließen diese Vektoren ein, wenn wir außerdem wissen, dass ihre Beträge gleich sind?

Ein Vektor $\vec{w}$ hat den Betrag 10, und seine ersten beiden Richtungskosinus sind $\cos \alpha = 0,6$ und $\cos \beta = -0,8$.

• a) Bestimmen Sie den dritten Richtungskosinus $\cos \gamma$.

• b) Bestimmen Sie die Komponenten des Vektors $\vec{w}$.

Bestimmen Sie alle Vektoren $\vec{w} = (x, y, z)$ im Raum, die gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

1. Er ist orthogonal zum Vektor $\vec{u} = (1, 1, 0)$.

2. Er schließt mit dem Vektor $\vec{v} = (0, 1, 1)$ einen Winkel von $45^\circ$ ein.

3. Sein Betrag ist $|\vec{w}| = \sqrt{6}$.

Erklären Sie nach der Bestimmung der Vektoren mit geometrischen Argumenten, warum die Aufgabe genau zwei verschiedene Lösungen hat (deuten Sie den geometrischen Schnitt aus Orthogonalitätsebene, Kegel mit konstantem Winkel und Kugel mit festem Radius).

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (m, 1, 1)$ und $\vec{v} = (1, m, 1)$. Aufgaben:

1. a) Bestimmen Sie die Werte des reellen Parameters $m$, für die der von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ gebildete Winkel genau $60^\circ$ beträgt.

1. b) Bestimmen Sie für den Wert $m=0$ einen Vektor $\vec{w}$ mit dem Betrag $\sqrt{6}$, der eine Linearkombination von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist und zusätzlich orthogonal zum Vektor $\vec{a} = (1, 1, -1)$ steht.

Gegeben ist der Vektor $\vec{a} = (6, 2, -3)$. Berechnen Sie seine skalare Projektion auf die Abszissenachse ($X$-Achse). Verwenden Sie dazu das Skalarprodukt von $\vec{a}$ mit dem Einheitsvektor dieser Achse, $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Stellen Sie die Idee der Projektion grafisch dar.

Sie können es auf Papier lösen und ein Foto Ihrer Antwort einsenden.

Emilia soll die skalare Projektion des Vektors $\vec{a} = (3, -1, 2)$ auf den Vektor $\vec{b} = (1, 2, -2)$ berechnen und daraus folgern, ob der eingeschlossene Winkel spitz, rechtwinklig oder stumpf ist. In ihrer Klausur schreibt sie Folgendes:

„Wir berechnen die Projektion: $\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|} = \frac{3\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + 2\cdot(-2)}{\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{3-2-4}{\sqrt{14}} = \frac{-3}{\sqrt{14}}$. Da eine Projektion eine geometrische Größe darstellt, kann sie nicht negativ sein, daher ist das richtige Ergebnis $\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{3}{\sqrt{14}}$. Außerdem zeigt die Tatsache, dass es sich um eine positive Größe handelt, dass der Winkel zwischen $\vec{a}$ und $\vec{b}$ spitz ist.“

Identifizieren Sie begründet die drei begrifflichen Fehler von Emilia (in der verwendeten Formel, in der Deutung des Vorzeichens der Projektion und in der Schlussfolgerung über den Winkel), erklären Sie, warum sie falsch sind, und formulieren Sie die korrigierte Lösung.

Berechne die skalare Projektion und die Vektorprojektion des Vektors $\vec{a} = (1, -2, 5)$ auf den Vektor $\vec{b} = (3, 0, 4)$.

1. a) Berechne die skalare Projektion von $\vec{a}$ auf $\vec{b}$.

1. b) Berechne die Vektorprojektion von $\vec{a}$ auf $\vec{b}$.

1. c) Deute grafisch, ob der Projektionsvektor dieselbe Richtung wie $\vec{b}$ hat, und stütze dich dabei auf das Vorzeichen des Skalarprodukts $\vec{a}\cdot\vec{b}$, das du erhalten hast.

Gegeben ist ein Tetraeder mit den Eckpunkten $O(0|0|0)$, $A(a|0|0)$, $B(0|b|0)$ und $C(0|0|c)$ mit $a, b, c > 0$. Sei $M$ der Mittelpunkt der Strecke $BC$.

1. a) Zeigen Sie ausschließlich mithilfe des Skalarprodukts, dass der Vektor $\vec{AM}$ genau dann senkrecht zur Strecke $BC$ steht, wenn die Katheten der Grundfläche auf den Achsen $Y$ und $Z$ gleich lang sind ($b = c$).

1. b) Berechnen Sie für festes $a=4$, $b=2$ und $c=2$ die orthogonale Projektion des Vektors $\vec{OA}$ auf die durch den Vektor $\vec{AB}$ gegebene Richtung. Geben Sie das Ergebnis als Vektor an.