Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Gegeben ist eine im Intervall $[1;8]$ stetige Funktion $f(x)$. Die Werte der folgenden bestimmten Integrale sind bekannt:

• $\int_1^5 f(x) \, dx = 7$

• $\int_5^8 f(x) \, dx = -3$

Berechnen Sie mithilfe der Eigenschaften des bestimmten Integrals den Wert von $\int_1^8 2 \cdot f(x) \, dx$.

Ein Videospielentwickler entwirft die Flugbahn eines Geschosses. Die Geschwindigkeit des Objekts in Abhängigkeit von der Zeit $t$ ist durch den Term $v(t) = \int_1^t (3x^2 - 4x) \, dx$ gegeben.

Wenden Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an, um den Term der Momentanbeschleunigung $a(t)$ zu bestimmen, wobei die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist ($a(t) = v'(t)$).

Bestimmen Sie den Wert der Ableitung der folgenden Integralfunktion an der Stelle $x = 2$:

Erklären Sie, welchen mathematischen Satz Sie verwenden, um die Aufgabe zu lösen, ohne die Stammfunktion zu berechnen.

Die Funktion $G(x)$ sei definiert durch:

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $G(x)$ an der Stelle $x = 0$.

Hinweis: Denken Sie daran, dass Sie für die y-Koordinate des Berührpunkts $G(0)$ berechnen müssen und für die Steigung den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden müssen.

Gegeben ist die Integralfunktion $H(x) = \int_{0}^{x} \frac{t-1}{t^2+4} \, dt$:

1. a) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen $H(x)$ monoton steigend bzw. fallend ist.
2. b) Bestimmen Sie die Koordinaten der relativen Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkte) von $H(x)$ und klassifizieren Sie sie.

Der Deutsche Wetterdienst (DWD) erfasst die Netto-Niederschlagsintensität, die während eines 6-stündigen Unwetters einen Stausee speist, durch die Netto-Zuflussfunktion $c(t) = 6t - t^2$ (in Kubikhektometern pro Stunde, $\text{hm}^3/\text{h}$), wobei $t \in [0;6]$ die seit Beginn des Unwetters vergangene Zeit in Stunden ist. Das im Stausee akkumulierte Netto-Volumen wird als $V(t) = \int_0^t c(u)\,du$ modelliert.

1. a) Deuten Sie die physikalische und mathematische Bedeutung von $V'(t)$ mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Zu welchem Zeitpunkt fließt das Wasser am schnellsten in den Stausee?
2. b) Begründen Sie anhand des Vorzeichens von $V'(t)$, in welchem Zeitintervall das zugeflossene Wasservolumen $V(t)$ zunimmt und zu welchem Zeitpunkt es im Intervall $[0;6]$ seinen größten Wert erreicht.
3. c) Berechnen Sie mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung das gesamte Wasservolumen (in $\text{hm}^3$), das das Unwetter dem Stausee nach 6 Stunden zugeführt hat.

Ein Ingenieurteam entwirft die Flugbahn einer Renndrohne. Die vertikale Geschwindigkeit der Drohne im Zeitintervall $[0;4]$ Sekunden ist durch die Funktion $v(t) = \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + z^4} \, dz$ gegeben.

1. a) Begründen Sie, ohne das Integral explizit zu berechnen, warum die Drohne stets steigt oder auf gleicher Höhe bleibt.
2. b) Berechnen Sie die vertikale Beschleunigung der Drohne zum Zeitpunkt $t = 1$ Sekunde.
3. c) Zu welchem Zeitpunkt ist die vertikale Beschleunigung maximal? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie die zweite Ableitung der Position untersuchen.

In einer Abiturklausur soll die Ableitung der Funktion $F(x) = \int_2^{x^3} \sqrt{t^2 + 5}\,dt$ an der Stelle $x = 1$ berechnet werden. Irene legt folgende Lösung vor:

„Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Ableitung eines Integrals die Funktion im Integranden, ausgewertet an der oberen Grenze, also $F'(x) = \sqrt{(x^3)^2 + 5} = \sqrt{x^6 + 5}$. Einsetzen in $x = 1$ ergibt $F'(1) = \sqrt{1^6 + 5} = \sqrt{6}$.“

1. a) Benennen Sie den begrifflichen Fehler, den Irene macht, und erklären Sie, welche Regel bzw. welchen Satz sie nicht angewendet hat.
2. b) Formulieren Sie die Version des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung, die anzuwenden ist, wenn die obere Integrationsgrenze eine differenzierbare Funktion $g(x)$ ist.
3. c) Korrigieren Sie die Aufgabe, indem Sie den exakten, vereinfachten Wert von $F'(1)$ berechnen.

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion $F'(x)$ der folgenden Integralfunktion mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung und der Kettenregel:

Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion $F(x)$ an, für die das Integral wohldefiniert ist.

Die Funktion $f(t) = \frac{\ln(t)}{t^2}$ sei für $t > 0$ definiert. Eine neue Integralfunktion $G(x)$ wird definiert durch:

1. a) Bestimmen Sie mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung und der Kettenregel den Term der Ableitung $G'(x)$.
2. b) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen $G(x)$ in ihrer Definitionsmenge monoton steigt bzw. fällt.
3. c) Bestimmen Sie den Wert $x > 1$, für den die Funktion $G(x)$ einen lokalen Hochpunkt besitzt.

Ein Solarthermie-Paneel hat einen Entwurf, dessen oberer Querschnitt durch die Funktion $f(x) = 3x^2 + 2$ begrenzt wird, wobei $x$ in Metern gemessen wird. Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals im Intervall $[0;2]$ mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Die Geschwindigkeit eines Elektrofahrzeug-Prototyps während der ersten 4 Sekunden eines Tests ist durch die Funktion $v(t) = t^2 - 3t + 4$ (in m/s) gegeben.

1. a) Berechnen Sie den insgesamt zurückgelegten Weg des Fahrzeugs zwischen den Zeitpunkten $t = 1$ s und $t = 3$ s mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
2. b) Begründen Sie, ob das Fahrzeug in diesem Intervall zu irgendeinem Zeitpunkt anhält.

Bestimmen Sie den Wert des positiven reellen Parameters $a$, wenn bekannt ist, dass der Flächeninhalt, der von der Kurve $f(x) = 3x^2$, der $OX$-Achse und den senkrechten Geraden $x = 0$ und $x = a$ begrenzt wird, genau 27 Flächeneinheiten beträgt. Verwenden Sie dazu den Hauptsatz.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von der Kurve $f(x) = x^2 - 4$ und der $OX$-Achse im Intervall $[0; 2]$ eingeschlossen wird. Denken Sie daran: Ist die Funktion im Intervall negativ, entspricht der Flächeninhalt dem Betrag des bestimmten Integrals.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = |x^2 - 2x|$. Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals im Intervall $[0;3]$ mithilfe des Hauptsatzes:

Erklären Sie kurz, warum es notwendig ist, das Integrationsintervall zu zerlegen, um diese Aufgabe zu lösen.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2 - 4$. Betrachten Sie die Integralfunktion $H(x) = \int_{0}^{x} |f(t)| \, dt$.

1. a) Stellen Sie $H(x)$ als abschnittsweise definierte Funktion für Werte von $x \in [0, 5]$ dar.
2. b) Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit von $H(x)$ an der Stelle $x = 2$. Ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an dieser Stelle direkt anwendbar?
3. c) Berechnen Sie mit dem Hauptsatz den exakten Wert von $H(3)$.

Begründen Sie ohne aufwendige Integrationsrechnung, warum der Wert des folgenden Integrals gleich $0$ ist, und stützen Sie sich dabei auf die Eigenschaften ungerader Funktionen und die Symmetrie des Intervalls:

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f(x)=x^5+3x^3-x$ im Intervall $[-2,\,2]$, wobei die Flächen zwischen der Kurve und der $X$-Achse schraffiert sind.

Bestimmen Sie den Mittelwert der Funktion $f(x) = \sqrt{x+1}$ im Intervall $[0; 3]$ und ermitteln Sie die Stelle $c \in (0; 3)$, deren Existenz der Mittelwertsatz der Integralrechnung garantiert. Deuten Sie das Ergebnis geometrisch.