Eigenschaften des bestimmten Integrals

Für zwei auf dem Intervall $[1, 5]$ stetige Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ sind folgende Werte ihrer bestimmten Integrale bekannt:

Berechnen Sie mithilfe der Linearität des Integrals den Wert von:

Markus löst Wiederholungsaufgaben für das Abitur und stößt auf folgende Aufgabe: „Es sei $f(x)$ eine auf $[1;4]$ stetige Funktion mit $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8$. Berechnen Sie den Wert von $\int_{1}^{4} [2 \cdot f(x) + 3] \, dx$.“\nIn sein Heft schreibt er folgende Lösung:\n$$\int_{1}^{4} [2 \cdot f(x) + 3] \, dx = 2 \cdot \int_{1}^{4} f(x) \, dx + 3 = 2 \cdot 8 + 3 = 19$$\na) Identifizieren Sie mathematisch präzise den Fehler, den Markus gemacht hat. Erklären Sie, warum seine Behandlung des konstanten Terms $+3$ angesichts der Definition des bestimmten Integrals als Summe der Flächeninhalte infinitesimal schmaler Rechtecke falsch ist.\nb) Korrigieren Sie die Rechnung, indem Sie die Linearitätseigenschaften des bestimmten Integrals sorgfältig anwenden.

Ein von einem Sensor erfasstes elektrisches Signal verhält sich gemäß zwei Funktionen $f(x)$ und $g(x)$. Nach mehreren Labormessungen wurden für die bestimmten Integrale im Intervall $[1;4]$ folgende Werte ermittelt:

$\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ und $\int_{1}^{4} g(x) \, dx = -3$

Berechnen Sie mithilfe der Linearität des bestimmten Integrals den Wert des Integrals, das sich aus der Kombination beider Signale in diesem Intervall ergibt:

Ein Logistikunternehmen überwacht die Geschwindigkeit eines seiner Fahrzeuge. Der Graph der Funktion $f(x)$ stellt die Verbrauchsrate des Kraftstoffs dar. Es ist bekannt:

Berechnen Sie mithilfe der Intervalladditivität den Wert des Integrals $\int_0^7 f(x) \, dx$ und interpretieren Sie seine Bedeutung, wenn die Abszissenachse die Zeit in Stunden darstellt.

Für eine stetige Funktion $h(x)$ sind folgende Daten bekannt:

Berechnen Sie den Wert des Integrals $\int_3^6 h(x) \, dx$ mithilfe der Intervalladditivität.

Eine Überwachungsdrohne fliegt auf einer geradlinigen Bahn, deren Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit durch eine stetige Funktion $v(t)$ gegeben ist. Datenanalysten haben für die zurückgelegten Strecken in verschiedenen Abschnitten Folgendes ermittelt:

1. Vom Start bis zur Sekunde 3: $\int_{0}^{3} v(t) \, dt = 45$ Meter.

2. Von Sekunde 3 bis Sekunde 8: $\int_{3}^{8} v(t) \, dt = 120$ Meter.

3. Von Sekunde 5 bis Sekunde 8: $\int_{5}^{8} v(t) \, dt = 70$ Meter.

Berechnen Sie unter Begründung der Intervalladditivität die Verschiebung der Drohne zwischen den Sekunden 0 und 5, also: $\int_{0}^{5} v(t) \, dt$.

Das Integral einer Funktion $f(x)$ über ein Intervall mit vertauschten Grenzen ist $\int_8^3 f(x) \, dx = 14$. Bestimmen Sie den Wert des Integrals in der üblichen Richtung:

Begründen Sie, welche Eigenschaft des bestimmten Integrals Sie verwendet haben.

Bestimmen Sie, ohne die Stammfunktion zu berechnen oder die Funktion auszuwerten, den Wert des folgenden Integrals:

Nennen Sie die Eigenschaft, auf die Sie Ihre Antwort stützen.

Für die auf dem Intervall $[-2;5]$ definierte stetige Funktion $f(x)$ ist bekannt, dass die Flächen zwischen der Kurve und der $OX$-Achse wie folgt sind:

• Im Intervall $[-2;1]$ ist die Funktion negativ und der Flächeninhalt beträgt $4$ $u^2$.

• Im Intervall $[1;5]$ ist die Funktion positiv und der Flächeninhalt beträgt $10$ $u^2$.

Berechnen Sie mit Begründung die Werte der folgenden bestimmten Integrale:

1. $\int_{-2}^{5} f(x) \, dx$

2. $\int_{5}^{1} f(x) \, dx$

3. $\int_{-2}^{5} |f(x)| \, dx$

Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals der Funktion $f(x) = |x^2 - 4|$ im Intervall $[0;3]$. Zerlegen Sie dazu das Integral mithilfe der Additivität je nach Vorzeichen des Integranden in mehrere Abschnitte.

Begründen Sie, ohne die Stammfunktion zu berechnen, anhand der Symmetrieeigenschaften von Funktionen, warum der Wert des folgenden bestimmten Integrals genau null ist:

Eine Funktion $f(x)$ ist gerade, und der Flächeninhalt unter ihrer Kurve zwischen der y-Achse ($x=0$) und der Geraden $x=3$ beträgt $4,5$ Flächeneinheiten. Das heißt:

Berechnen Sie den Wert von $\int_{-3}^3 f(x) \, dx$ und begründen Sie das Ergebnis mit der Symmetrie der Funktion.

Betrachten Sie das folgende bestimmte Integral über ein symmetrisches Intervall:\n$$I = \int_{-3}^{3} (4x^3 - 2x + 5) \, dx$$\na) Schätzen Sie ab: Analysieren Sie, bevor Sie Stammfunktionen berechnen, die drei Summanden des Integranden und ihr Symmetrieverhalten bezüglich des Koordinatenursprungs. Sagen Sie begründet den exakten Zahlenwert von $I$ voraus und erläutern Sie, welche Terme sich aufgrund der Symmetrie aufheben und welcher das Endergebnis bestimmt.\nb) Überprüfen Sie: Wenden Sie die Linearität und die Symmetrieeigenschaften (gerade und ungerade Funktionen) des bestimmten Integrals an, um $I$ in Summen einfacherer Integrale. Begründen Sie formal den Wert jedes dieser Integrale, ohne Stammfunktionen der ungeraden Potenzen zu berechnen, und prüfen Sie, ob Ihre anfängliche Einschätzung richtig war.

Betrachten Sie eine Funktion $f(x)$, die auf ganz ℝ gerade ist, und eine Funktion $g(x)$, die auf ganz ℝ ungerade ist. Folgende Daten sind bekannt:

$\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5$ und $\int_{-3}^{0} g(x) \, dx = 4$

Bestimmen Sie mithilfe der Symmetrieeigenschaften des bestimmten Integrals den Wert von:

Bei einem optischen Experiment zur Beugung des Lichts erhält man ein Integral der Form $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \cdot \sin(x)}{1 + \cos^2(x)} \, dx$.

Zeigen Sie zur Lösung mithilfe der Spiegelungseigenschaft $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$, dass gilt:

Bestimmen Sie aus dieser Gleichung den exakten Wert des Integrals $I$.

Ein Werkstück hat ein oberes Profil, das durch die Funktion $f(x)$ beschrieben wird, die periodisch mit der Periode $T=2$ ist. Im Intervall $[0;2]$ ist die Funktion $f(x) = x(2-x)$ bekannt.

Berechnen Sie den Gesamtflächeninhalt unter der Kurve im Intervall $[0;20]$, indem Sie die Eigenschaften des bestimmten Integrals für periodische Funktionen und die Intervalladditivität nutzen.

Sei $f(x)$ eine auf dem Intervall $[2;6]$ stetige Funktion, deren Minimum $m = 1$ und deren Maximum $M = 5$ ist.

1. a) Geben Sie mit Begründung an, zwischen welchen Werten das Integral $\int_{2}^{6} f(x) \, dx$ liegt.

1. b) Wenn zusätzlich $\int_{2}^{6} f(x) \, dx = 12$ bekannt ist, bestimmen Sie den Mittelwert der Funktion in diesem Intervall und erklären Sie seine geometrische Bedeutung.

Begründen Sie, ohne Stammfunktionen zu berechnen, welches der folgenden Integrale größer ist, indem Sie die Monotonie des Integrals bezüglich des Integranden ($f(x) \leq g(x) \implies \int f \leq \int g$) nutzen:

Würde sich Ihre Antwort ändern, wenn das Integrationsintervall $[1;2]$ wäre? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie das Verhalten der Funktionen in beiden Intervallen analysieren.

Gegeben seien zwei im Intervall $[0;1]$ stetige Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x) = \frac{1}{1+x^4}$ und $g(x) = 1 - x^4$. Beweisen Sie mithilfe der Monotonieeigenschaft des bestimmten Integrals die folgende Ungleichung, ohne die Integrale zu berechnen:

Hilfe: Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionen im Inneren des Intervalls $(0;1)$ und nutzen Sie, dass für $0 < u < 1$ gilt: $1-u < \frac{1}{1+u} < 1$.