Aufgaben: Ganzrationale Funktionen aus Eigenschaften bestimmen

Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades $f$ verläuft durch die Punkte $A(0|3)$, $B(1|6)$ und $C(-1|4)$.

1. a) Stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem für die Koeffizienten von $f(x) = ax^2 + bx + c$ auf.

1. b) Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, verläuft durch $P(1|2)$ und hat dort die Steigung $m = 0$.

1. a) Begründen Sie, warum $b = 0$ und $d = 0$ gilt.

1. b) Bestimmen Sie $a$ und $c$.

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Ihr Graph schneidet die y-Achse im Punkt $S(0|-2)$ und hat den Tiefpunkt $T(1|-3)$.

Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f$ hat im Punkt $W(1|2)$ einen Wendepunkt. Die Wendetangente in $W$ hat die Steigung $-3$. Außerdem verläuft der Graph durch den Ursprung.

1. a) Formulieren Sie vier Bedingungen für $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.

1. b) Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$.

Der Querschnitt eines Hügels bei einer Wanderstrecke im Harz wird für $0 \le x \le 4$ (x und y in 100 m) durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f$ modelliert. Der Hügel beginnt bei $A(0|0)$ mit waagerechter Tangente. Außerdem ist bekannt: Der Graph hat bei $x = 3$ einen Hochpunkt und verläuft durch $B(2|2)$.

1. a) Stellen Sie das Gleichungssystem für $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ auf.

1. b) Bestimmen Sie den Funktionsterm und die Höhe des Gipfels.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades $f$ ist symmetrisch zur y-Achse, hat im Punkt $W(1|0)$ einen Wendepunkt und verläuft durch $P(0|1)$.

Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$ und prüfen Sie, ob $W$ tatsächlich ein Wendepunkt ist.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f$ berührt die x-Achse im Ursprung und hat im Punkt $P(2|4)$ die Tangente $g(x) = -x + 6$.

1. a) Stellen Sie die Bedingungen auf und bestimmen Sie $f$.

1. b) Untersuchen Sie, ob $P$ ein Extrem- oder Wendepunkt oder keines von beiden ist. Begründen Sie.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x) = x^3 - 3ax^2 + 4$ mit $a > 0$.

1. a) Bestimmen Sie $a$ so, dass der Graph von $f_a$ bei $x = 2$ einen Tiefpunkt hat.

1. b) Zeigen Sie, dass für jedes $a > 0$ der Wendepunkt von $f_a$ auf dem Graphen einer ganzrationalen Funktion $h$ liegt, und bestimmen Sie $h$.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Er hat bei $x = 2$ eine Nullstelle, und im Punkt $P(2|0)$ ist die Tangente parallel zur Geraden $y = 8x$. Der Graph schneidet die y-Achse bei $y = 4$.

1. a) Zeigen Sie, dass die Bedingungen $f(0)=4$, $f(2)=0$, $f'(2)=8$ für $f(x)=ax^4+cx^2+e$ ein eindeutig lösbares Gleichungssystem ergeben, und lösen Sie es.

1. b) Bestimmen Sie die Extremstellen von $f$ und begründen Sie deren Art.