Informationen zur Funktion – Funktionsuntersuchung
Im Skatepark in Köln-Ehrenfeld soll das Profil einer Rampe durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion beschrieben werden. Wo liegt der tiefste Punkt? Wo ist die Rampe am steilsten? Wo wechselt die Kurve von einer Rechts- in eine Linkskurve? Solche Fragen beantworten Sie ohne Rechner, wenn Sie die Informationen aus Funktionsterm und Ableitungen in einer festen Reihenfolge zusammentragen. Genau das üben Sie hier, und zwar in beide Richtungen: vom Term zum Graphen und vom Graphen (oder von Eigenschaften) zurück zur Funktion.
Das Schema der Funktionsuntersuchung
Eine Funktionsuntersuchung (Kurvendiskussion) sammelt alle wichtigen Eigenschaften einer Funktion, damit Sie den Graphen $G_f$ zeichnen oder Fragen zum Sachkontext beantworten können. Bei ganzrationalen Funktionen gehen Sie immer in dieser Reihenfolge vor:
Warum diese Reihenfolge? Jeder Schritt liefert Punkte oder Hinweise für den nächsten. Die Symmetrie halbiert die Arbeit, das Verhalten im Unendlichen sagt, wie die Enden der Kurve aussehen, und die Nullstellen sind ohnehin Teil der Skizze.
Beim Verhalten für $x\to\pm\infty$ zählt nur der Summand mit der höchsten Potenz. Bei $f(x)=x^3-3x^2$ dominiert $x^3$: Für $x\to+\infty$ gilt $f(x)\to+\infty$, für $x\to-\infty$ gilt $f(x)\to-\infty$.
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten (Intervalle des Steigens und Fallens) und berechnen Sie die lokalen Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) der folgenden ganzrationalen…
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten (Intervalle des Steigens und Fallens) und berechnen Sie die lokalen Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) der folgenden ganzrationalen Funktion:
$f(x) = x^3 - 3x + 2$
Führen Sie eine vollständige Untersuchung des Monotonieverhaltens und der Extremstellen der gebrochenrationalen Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}$ durch.…
Führen Sie eine vollständige Untersuchung des Monotonieverhaltens und der Extremstellen der gebrochenrationalen Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}$ durch. Bestimmen Sie genau die Intervalle, in denen die Funktion steigt bzw. fällt, sowie die Koordinaten ihrer Hoch- und Tiefpunkte, falls vorhanden.
Monotonie, Krümmung und Wendepunkte
Aus der Einführungsphase kennen Sie den Zusammenhang zwischen Ableitung und Verlauf des Graphen. Hier das Wichtigste auf einen Blick:
Warum? $f''$ ist die Ableitung von $f'$. Ist $f''>0$, wächst die Steigung $f'$, also „kippt“ die Tangente immer weiter nach oben, und die Kurve biegt sich nach links.
Der Tangentensteigung folgen Sie am einfachsten mit einer Vorzeichentabelle. Ein Extrempunkt liegt vor, wenn $f'$ das Vorzeichen wechselt, bei $+\to-$ ein Hochpunkt, bei $-\to+$ ein Tiefpunkt.
Beachten Sie bei der Frage nach globalen Extrema: Ein lokales Extremum muss nicht das größte oder kleinste Funktionswert sein. Bei einem eingeschränkten Definitionsbereich (etwa im Sachkontext $t\in[0;10]$) müssen Sie zusätzlich die Randwerte vergleichen.
Analysieren Sie das Krümmungsverhalten der Funktion $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Gehen Sie dazu so vor: 1. Bestimmen Sie die zweite Ableitung $f''(x)$. 2. Bestimmen Sie die…
Analysieren Sie das Krümmungsverhalten der Funktion $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Gehen Sie dazu so vor:
-
Bestimmen Sie die zweite Ableitung $f''(x)$.
-
Bestimmen Sie die Intervalle, in denen der Graph linksgekrümmt ($\cup$) bzw. rechtsgekrümmt ($\cap$) ist.
-
Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Wendepunkte.
Betrachten Sie die Polynomfunktion $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. Bestimmen Sie die Intervalle der Rechts- und Linkskrümmung sowie die exakten Koordinaten ihrer…
Betrachten Sie die Polynomfunktion $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. Bestimmen Sie die Intervalle der Rechts- und Linkskrümmung sowie die exakten Koordinaten ihrer Wendepunkte. Verwenden Sie das Symbol $\cup$ für die Intervalle, in denen die Funktion linksgekrümmt ist (Krümmung nach oben), und $\cap$ für die Intervalle, in denen sie rechtsgekrümmt ist (Krümmung nach unten).
Umkehraufgabe: Skizze aus Eigenschaften
In Klausuren wird auch umgekehrt gefragt: Es sind Eigenschaften gegeben (Nullstellen, ein Tiefpunkt, Monotonie, Verhalten im Unendlichen), und Sie sollen einen passenden Graphen skizzieren. Das ist ein Darstellungswechsel: von Text und Zahlen zum Bild. Es gibt nicht nur eine richtige Skizze, aber alle Bedingungen müssen erfüllt sein.
Über eine auf ganz $\mathbb{R}$ stetige Funktion $f(x)$ ist Folgendes bekannt: Sie schneidet die $X$-Achse in $x = -2$ und $x = 2$. Sie hat einen Tiefpunkt in $(0|-4)$.…
Über eine auf ganz $\mathbb{R}$ stetige Funktion $f(x)$ ist Folgendes bekannt:
-
Sie schneidet die $X$-Achse in $x = -2$ und $x = 2$.
-
Sie hat einen Tiefpunkt in $(0|-4)$.
-
Sie ist in $(-\infty, 0)$ monoton fallend und in $(0, +\infty)$ monoton steigend.
-
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ und $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.
Zeichnen Sie eine Skizze des Graphen, die alle diese Bedingungen erfüllt. Als Hilfe finden Sie hier das Koordinatensystem mit den bekannten Punkten; übertragen Sie es auf Ihr Papier und zeichnen Sie die Kurve.
Sie können die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Lösung einsenden.
Parameter aus Bedingungen bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Oft ist der Term einer Funktion bis auf Parameter bekannt, und Bedingungen aus dem Kontext legen die Parameter fest. Jede Bedingung wird in eine Gleichung übersetzt, die Gleichungen bilden ein LGS.
Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{ax^2 + bx}{x + c}$. Bestimmen Sie die Werte der reellen Parameter $a$, $b$ und $c$, wenn bekannt ist, dass gleichzeitig die…
Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{ax^2 + bx}{x + c}$. Bestimmen Sie die Werte der reellen Parameter $a$, $b$ und $c$, wenn bekannt ist, dass gleichzeitig die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
-
Die Gerade $x = 2$ ist eine senkrechte Asymptote des Graphen der Funktion.
-
Die Funktion hat an der Stelle $x = 3$ eine relative Extremstelle.
-
Die Tangente an den Graphen im Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist parallel zur Geraden $y = -2x + 5$.
Untersuchen Sie nach der Bestimmung der Parameter, ob eine schräge Asymptote existiert, und bestimmen Sie die Lage der Kurve relativ zu ihr.
Vom Graphen von $f'$ zum Graphen von $f$
Manchmal ist nur der Graph der Ableitungsfunktion $f'$ gegeben, und Sie sollen Aussagen über $f$ machen. Dabei gibt es zwei verschiedene Lesarten desselben Graphen.
Warum? Die Ableitung von $f'$ ist $f''$. Wenn $G_{f'}$ steigt, ist seine Steigung $f''$ positiv.
Die Funktion $f$ ist aus $f'$ nur bis auf eine Verschiebung in y-Richtung bestimmt. Ist zusätzlich ein Funktionswert bekannt (zum Beispiel $f(0)=1$), liegt die Lage der Skizze fest.
Gegeben ist der unten dargestellte Graph der Ableitungsfunktion $f'(x)$ (eine Gerade, die durch die Punkte $(-2|0)$ und $(0|4)$ verläuft). Geben Sie mit Begründung an:…
Gegeben ist der unten dargestellte Graph der Ableitungsfunktion $f'(x)$ (eine Gerade, die durch die Punkte $(-2|0)$ und $(0|4)$ verläuft). Geben Sie mit Begründung an:
- a) Die Intervalle, in denen die ursprüngliche Funktion $f(x)$ monoton steigt bzw. fällt.
- b) Die x-Werte der Extremstellen von $f(x)$ und ihre Art (Hoch- oder Tiefpunkt).
- c) Das Intervall der Rechts- bzw. Linkskrümmung von $f(x)$.
Der folgende Graph gehört zur Ableitungsfunktion $f'(x)$ einer auf ganz $\mathbb{R}$ definierten stetigen Funktion $f(x)$. Beantworten Sie anhand der gegebenen…
Der folgende Graph gehört zur Ableitungsfunktion $f'(x)$ einer auf ganz $\mathbb{R}$ definierten stetigen Funktion $f(x)$. Beantworten Sie anhand der gegebenen Abbildung:
-
Geben Sie die Intervalle an, in denen die ursprüngliche Funktion $f(x)$ monoton steigt bzw. fällt.
-
Bestimmen Sie die x-Werte der Extremstellen von $f(x)$ und klassifizieren Sie sie als Hoch- oder Tiefpunkte.
-
Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von $f(x)$ und bestimmen Sie die Wendepunkte.
-
Wenn bekannt ist, dass $f(0) = 1$, skizzieren Sie den Graphen der ursprünglichen Funktion $f(x)$ und begründen Sie die erhaltene Form.
Ausblick: gebrochenrationale Funktionen und Asymptoten
Der einzige Fall mit Asymptote, den Sie im Grundkurs kennen sollten, ist $f(x)=\frac1x$. Für $x\to\pm\infty$ gilt $f(x)\to0$, die x-Achse ist also eine waagerechte Asymptote. Bei $x=0$ ist $f$ nicht definiert, und für $x\to0^{+}$ wächst $f(x)$ über alle Grenzen: die y-Achse ist eine senkrechte Asymptote.
Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{2x}{x-1}$. Bestimmen Sie: 1. Die Gleichungen ihrer senkrechten und waagerechten Asymptoten. 2. Die Lage der Kurve relativ zu…
Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{2x}{x-1}$. Bestimmen Sie:
-
Die Gleichungen ihrer senkrechten und waagerechten Asymptoten.
-
Die Lage der Kurve relativ zu diesen Asymptoten durch Untersuchung der einseitigen Grenzwerte und des Verhaltens im Unendlichen.
Skizzieren Sie den Graphen einer stetigen Funktion $f(x)$, die gleichzeitig die folgenden, aus ihrer analytischen Untersuchung gewonnenen Bedingungen erfüllt:…
Skizzieren Sie den Graphen einer stetigen Funktion $f(x)$, die gleichzeitig die folgenden, aus ihrer analytischen Untersuchung gewonnenen Bedingungen erfüllt:
-
Definitionsmenge: $\mathbb{R} - \{0\}$
-
Schnittpunkte mit den Achsen: $(2|0)$ und $(-2|0)$.
-
Senkrechte Asymptote bei $x = 0$, mit $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ und $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$.
-
Waagerechte Asymptoten: $y = -1$ für $x \to +\infty$ und $y = 1$ für $x \to -\infty$.
-
$f'(x) < 0$ auf der gesamten Definitionsmenge.
Sie können es auf Papier machen und ein Foto Ihrer Antwort senden.
Untersuchen Sie für die Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$ das Verhalten im Unendlichen bzw. die Asymptoten: a) Prüfen Sie, ob es senkrechte Asymptoten gibt. b) Prüfen…
Untersuchen Sie für die Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$ das Verhalten im Unendlichen bzw. die Asymptoten:
- a) Prüfen Sie, ob es senkrechte Asymptoten gibt.
- b) Prüfen Sie, ob es waagerechte Asymptoten gibt.
- c) Falls es keine waagerechte Asymptote gibt, prüfen Sie, ob es eine schräge Asymptote gibt, und bestimmen Sie ihre Gleichung.
Untersuchen Sie die Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Funktion $f(x) = x \cdot |x - 2|$. Gehen Sie auf Grundlage dieser Untersuchung wie folgt vor: 1. Stellen Sie…
Untersuchen Sie die Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Funktion $f(x) = x \cdot |x - 2|$. Gehen Sie auf Grundlage dieser Untersuchung wie folgt vor:
-
Stellen Sie die Funktion als abschnittsweise definierte Funktion dar.
-
Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Funktion monoton steigt bzw. fällt.
-
Bestimmen Sie die relativen und absoluten Hoch- und Tiefpunkte im Intervall $[0;4]$.
-
Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten und die Wendepunkte. Achten Sie besonders auf die Stelle, an der sich die Definition der Funktion ändert.