Aufgaben: Skizzieren im Koordinatensystem

Zeichnen Sie ein dreidimensionales Koordinatensystem im Schrägbild und tragen Sie die Punkte $A(2|0|0)$, $B(2|3|0)$ und $C(2|3|4)$ ein. Beschreiben Sie, in welcher Koordinatenebene beziehungsweise Lage jeder der drei Punkte liegt.

Skizzieren Sie im Schrägbild den Quader mit den Eckpunkten $O(0|0|0)$, $A(4|0|0)$, $B(4|3|0)$, $C(0|3|0)$ und der Höhe 2 in Richtung der $x_3$-Achse. Geben Sie die Koordinaten der oberen vier Eckpunkte an.

Die Ebene $E: x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 8$ ist gegeben.

Berechnen Sie die drei Spurpunkte von $E$ mit den Koordinatenachsen.

Gegeben ist die Ebene $E: 3x_1 + 2x_2 + 6x_3 = 12$.

1. a) Bestimmen Sie die Spurpunkte und zeichnen Sie das Spurdreieck im Schrägbild.

1. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Spurdreiecks.

Eine Pyramide hat die quadratische Grundfläche $A(0|0|0)$, $B(6|0|0)$, $C(6|6|0)$, $D(0|6|0)$ und die Spitze $S(3|3|5)$ (Einheit: m), z. B. als Modell eines Dachs in Kassel.

1. a) Skizzieren Sie die Pyramide im Koordinatensystem.

1. b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Kante $\overline{BS}$ und tragen Sie ihn ein.

Die Ebene $E: x_1 + x_3 = 4$ ist gegeben.

1. a) Bestimmen Sie die Spurpunkte beziehungsweise Schnittgeraden von $E$ mit den Koordinatenebenen.

1. b) Beschreiben Sie die besondere Lage von $E$ im Koordinatensystem und skizzieren Sie $E$ im Schrägbild.

Gegeben sind die Ebene $E: 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 6$ und die Ebene $F: x_3 = 2$.

1. a) Skizzieren Sie beide Ebenen mithilfe ihrer Spurgeraden in einem gemeinsamen Koordinatensystem.

1. b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden und tragen Sie diese in die Skizze ein.

Ein Zelt hat die Form einer Pyramide mit Grundfläche $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$, $C(4|4|0)$, $D(0|4|0)$ und Spitze $S(2|2|3)$ (Einheit: m). Die Seitenfläche $ABS$ liegt in der Ebene $E$.

1. a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von $E$ und skizzieren Sie das Zelt.

1. b) Berechnen Sie den Winkel zwischen der Fläche $ABS$ und der Grundfläche.

1. c) Begründen Sie anhand der Skizze, dass die Seitenflächen $ABS$ und $CDS$ symmetrisch zueinander liegen.

Gegeben ist die Ebenenschar $E_a: a x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 8a$ mit $a > 0$.

1. a) Bestimmen Sie die Spurpunkte von $E_a$ in Abhängigkeit von $a$.

1. b) Skizzieren Sie das Spurdreieck für $a = 1$ und $a = 2$ in einem Koordinatensystem.

1. c) Bestimmen Sie $a$ so, dass die Spurpunkte auf der $x_1$- und $x_2$-Achse gleich weit vom Ursprung entfernt sind, und zeigen Sie, dass das Spurdreieck dann gleichschenklig ist.