Nachweisaufgaben ohne Hilfsmittel · Mathematik (Grundkurs) Q1 Grundkurs

Was verlangen die Operatoren?

Bei „nachweisen“ und „zeigen“ ist das Ergebnis vorgegeben. Sie sollen nicht herausfinden, was herauskommt, sondern lückenlos belegen, dass es stimmt. Wer nur das Ergebnis hinschreibt, bekommt keine Punkte.

Operator	Was Sie tun müssen
bestätigen, zeigen, nachweisen	Eine gegebene Aussage durch Rechnung oder Argumentation belegen. Der Rechenweg muss vollständig sichtbar sein.
berechnen, bestimmen	Ein Ergebnis aus einem Ansatz ermitteln, mit nachvollziehbarem Rechenweg.
begründen	Eine Aussage mit einem Satz, einer Definition oder einer Rechnung rechtfertigen. Ein Ja oder Nein allein reicht nicht.

Ohne Hilfsmittel heißt: Zahlen bleiben „schön“. Wurzeln, Brüche und Potenzen rechnen Sie exakt, Sie runden nicht. Meist sind die Zahlen so gewählt, dass die Rechnung aufgeht. Kommt etwas Hässliches heraus, suchen Sie einen Rechenfehler.

Analysis ohne Hilfsmittel

Typische Nachweise in Teil A: Stammfunktion überprüfen, Integral berechnen, Nullstellen bestätigen, Flächeninhalt bestimmen.

Stammfunktionen bestimmen

Um eine Stammfunktion selbst zu bestimmen, erhöhen Sie bei jedem Summanden den Exponenten um $1$ und teilen durch den neuen Exponenten: $F(x)=\tfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C$. Die Integrationskonstante $C$ legen Sie mit einer Bedingung fest.

Stammfunktion nachweisen

Um zu zeigen, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, leiten Sie $F$ ab. Es muss $F'(x)=f(x)$ herauskommen. Das ist zugleich die Probe für jede selbst bestimmte Stammfunktion.

Nullstellen, Integral und Flächeninhalt

Das Integral liefert den orientierten Flächeninhalt. Liegt der Graph unterhalb der x-Achse, zählt die Fläche negativ. Für den Flächeninhalt muss man deshalb an den Nullstellen in Teilintervalle zerlegen und mit Beträgen rechnen (Intervalladditivität).

Hier ist $f(x)=x^3-4x$ punktsymmetrisch zum Ursprung. Deshalb sind die Flächenstücke $A_1$ und $A_2$ gleich groß, und das Integral über $[-2;2]$ ist $0$.

Üben★☆☆

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 + 2x^2$. a) Bestätigen Sie, dass $F(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3$ eine Stammfunktion von $f$ ist. b) Berechnen Sie…

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 + 2x^2$.

a) Bestätigen Sie, dass $F(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

b) Berechnen Sie $\int_0^3 f(x)\,dx$ ohne Hilfsmittel.

Lösen

Üben★★☆

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 3x^2 - 2x$ und die Stammfunktion $F$ mit $F(1) = 5$. a) Bestimmen Sie $F$. b) Bestimmen Sie $a > 0$ so, dass $\int_0^a f(x)\,dx = 4$…

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 3x^2 - 2x$ und die Stammfunktion $F$ mit $F(1) = 5$.

a) Bestimmen Sie $F$.

b) Bestimmen Sie $a > 0$ so, dass $\int_0^a f(x)\,dx = 4$ gilt. Zeigen Sie dazu, dass $a$ die Gleichung $a^3 - a^2 = 4$ erfüllt, und bestätigen Sie, dass $a = 2$ eine Lösung ist.

Lösen

Üben★★★

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto x^3 - 3x^2 + 2x$. a) Bestätigen Sie ohne Hilfsmittel, dass $0$, $1$ und $2$ die Nullstellen von $f$ sind. b) Zeigen Sie, dass…

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto x^3 - 3x^2 + 2x$.

a) Bestätigen Sie ohne Hilfsmittel, dass $0$, $1$ und $2$ die Nullstellen von $f$ sind.

b) Zeigen Sie, dass $\int_0^2 f(x)\,dx = 0$ gilt, und begründen Sie, warum dies trotz positiver Flächenstücke möglich ist.

c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt.

Lösen

Vektoren und Ebenen ohne Hilfsmittel

Hier brauchen Sie vier Werkzeuge, alle gut von Hand zu rechnen.

Warum funktioniert die Punktprobe? Die Koordinatengleichung beschreibt genau die Punkte der Ebene. Eine wahre Aussage nach dem Einsetzen heißt also „gehört dazu“, eine falsche „gehört nicht dazu“.

Für einen Dreiecksnachweis berechnen Sie die Seitenlängen über $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert$ mit $\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$. Gleichseitig heißt: alle drei Längen sind gleich.

Punktprobe und Ebene aus den Spurpunkten

Gegeben sind $E\colon x_1+2x_2-2x_3=4$ sowie $P(2\mid3\mid2)$ und $Q(1\mid1\mid1)$.

P einsetzen: $2+2\cdot3-2\cdot2=2+6-4=4$. Das ist wahr, also liegt $P$ in $E$.

Q einsetzen: $1+2-2=1\neq4$. Das ist falsch, also liegt $Q$ nicht in $E$.

Ebene durch Spurpunkte: Die Ebene $E'$ schneide die Achsen in $A(3\mid0\mid0)$, $B(0\mid6\mid0)$ und $C(0\mid0\mid2)$. Zu zeigen: $E'\colon 2x_1+x_2+3x_3=6$. Einsetzen: $A$: $6$, $B$: $6$, $C$: $6$. Alle drei Punkte erfüllen die Gleichung. Da drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, genau eine Ebene festlegen, ist $E'$ die gesuchte Ebene.

Normalenvektor: Der Vektor $\vec n=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$ aus den Koeffizienten steht senkrecht auf $E'$.

Zeigen Sie, dass $g\colon\vec x=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$ parallel zu $E'$ ist, aber nicht in $E'$ liegt.

Parallel: $\vec n\circ\vec u=2+1-3=0$, die Richtung liegt in der Ebene. Nicht enthalten: Punktprobe mit dem Aufpunkt $(1\mid1\mid2)$: $2+1+6=9\neq6$. Also ist $g$ parallel zu $E'$, liegt aber nicht in $E'$.

Üben★☆☆

Gegeben sind die Punkte $A(1|2|3)$, $B(3|2|1)$ und $C(1|4|1)$. Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ gleichseitig ist.

Gegeben sind die Punkte $A(1|2|3)$, $B(3|2|1)$ und $C(1|4|1)$.

Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ gleichseitig ist.

Lösen

Üben★☆☆

Gegeben ist die Ebene $E: 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 6$. a) Weisen Sie nach, dass der Punkt $P(2|1|1)$ nicht in $E$ liegt. b) Zeigen Sie, dass $Q(1|-2|1)$ in $E$ liegt.

Gegeben ist die Ebene $E: 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 6$.

a) Weisen Sie nach, dass der Punkt $P(2|1|1)$ nicht in $E$ liegt.

b) Zeigen Sie, dass $Q(1|-2|1)$ in $E$ liegt.

Lösen

Üben★★☆

Gegeben sind die Vektoren $\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $\vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$. a) Zeigen Sie, dass $\vec a$…

Gegeben sind die Vektoren $\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $\vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

a) Zeigen Sie, dass $\vec a$ und $\vec b$ orthogonal zueinander sind.

b) Bestimmen Sie $t$ so, dass $\vec c = \begin{pmatrix} 2 \\ t \\ -2 \end{pmatrix}$ orthogonal zu $\vec a$ ist.

c) Berechnen Sie den Betrag von $\vec a$.

Lösen

Üben★★★

Gegeben sind die Punkte $A(2|0|0)$, $B(0|4|0)$, $C(0|0|4)$ und die Ebene $E$ durch $A$, $B$, $C$. a) Zeigen Sie, dass $E: 2x_1 + x_2 + x_3 = 4$ gilt. b) Begründen Sie,…

Gegeben sind die Punkte $A(2|0|0)$, $B(0|4|0)$, $C(0|0|4)$ und die Ebene $E$ durch $A$, $B$, $C$.

a) Zeigen Sie, dass $E: 2x_1 + x_2 + x_3 = 4$ gilt.

b) Begründen Sie, dass der Vektor $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ senkrecht auf $E$ steht.

c) Weisen Sie nach, dass die Gerade $g: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ parallel zu $E$ ist, aber nicht in $E$ liegt.

Lösen

Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren

In Teil A lösen Sie LGS mit höchstens drei Unbekannten von Hand. Beim Gauß-Verfahren bringen Sie das System durch Äquivalenzumformungen auf Zeilenstufenform: Eine Gleichung mit einer Unbekannten, darunter eine mit zwei, darüber alle drei. Dann lösen Sie von unten nach oben auf.

Erlaubt sind: Zeilen vertauschen, eine Zeile mit einer Zahl $\neq0$ multiplizieren und ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren. Das ändert die Lösungsmenge nicht.

Parameter und Lösbarkeit

Enthält das System einen Parameter $a$, eliminieren Sie ganz normal und achten auf die letzte Zeile. Sie hat die Form $c\cdot x_3=d$. Dabei unterscheiden Sie:

Ist $c\neq0$, so ist $x_3=\tfrac dc$ eindeutig, und das System ist eindeutig lösbar.
Ist $c=0$ und $d=0$ (Zeile $0=0$), gibt es unendlich viele Lösungen. Eine Unbekannte wird zum Parameter $t$.
Ist $c=0$ und $d\neq0$ (Zeile $0=d$), ist $L=\{\ \}$.

Üben★★☆

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem $x_1 + x_2 + x_3 = 6$ $2x_1 - x_2 + x_3 = 3$ $x_1 + 2x_2 - x_3 = 2$ a) Lösen Sie es ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. b)…

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem

$x_1 + x_2 + x_3 = 6$

$2x_1 - x_2 + x_3 = 3$

$x_1 + 2x_2 - x_3 = 2$

a) Lösen Sie es ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren.

b) Begründen Sie, dass die Lösung eindeutig ist.

Lösen

Üben★★★

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit Parameter $a \in \mathbb{R}$: $x_1 + x_2 + x_3 = 3$ $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6$ $2x_1 + 3x_2 + a x_3 = 9$ a) Bestimmen Sie ohne…

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit Parameter $a \in \mathbb{R}$:

$x_1 + x_2 + x_3 = 3$

$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6$

$2x_1 + 3x_2 + a x_3 = 9$

a) Bestimmen Sie ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren, für welche $a$ das System eindeutig lösbar ist.

b) Begründen Sie, dass für $a = 4$ unendlich viele Lösungen existieren, und geben Sie diese an.

Lösen

Los geht's! 9 Aufgaben in diesem Abschnitt

★☆☆ Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 + 2x^2$. a) Bestätigen Sie, dass…★☆☆ Gegeben sind die Punkte $A(1|2|3)$, $B(3|2|1)$ und $C(1|4|1)$. Zeigen Sie, dass das…★☆☆ Gegeben ist die Ebene $E: 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 6$. a) Weisen Sie nach, dass der Punkt…

Auf einen Blick

Nachweisen und zeigen: Das Ergebnis ist vorgegeben. Schreiben Sie den Rechenweg vollständig auf und schließen Sie mit einem Schlusssatz.
Stammfunktion: Ableiten und $F'(x)=f(x)$ prüfen. Integral: $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$. Für den Flächeninhalt an den Nullstellen teilen.
Vektoren: Orthogonal heißt $\vec a\circ\vec b=0$. Betrag: $\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$. Punktprobe: Koordinaten einsetzen.
Gerade und Ebene: $\vec n\circ\vec u=0$ bedeutet parallel oder enthalten. Die Punktprobe mit dem Aufpunkt entscheidet.
Gauß-Verfahren: Zeilenstufenform, dann von unten auflösen. Letzte Zeile: eindeutig, $0=0$ (unendlich viele Lösungen) oder $0=d\neq0$ (keine Lösung). Am Ende die Probe.

Zurück zum Anfang: Um zu zeigen, dass $ABC$ gleichseitig ist, bilden Sie $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{BC}$, berechnen die drei Beträge exakt und vergleichen sie. Der Schlusssatz „Damit ist gezeigt …“ gehört dazu.