Aufgaben: Nachweisaufgaben ohne Hilfsmittel

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 + 2x^2$.

1. a) Bestätigen Sie, dass $F(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

1. b) Berechnen Sie $\int_0^3 f(x)\,dx$ ohne Hilfsmittel.

Gegeben sind die Punkte $A(1|2|3)$, $B(3|2|1)$ und $C(1|4|1)$.

Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ gleichseitig ist.

Gegeben ist die Ebene $E: 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 6$.

1. a) Weisen Sie nach, dass der Punkt $P(2|1|1)$ nicht in $E$ liegt.

1. b) Zeigen Sie, dass $Q(1|-2|1)$ in $E$ liegt.

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem

$x_1 + x_2 + x_3 = 6$

$2x_1 - x_2 + x_3 = 3$

$x_1 + 2x_2 - x_3 = 2$

1. a) Lösen Sie es ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren.

1. b) Begründen Sie, dass die Lösung eindeutig ist.

Gegeben sind die Vektoren $\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $\vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

1. a) Zeigen Sie, dass $\vec a$ und $\vec b$ orthogonal zueinander sind.

1. b) Bestimmen Sie $t$ so, dass $\vec c = \begin{pmatrix} 2 \\ t \\ -2 \end{pmatrix}$ orthogonal zu $\vec a$ ist.

1. c) Berechnen Sie den Betrag von $\vec a$.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 3x^2 - 2x$ und die Stammfunktion $F$ mit $F(1) = 5$.

1. a) Bestimmen Sie $F$.

1. b) Bestimmen Sie $a > 0$ so, dass $\int_0^a f(x)\,dx = 4$ gilt. Zeigen Sie dazu, dass $a$ die Gleichung $a^3 - a^2 = 4$ erfüllt, und bestätigen Sie, dass $a = 2$ eine Lösung ist.

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto x^3 - 3x^2 + 2x$.

1. a) Bestätigen Sie ohne Hilfsmittel, dass $0$, $1$ und $2$ die Nullstellen von $f$ sind.

1. b) Zeigen Sie, dass $\int_0^2 f(x)\,dx = 0$ gilt, und begründen Sie, warum dies trotz positiver Flächenstücke möglich ist.

1. c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt.

Gegeben sind die Punkte $A(2|0|0)$, $B(0|4|0)$, $C(0|0|4)$ und die Ebene $E$ durch $A$, $B$, $C$.

1. a) Zeigen Sie, dass $E: 2x_1 + x_2 + x_3 = 4$ gilt.

1. b) Begründen Sie, dass der Vektor $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ senkrecht auf $E$ steht.

1. c) Weisen Sie nach, dass die Gerade $g: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ parallel zu $E$ ist, aber nicht in $E$ liegt.

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit Parameter $a \in \mathbb{R}$:

$x_1 + x_2 + x_3 = 3$

$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6$

$2x_1 + 3x_2 + a x_3 = 9$

1. a) Bestimmen Sie ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren, für welche $a$ das System eindeutig lösbar ist.

1. b) Begründen Sie, dass für $a = 4$ unendlich viele Lösungen existieren, und geben Sie diese an.