Q1 Grundkurs · Mathematik (Grundkurs)

Steckbriefaufgaben, hilfsmittelfreie Aufgaben und räumliche Darstellung · Darstellung räumlicher Situationen

Skizzieren im Koordinatensystem

Ein Zimmerer in Münster plant ein Zeltdach für das Sommerfest eines Kleingartenvereins. Bevor er rechnet oder sägt, macht er eine Skizze: Wo liegen die Eckpunkte, welche Fläche gehört zu welcher Ebene, wo schneiden sich zwei Dachflächen? Im Abitur ist es genauso. Eine gute Skizze liefert oft schon den Lösungsansatz. Wie zeichnet man eine solche Skizze schnell und korrekt, und was kann man ihr entnehmen? Das klären wir auf dieser Seite.

Das Koordinatensystem im Schrägbild

Auf dem Papier haben wir nur zwei Dimensionen. Den Raum stellen wir deshalb im Schrägbild (Kavalierperspektive) dar. Dafür gelten feste Absprachen:

Die $x_2$-Achse zeigt waagerecht nach rechts, die $x_3$-Achse senkrecht nach oben.
Die $x_1$-Achse zeigt schräg nach links unten, im Winkel von $45^\circ$ zur $x_2$-Achse. Sie wird auf die Hälfte verkürzt, weil sie „auf uns zukommt“.
Auf kariertem Papier heißt das: Auf der $x_2$- und der $x_3$-Achse entspricht 1 LE zwei Kästchen. Auf der $x_1$-Achse entspricht 1 LE der Diagonale eines Kästchens.

Zur Orientierung hilft ein „Laufweg“ mit gestrichelten Hilfslinien. Die Abbildung zeigt die Punkte $A(2|0|0)$, $B(2|3|0)$ und $C(2|3|4)$.

Aus den Koordinaten lässt sich die Lage eines Punktes ablesen:

Ist eine Koordinate $0$, liegt der Punkt in einer Koordinatenebene. Bei $x_3=0$ ist es die $x_1x_2$-Ebene, bei $x_1=0$ die $x_2x_3$-Ebene, bei $x_2=0$ die $x_1x_3$-Ebene.
Sind zwei Koordinaten $0$, liegt der Punkt auf einer Koordinatenachse.

Üben★☆☆

Zeichnen Sie ein dreidimensionales Koordinatensystem im Schrägbild und tragen Sie die Punkte $A(2|0|0)$, $B(2|3|0)$ und $C(2|3|4)$ ein. Beschreiben Sie, in welcher…

Zeichnen Sie ein dreidimensionales Koordinatensystem im Schrägbild und tragen Sie die Punkte $A(2|0|0)$, $B(2|3|0)$ und $C(2|3|4)$ ein. Beschreiben Sie, in welcher Koordinatenebene beziehungsweise Lage jeder der drei Punkte liegt.

Lösen

Körper im Raum skizzieren

Quader, Pyramiden oder Dächer werden über ihre Eckpunkte gezeichnet. Das Vorgehen:

Alle Eckpunkte einzeln eintragen (mit Hilfslinien).
Verbinden Sie die Punkte zu den Kanten.
Verdeckte Kanten werden gestrichelt gezeichnet. Das sind Kanten, die man von vorn-links-oben nicht sehen würde.

Mittelpunkte von Kanten brauchen Sie häufig, zum Beispiel für Symmetrieüberlegungen. Der Mittelpunkt einer Strecke $\overline{PQ}$ ist

$$M = \tfrac{1}{2}(\vec{p} + \vec{q}), \quad\text{also}\quad M\left(\tfrac{p_1+q_1}{2}\,\Big|\,\tfrac{p_2+q_2}{2}\,\Big|\,\tfrac{p_3+q_3}{2}\right).$$

Man mittelt also jede Koordinate einzeln. Das ist sinnvoll, weil der Mittelpunkt in jeder Richtung genau auf halber Strecke liegt.

Üben★☆☆

Skizzieren Sie im Schrägbild den Quader mit den Eckpunkten $O(0|0|0)$, $A(4|0|0)$, $B(4|3|0)$, $C(0|3|0)$ und der Höhe 2 in Richtung der $x_3$-Achse. Geben Sie die…

Skizzieren Sie im Schrägbild den Quader mit den Eckpunkten $O(0|0|0)$, $A(4|0|0)$, $B(4|3|0)$, $C(0|3|0)$ und der Höhe 2 in Richtung der $x_3$-Achse. Geben Sie die Koordinaten der oberen vier Eckpunkte an.

Lösen

Üben★★☆

Eine Pyramide hat die quadratische Grundfläche $A(0|0|0)$, $B(6|0|0)$, $C(6|6|0)$, $D(0|6|0)$ und die Spitze $S(3|3|5)$ (Einheit: m), z. B. als Modell eines Dachs in…

Eine Pyramide hat die quadratische Grundfläche $A(0|0|0)$, $B(6|0|0)$, $C(6|6|0)$, $D(0|6|0)$ und die Spitze $S(3|3|5)$ (Einheit: m), z. B. als Modell eines Dachs in Kassel.

a) Skizzieren Sie die Pyramide im Koordinatensystem.

b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Kante $\overline{BS}$ und tragen Sie ihn ein.

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Spurpunkte und Spurdreieck

Wie zeichnet man eine Ebene? Man kann sie nicht ganz zeichnen, sie ist unendlich groß. Stattdessen zeichnet man die Stellen, an denen sie die Achsen durchstößt.

Für $E: ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$ mit $a, b, c \neq 0$ setzt man jeweils zwei Koordinaten gleich $0$:

Spurdreieck und Flächeninhalt

Gegeben ist $E: 3x_1 + 4x_2 + 6x_3 = 12$. Bestimmen Sie die Spurpunkte, zeichnen Sie das Spurdreieck und berechnen Sie seinen Flächeninhalt.

Spurpunkte: $S_1$: $3x_1 = 12$, also $S_1(4|0|0)$. $S_2$: $4x_2 = 12$, also $S_2(0|3|0)$. $S_3$: $6x_3=12$, also $S_3(0|0|2)$.

Skizze: Die drei Punkte auf den Achsen eintragen und verbinden. Das Dreieck liegt dann „schräg im Raum“ in der Ebene $E$.

Flächeninhalt: Mit $\vec{u} = \overrightarrow{S_1S_2} = \begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \overrightarrow{S_1S_3} = \begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix}$ gilt $A = \tfrac12 \lvert\vec u\rvert \cdot \lvert\vec v\rvert \cdot \sin\varphi$. Weil $\sin^2\varphi = 1 - \cos^2\varphi$ ist, folgt

$$A = \tfrac{1}{2}\sqrt{\lvert\vec u\rvert^2 \cdot \lvert\vec v\rvert^2 - (\vec u \circ \vec v)^2}.$$

Berechnen Sie $\lvert\vec u\rvert^2$, $\lvert\vec v\rvert^2$ und $\vec u \circ \vec v$ und daraus $A$.

$\lvert\vec u\rvert^2 = 25$, $\lvert\vec v\rvert^2 = 20$, $\vec u \circ \vec v = 16$. Damit $A = \tfrac12\sqrt{500 - 256} = \tfrac12\sqrt{244} = \sqrt{61} \approx 7{,}81$ FE.

Üben★☆☆

Die Ebene $E: x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 8$ ist gegeben. Berechnen Sie die drei Spurpunkte von $E$ mit den Koordinatenachsen.

Die Ebene $E: x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 8$ ist gegeben.

Berechnen Sie die drei Spurpunkte von $E$ mit den Koordinatenachsen.

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Üben★★☆

Gegeben ist die Ebene $E: 3x_1 + 2x_2 + 6x_3 = 12$. a) Bestimmen Sie die Spurpunkte und zeichnen Sie das Spurdreieck im Schrägbild. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt…

Gegeben ist die Ebene $E: 3x_1 + 2x_2 + 6x_3 = 12$.

a) Bestimmen Sie die Spurpunkte und zeichnen Sie das Spurdreieck im Schrägbild.

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Spurdreiecks.

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Spurgeraden und besondere Lagen

Fehlt in der Koordinatengleichung eine Variable, gibt es weniger als drei Spurpunkte. Dann hilft die Spurgerade: der Schnitt der Ebene mit einer Koordinatenebene. Man erhält sie, indem man eine Koordinate gleich $0$ setzt.

Für $E: x_2 + x_3 = 3$ gilt zum Beispiel:

$x_3 = 0$ ($x_1x_2$-Ebene): $x_2 = 3$, also eine Gerade durch $(0|3|0)$ parallel zur $x_1$-Achse.
$x_2 = 0$ ($x_1x_3$-Ebene): $x_3 = 3$, eine Gerade durch $(0|0|3)$ parallel zur $x_1$-Achse.
$x_1 = 0$ ($x_2x_3$-Ebene): $x_2 + x_3 = 3$, die Gerade durch $(0|3|0)$ und $(0|0|3)$.

Daraus ergibt sich eine Faustregel für besondere Lagen:

Mit den Spurgeraden können Sie auch die Schnittgerade zweier Ebenen in die Skizze einzeichnen. Es genügt, zwei Punkte der Schnittgeraden zu kennen, und die Gleichung erhalten Sie durch Einsetzen.

Üben★★☆

Die Ebene $E: x_1 + x_3 = 4$ ist gegeben. a) Bestimmen Sie die Spurpunkte beziehungsweise Schnittgeraden von $E$ mit den Koordinatenebenen. b) Beschreiben Sie die…

Die Ebene $E: x_1 + x_3 = 4$ ist gegeben.

a) Bestimmen Sie die Spurpunkte beziehungsweise Schnittgeraden von $E$ mit den Koordinatenebenen.

b) Beschreiben Sie die besondere Lage von $E$ im Koordinatensystem und skizzieren Sie $E$ im Schrägbild.

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Üben★★★

Gegeben sind die Ebene $E: 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 6$ und die Ebene $F: x_3 = 2$. a) Skizzieren Sie beide Ebenen mithilfe ihrer Spurgeraden in einem gemeinsamen…

Gegeben sind die Ebene $E: 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 6$ und die Ebene $F: x_3 = 2$.

a) Skizzieren Sie beide Ebenen mithilfe ihrer Spurgeraden in einem gemeinsamen Koordinatensystem.

b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden und tragen Sie diese in die Skizze ein.

Lösen

Skizzen als Denkwerkzeug: Dächer, Zelte, Scharen

In Sachaufgaben (Dächer, Zelte, Rampen) hilft die Skizze, Ebenen aus Punkten zu bestimmen, Winkel zu erkennen und Symmetrien zu nutzen.

Als Modell: Ein Gartenhaus hat einen quaderförmigen Unterbau und ein Satteldach (Einheit: m). Der Unterbau hat die Eckpunkte $A(0|0|0)$, $B(6|0|0)$, $C(6|4|0)$, $D(0|4|0)$ und die Höhe 3. Der First liegt zwischen $E(3|0|5)$ und $F(3|4|5)$.

Dachebene bestimmen

Bestimmen Sie die Gleichung der Dachfläche durch $B'(6|0|3)$, $C'(6|4|3)$, $E(3|0|5)$ und $F(3|4|5)$.

Aus der Skizze: Die Dachfläche ist parallel zur $x_2$-Achse, denn $B'$ und $C'$ unterscheiden sich nur in $x_2$. In der Gleichung fehlt also $x_2$: $ax_1 + cx_3 = d$.

Einsetzen von $B'$: $6a + 3c = d$. Einsetzen von $E$: $3a + 5c = d$. Subtraktion ergibt $3a - 2c = 0$. Mit $a = 2$ folgt $c = 3$ und $d = 12 + 9 = 21$.

$E_1: 2x_1 + 3x_3 = 21$. Probe mit $E(3|0|5)$: $6 + 15 = 21$ ✓.

Die zweite Dachfläche geht durch $A'(0|0|3)$, $D'(0|4|3)$, $E$ und $F$. Welche Gleichung hat sie, wenn Sie die Symmetrie der Skizze nutzen?

Das Haus ist symmetrisch zur Ebene $x_1 = 3$. Spiegelung vertauscht $x_1$ mit $6 - x_1$: $2(6 - x_1) + 3x_3 = 21$, also $-2x_1 + 3x_3 = 9$. Probe mit $A'(0|0|3)$: $9 = 9$ ✓.

Die Skizze verrät auch, wie man den Neigungswinkel einer Fläche gegen die Grundfläche bestimmt: Er ist der Schnittwinkel der Ebenen. Dafür nimmt man die Normalenvektoren $\vec n_1$ und $\vec n_2$ und rechnet

$$\cos\varphi = \frac{\lvert\vec n_1 \circ \vec n_2\rvert}{\lvert\vec n_1\rvert \cdot \lvert\vec n_2\rvert}.$$

Für die Grundfläche ($x_3 = 0$) ist $\vec n_2 = (0|0|1)$.

Zurück zum Anfang: Der Zimmerer braucht seine Skizze, weil sie ihm Eckpunkte, Ebenen, Schnittgeraden und Symmetrien liefert. Genau das haben Sie in diesem Abschnitt gesehen.

Üben★★★

Ein Zelt hat die Form einer Pyramide mit Grundfläche $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$, $C(4|4|0)$, $D(0|4|0)$ und Spitze $S(2|2|3)$ (Einheit: m). Die Seitenfläche $ABS$ liegt in…

Ein Zelt hat die Form einer Pyramide mit Grundfläche $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$, $C(4|4|0)$, $D(0|4|0)$ und Spitze $S(2|2|3)$ (Einheit: m). Die Seitenfläche $ABS$ liegt in der Ebene $E$.

a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von $E$ und skizzieren Sie das Zelt.

b) Berechnen Sie den Winkel zwischen der Fläche $ABS$ und der Grundfläche.

c) Begründen Sie anhand der Skizze, dass die Seitenflächen $ABS$ und $CDS$ symmetrisch zueinander liegen.

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Üben★★★

Gegeben ist die Ebenenschar $E_a: a x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 8a$ mit $a > 0$. a) Bestimmen Sie die Spurpunkte von $E_a$ in Abhängigkeit von $a$. b) Skizzieren Sie das…

Gegeben ist die Ebenenschar $E_a: a x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 8a$ mit $a > 0$.

a) Bestimmen Sie die Spurpunkte von $E_a$ in Abhängigkeit von $a$.

b) Skizzieren Sie das Spurdreieck für $a = 1$ und $a = 2$ in einem Koordinatensystem.

c) Bestimmen Sie $a$ so, dass die Spurpunkte auf der $x_1$- und $x_2$-Achse gleich weit vom Ursprung entfernt sind, und zeigen Sie, dass das Spurdreieck dann gleichschenklig ist.

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Los geht's! 9 Aufgaben in diesem Abschnitt

★☆☆ Zeichnen Sie ein dreidimensionales Koordinatensystem im Schrägbild und tragen Sie die…★☆☆ Skizzieren Sie im Schrägbild den Quader mit den Eckpunkten $O(0|0|0)$, $A(4|0|0)$,…★☆☆ Die Ebene $E: x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 8$ ist gegeben. Berechnen Sie die drei Spurpunkte von…

Auf einen Blick

Schrägbild: $x_2$-Achse nach rechts, $x_3$-Achse nach oben, $x_1$-Achse schräg nach links unten auf die Hälfte verkürzt. Punkte über Hilfslinien parallel zu den Achsen eintragen, verdeckte Kanten gestrichelt.
Lage von Punkten: Eine Koordinate $0$ bedeutet Koordinatenebene, zwei Koordinaten $0$ bedeuten Koordinatenachse. Ein Mittelpunkt entsteht durch Mitteln jeder Koordinate.
Spurpunkte von $E: ax_1+bx_2+cx_3=d$: $S_1\left(\tfrac da|0|0\right)$, $S_2\left(0|\tfrac db|0\right)$, $S_3\left(0|0|\tfrac dc\right)$. Sie bilden das Spurdreieck.
Spurgerade: eine Koordinate gleich $0$ setzen. Fehlt eine Variable, ist $E$ parallel zur entsprechenden Achse. Fehlen zwei, ist $E$ parallel zu einer Koordinatenebene.
Schnittgerade zweier Ebenen: einsetzen, einen Parameter wählen, Probe machen.
Skizze als Werkzeug: Sie liefert Ebenengleichungen, Symmetrien und Neigungswinkel (über die Normalenvektoren).

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