Aufgaben: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ein Solarthermie-Paneel hat einen Entwurf, dessen oberer Querschnitt durch die Funktion $f(x) = 3x^2 + 2$ begrenzt wird, wobei $x$ in Metern gemessen wird. Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals im Intervall $[0;2]$ mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Gegeben ist eine im Intervall $[1;8]$ stetige Funktion $f(x)$. Die Werte der folgenden bestimmten Integrale sind bekannt:

• $\int_1^5 f(x) \, dx = 7$

• $\int_5^8 f(x) \, dx = -3$

Berechnen Sie mithilfe der Eigenschaften des bestimmten Integrals den Wert von $\int_1^8 2 \cdot f(x) \, dx$.

Ein Videospielentwickler entwirft die Flugbahn eines Geschosses. Die Geschwindigkeit des Objekts in Abhängigkeit von der Zeit $t$ ist durch den Term $v(t) = \int_1^t (3x^2 - 4x) \, dx$ gegeben.

Wenden Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an, um den Term der Momentanbeschleunigung $a(t)$ zu bestimmen, wobei die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist ($a(t) = v'(t)$).

Berechnen Sie den Flächeninhalt der ebenen Fläche, die vom Graphen der Funktion $f(x) = \sin(x)$, der x-Achse $OX$ und den senkrechten Geraden $x = 0$ und $x = \pi$ begrenzt wird. Skizzieren Sie die Fläche, bevor Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden.

Sie können es auf Papier lösen und ein Foto Ihrer Antwort senden.

Bestimmen Sie den Wert der Ableitung der folgenden Integralfunktion an der Stelle $x = 2$:

$$F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^3 + 1} \, dt$$

Erklären Sie, welchen mathematischen Satz Sie verwenden, um die Aufgabe zu lösen, ohne die Stammfunktion zu berechnen.

Der Stromverbrauch eines Haushalts in der ersten Stunde des Morgens wird durch die Funktion $f(x) = e^x + x$ modelliert, wobei $x$ die Zeit in Stunden ist. Berechnen Sie den insgesamt angesammelten Verbrauch, der durch das bestimmte Integral dargestellt wird:

$$\int_{0}^{1} (e^x + x) \, dx$$

Begründen Sie ohne aufwendige Integrationsrechnung, warum der Wert des folgenden Integrals gleich $0$ ist, und stützen Sie sich dabei auf die Eigenschaften ungerader Funktionen und die Symmetrie des Intervalls:

$$\int_{-2}^{2} (x^5 + 3x^3 - x) \, dx$$

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f(x)=x^5+3x^3-x$ im Intervall $[-2,\,2]$, wobei die Flächen zwischen der Kurve und der $X$-Achse schraffiert sind.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von der Kurve $f(x) = x^2 - 4$ und der $OX$-Achse im Intervall $[0; 2]$ eingeschlossen wird. Denken Sie daran: Ist die Funktion im Intervall negativ, entspricht der Flächeninhalt dem Betrag des bestimmten Integrals.

In einer Abiturklausur soll die Ableitung der Funktion $F(x) = \int_2^{x^3} \sqrt{t^2 + 5}\,dt$ an der Stelle $x = 1$ berechnet werden. Irene legt folgende Lösung vor:

„Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Ableitung eines Integrals die Funktion im Integranden, ausgewertet an der oberen Grenze, also $F'(x) = \sqrt{(x^3)^2 + 5} = \sqrt{x^6 + 5}$. Einsetzen in $x = 1$ ergibt $F'(1) = \sqrt{1^6 + 5} = \sqrt{6}$.“

1. a) Benennen Sie den begrifflichen Fehler, den Irene macht, und erklären Sie, welche Regel bzw. welchen Satz sie nicht angewendet hat.
2. b) Formulieren Sie die Version des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung, die anzuwenden ist, wenn die obere Integrationsgrenze eine differenzierbare Funktion $g(x)$ ist.
3. c) Korrigieren Sie die Aufgabe, indem Sie den exakten, vereinfachten Wert von $F'(1)$ berechnen.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 4 - x^2$, definiert im Intervall $[0; 2]$. Der Wert des bestimmten Integrals $I = \int_0^2 (4 - x^2)\,dx$ soll berechnet werden.

1. a) Schätzen Sie den Wert des Integrals ab, bevor Sie eine Stammfunktion bestimmen: Begründen Sie geometrisch, warum $I$ echt kleiner als der Flächeninhalt des Rechtecks mit den Eckpunkten $(0|0)$, $(2|0)$, $(2|4)$ und $(0|4)$ (Flächeninhalt 8) und echt größer als der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten $(0|0)$, $(2|0)$ und $(0|4)$ (Flächeninhalt 4) sein muss. Formulieren Sie daraus eine sinnvolle numerische Schätzung für den Wert von $I$.
2. b) Berechnen Sie mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung den exakten Wert des Integrals $I$ und geben Sie die gewählte Stammfunktion an.
3. c) Prüfen Sie, ob der erhaltene exakte Wert mit Ihrer Schätzung übereinstimmt, und erklären Sie, warum in diesem Fall der Wert des Integrals genau dem geometrischen Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse entspricht.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = |x^2 - 2x|$. Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals im Intervall $[0;3]$ mithilfe des Hauptsatzes:

$$\int_0^3 |x^2 - 2x| \, dx$$

Erklären Sie kurz, warum es notwendig ist, das Integrationsintervall zu zerlegen, um diese Aufgabe zu lösen.

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion $F'(x)$ der folgenden Integralfunktion mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung und der Kettenregel:

$$F(x) = \int_{1}^{x^2} \frac{\ln(t)}{t + 1} \, dt$$

Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion $F(x)$ an, für die das Integral wohldefiniert ist.

Bestimmen Sie den Wert des positiven reellen Parameters $a$, wenn bekannt ist, dass der Flächeninhalt, der von der Kurve $f(x) = 3x^2$, der $OX$-Achse und den senkrechten Geraden $x = 0$ und $x = a$ begrenzt wird, genau 27 Flächeneinheiten beträgt. Verwenden Sie dazu den Hauptsatz.

Die Funktion $G(x)$ sei definiert durch:

$$G(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 4)e^{t} \, dt$$

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $G(x)$ an der Stelle $x = 0$.

Hinweis: Denken Sie daran, dass Sie für die y-Koordinate des Berührpunkts $G(0)$ berechnen müssen und für die Steigung den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden müssen.

Die Geschwindigkeit eines Elektrofahrzeug-Prototyps während der ersten 4 Sekunden eines Tests ist durch die Funktion $v(t) = t^2 - 3t + 4$ (in m/s) gegeben.

1. a) Berechnen Sie den insgesamt zurückgelegten Weg des Fahrzeugs zwischen den Zeitpunkten $t = 1$ s und $t = 3$ s mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
2. b) Begründen Sie, ob das Fahrzeug in diesem Intervall zu irgendeinem Zeitpunkt anhält.

Bestimmen Sie den Mittelwert der Funktion $f(x) = \sqrt{x+1}$ im Intervall $[0; 3]$ und ermitteln Sie die Stelle $c \in (0; 3)$, deren Existenz der Mittelwertsatz der Integralrechnung garantiert. Deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

Gegeben ist die Integralfunktion $H(x) = \int_{0}^{x} \frac{t-1}{t^2+4} \, dt$:

1. a) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen $H(x)$ monoton steigend bzw. fallend ist.
2. b) Bestimmen Sie die Koordinaten der relativen Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkte) von $H(x)$ und klassifizieren Sie sie.

Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals der folgenden abschnittsweise definierten Funktion im Intervall $[0; 2]$:

$$f(x) = \begin{cases} e^{2x} & \text{für } 0 \le x \le 1 \\ \frac{e^2}{x} & \text{für } 1 < x \le 2 \end{cases}$$

Prüfen Sie zunächst, ob die Funktion in $x = 1$ stetig ist, um sicherzustellen, dass sie integrierbar ist.

Gegeben ist die Funktion $F(x) = \int_1^x (t^2 - 2t)\cdot e^t\,dt$, definiert für alle $x \in \mathbb{R}$. Gesucht sind ihre Monotonieintervalle sowie die Klassifizierung ihrer relativen Extrema.

Zur Bearbeitung schlagen zwei Schüler unterschiedliche Wege vor:

• Jonas schlägt vor, zunächst durch zweimalige partielle Integration eine explizite Stammfunktion von $(t^2 - 2t)e^t$ zu bestimmen, mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung einen Term für $F(x)$ ohne Integrale zu erhalten und diese Funktion anschließend abzuleiten.

• Sophie schlägt vor, direkt den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anzuwenden, um $F'(x)$ ohne vorherige Stammfunktion zu erhalten.

1. a) Beurteilen Sie beide Wege: Sind beide mathematisch korrekt? Begründen Sie, welcher von ihnen in diesem Zusammenhang deutlich effizienter ist.
2. b) Bestimmen Sie mit dem vorteilhafteren Verfahren die Ableitungsfunktion $F'(x)$ und ermitteln Sie alle ihre kritischen Stellen.
3. c) Untersuchen Sie das Vorzeichen von $F'(x)$, um die Monotonieintervalle von $F$ zu bestimmen, und klassifizieren Sie jede kritische Stelle begründet als Hoch- oder Tiefpunkt.

Der Deutsche Wetterdienst (DWD) erfasst die Netto-Niederschlagsintensität, die während eines 6-stündigen Unwetters einen Stausee speist, durch die Netto-Zuflussfunktion $c(t) = 6t - t^2$ (in Kubikhektometern pro Stunde, $\text{hm}^3/\text{h}$), wobei $t \in [0;6]$ die seit Beginn des Unwetters vergangene Zeit in Stunden ist. Das im Stausee akkumulierte Netto-Volumen wird als $V(t) = \int_0^t c(u)\,du$ modelliert.

1. a) Deuten Sie die physikalische und mathematische Bedeutung von $V'(t)$ mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Zu welchem Zeitpunkt fließt das Wasser am schnellsten in den Stausee?
2. b) Begründen Sie anhand des Vorzeichens von $V'(t)$, in welchem Zeitintervall das zugeflossene Wasservolumen $V(t)$ zunimmt und zu welchem Zeitpunkt es im Intervall $[0;6]$ seinen größten Wert erreicht.
3. c) Berechnen Sie mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung das gesamte Wasservolumen (in $\text{hm}^3$), das das Unwetter dem Stausee nach 6 Stunden zugeführt hat.

Die Funktion $f(t) = \frac{\ln(t)}{t^2}$ sei für $t > 0$ definiert. Eine neue Integralfunktion $G(x)$ wird definiert durch:

$$G(x) = \int_{x}^{x^2} f(t) \, dt$$

1. a) Bestimmen Sie mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung und der Kettenregel den Term der Ableitung $G'(x)$.
2. b) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen $G(x)$ in ihrer Definitionsmenge monoton steigt bzw. fällt.
3. c) Bestimmen Sie den Wert $x > 1$, für den die Funktion $G(x)$ einen lokalen Hochpunkt besitzt.

Berechnen Sie den Wert des folgenden Grenzwerts mithilfe der Regel von L'Hospital und des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^2} \left( e^{t^2} - 1 \right) \, dt}{x^6}$$

Erklären Sie jeden Schritt nachvollziehbar und begründen Sie die Ableitung der Integralfunktion.

Ein Ingenieurteam entwirft die Flugbahn einer Renndrohne. Die vertikale Geschwindigkeit der Drohne im Zeitintervall $[0;4]$ Sekunden ist durch die Funktion $v(t) = \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + z^4} \, dz$ gegeben.

1. a) Begründen Sie, ohne das Integral explizit zu berechnen, warum die Drohne stets steigt oder auf gleicher Höhe bleibt.
2. b) Berechnen Sie die vertikale Beschleunigung der Drohne zum Zeitpunkt $t = 1$ Sekunde.
3. c) Zu welchem Zeitpunkt ist die vertikale Beschleunigung maximal? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie die zweite Ableitung der Position untersuchen.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^2 - 4$. Betrachten Sie die Integralfunktion $H(x) = \int_{0}^{x} |f(t)| \, dt$.

1. a) Stellen Sie $H(x)$ als abschnittsweise definierte Funktion für Werte von $x \in [0, 5]$ dar.
2. b) Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit von $H(x)$ an der Stelle $x = 2$. Ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an dieser Stelle direkt anwendbar?
3. c) Berechnen Sie mit dem Hauptsatz den exakten Wert von $H(3)$.

Sei $f(x)$ eine auf $\mathbb{R}$ stetige Funktion mit $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$. Bestimmen Sie den Wert der Konstanten $k$ so, dass die folgende Gleichung gilt, wobei die Fläche unter der Kurve auf der linken Seite verschoben und gestreckt wurde:

$$\int_{0}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2 - 1) \, dx = k$$

Verwenden Sie die Methode der Substitution bei bestimmten Integralen, um sie mit der gegebenen Angabe in Beziehung zu setzen.

Das Logo einer neuen Streetwear-Marke wird im ersten Quadranten von den Graphen der Funktionen $f(x) = \sin(\pi x)$ und $g(x) = ax$ mit $a > 0$ begrenzt.

1. a) Bestimmen Sie den Wert von $a$ so, dass die Gerade $y = ax$ durch den lokalen Hochpunkt der Funktion $f(x)$ im Intervall $[0;1]$ verläuft.
2. b) Berechnen Sie für den ermittelten Wert von $a$ mithilfe des Hauptsatzes den Flächeninhalt des von beiden Graphen eingeschlossenen Bereichs.

Gegeben ist die durch das Integral $F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t - 1}{e^t + 1} \, dt$ definierte Funktion.

1. a) Bestimmen Sie die kritischen Stellen von $F(x)$ und klassifizieren Sie sie mit dem Kriterium der ersten Ableitung.
2. b) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von $F(x)$ und entscheiden Sie, ob Wendepunkte existieren.
3. c) Gibt es einen Wert von $x$, für den $F(x)$ negativ ist? Begründen Sie Ihre Antwort anhand des Vorzeichens des Integranden und der Integrationsgrenzen.

Betrachten Sie die für $x \geq 1$ definierte Integralfunktion $L(x) = \int_{1}^{x} \frac{\sqrt{1 + t^3}}{t} \, dt$.

1. a) Zeigen Sie, dass $L(x)$ in ihrer Definitionsmenge streng monoton steigend ist.
2. b) Der Graph von $L(x)$ besitzt an der Stelle $x = 2$ eine Tangente mit der Gleichung $y = mx + n$. Berechnen Sie den Wert der Steigung $m$.
3. c) Bestimmen Sie die Änderungsrate der Steigung (zweite Ableitung) an derselben Stelle.

Eine stetige Funktion $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ erfüllt für jede reelle Zahl $x > 0$ die folgende Integralgleichung:

$$\int_1^{x^2} f(t)\,dt = 4x^3 - 4x$$

1. a) Leiten Sie mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung und der Kettenregel beide Seiten nach $x$ ab und gewinnen Sie eine algebraische Beziehung zwischen $f(x^2)$ und der Variablen $x$.
2. b) Leiten Sie aus dieser Beziehung den expliziten Funktionsterm von $f(x)$ für beliebiges $x > 0$ her und berechnen Sie mit Begründung den Wert von $f(4)$.
3. c) Wenden Sie den Hauptsatz auf Ihren Term von $f$ an, um $\int_1^4 f(t)\,dt$ zu berechnen, und prüfen Sie, dass das Ergebnis mit dem Wert übereinstimmt, den die ursprüngliche Integralgleichung an der Stelle $x = 2$ liefert.
4. d) Begründen Sie streng, gestützt auf das Vorzeichen von $f(t)$ oder die Monotonie der Integralfunktion, ob es einen weiteren Wert $c > 0$ mit $c \neq 1$ gibt, für den $\int_1^c f(t)\,dt = 0$ gilt.

Es soll der folgende unbestimmte Grenzwert berechnet werden:

$$L = \lim_{x \to 0} \frac{x - \int_0^x \frac{1}{1 + t^4}\,dt}{x^5}$$

Zwei Schüler betrachten unterschiedliche Lösungsstrategien:

• David versucht zunächst, die unbestimmte Stammfunktion $\int \frac{1}{1 + t^4}\,dt$ zu bestimmen, indem er den Nenner in irreduzible reelle quadratische Faktoren zerlegt, um anschließend den Hauptsatz anzuwenden.

• Emilia behauptet, dass keine elementare Stammfunktion nötig ist und der Grenzwert direkt durch Kombination der Regel von L'Hospital mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung berechnet werden kann.

1. a) Erklären Sie, warum Davids Methode nicht ratsam und in der Bearbeitungszeit einer Klausur nicht durchführbar ist, und begründen Sie streng, ob Emilias Methode anwendbar ist, indem Sie die Voraussetzungen des Hauptsatzes und der Regel von L'Hospital prüfen.
2. b) Bestimmen Sie den Grenzwert $L$ mit Emilias Vorschlag.
3. c) Betrachten Sie die Funktion $F(x) = \int_0^x \frac{1}{1 + t^4}\,dt$. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $F$ an der Stelle $x = 0$. Bestimmen Sie mithilfe des in Teilaufgabe b) erhaltenen Grenzwerts begründet die Lage der Kurve $y = F(x)$ relativ zu dieser Tangente in einer Umgebung von $x = 0$ (unterscheiden Sie zwischen $x > 0$ und $x < 0$).