Aufgaben: Untersuchung des Verlaufs einer Funktion

Ein Content-Creator hat beobachtet, dass die Anzahl der Abonnenten seines Kanals, gemessen in Tausend, näherungsweise der Funktion $f(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 5$ folgt, wobei $t$ die Zeit in Monaten seit Jahresbeginn ist. Untersuchen Sie die Monotonieintervalle (Wachstum und Rückgang) seines Kanals in den ersten 5 Monaten ($t \in [0;5]$).

Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte der Polynomfunktion $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 2$. Geben Sie jeweils mithilfe des Kriteriums der ersten Ableitung an, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Bestimmen Sie ihre Krümmungsintervalle sowie die x-Koordinaten ihrer Wendepunkte. Verwenden Sie die Konvention, dass eine Funktion linksgekrümmt (konvex) ist, wenn sie „U“-förmig verläuft ($\cup$).

Der folgende Graph zeigt die Ableitungsfunktion $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$. Beantworten Sie anhand des Graphen mit Begründung:

• a) In welchen Intervallen steigt die ursprüngliche Funktion $f(x)$ und in welchen fällt sie?

• b) An welchen Stellen $x$ hat die Funktion $f(x)$ lokale Extrema? Geben Sie jeweils die Art an.

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Bestimmen Sie die Punkte der Kurve $f(x) = x^3 - 12x + 1$, in denen die Tangente waagerecht ist. Geben Sie die Gleichungen dieser Tangenten an.

Die Wirksamkeit eines neuen Medikaments wird untersucht. Die Konzentration im Blut (in $mg/l$) wird durch die Funktion $C(t) = \frac{4t}{t^2 + 1}$ beschrieben, wobei $t$ die seit der Einnahme vergangene Zeit in Stunden ist. Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Konzentration maximal ist und wie groß diese Konzentration ist.

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten der Funktion $f(x) = \frac{x}{x^2 + 3}$ und überprüfen Sie, ob der Punkt $(0|0)$ ein Wendepunkt ist. Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie das Vorzeichen der zweiten Ableitung auf beiden Seiten des Ursprungs untersuchen.

Bestimmen Sie den Wert des Parameters $k \in \mathbb{R}$ so, dass die Funktion $f(x) = x^2 + kx + 8$ an der Stelle $x = 3$ einen lokalen Tiefpunkt hat. Geben Sie anschließend, nachdem Sie $k$ bestimmt haben, den Wert des Minimums an.

Lea untersucht die Monotonie einer differenzierbaren Funktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ anhand des Graphen ihrer Ableitungsfunktion $f'(x)$. Der Graph von $f'(x)$ ist eine stetige Parabel mit dem Scheitelpunkt $(1|-4)$, die die waagerechte Achse bei $x = -1$ und $x = 3$ schneidet. In ihr Heft schreibt Lea die folgende Schlussfolgerung:

„Da die Ableitung ihren Scheitelpunkt in $(1|-4)$ hat, der ihr tiefster Punkt ist, hat die ursprüngliche Funktion $f(x)$ in $x = 1$ einen lokalen Tiefpunkt. Außerdem wird die Ableitung in $x = -1$ und in $x = 3$ null, was bedeutet, dass die ursprüngliche Funktion $f(x)$ an diesen beiden Stellen den Wert null hat und dort somit keine Extrema besitzt.“

1. a) Benennen Sie die beiden begrifflichen Fehler, die Lea in ihrer Deutung gemacht hat, und begründen Sie diese schlüssig.
2. b) Bestimmen Sie anhand von Verlauf und Vorzeichen von $f'(x)$ die Monotonieintervalle von $f(x)$ und klassifizieren Sie die tatsächlich vorhandenen lokalen Extrema der Funktion korrekt.

Um die kritischen Stellen der Funktionen $f(x) = x^4 - 4x^3$ und $g(x) = (x^2 - 1)e^x$ zu klassifizieren, gibt es zwei übliche Vorgehensweisen:

• Methode 1: Den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung links und rechts jeder kritischen Stelle untersuchen.

• Methode 2: Die zweite Ableitung an jeder kritischen Stelle auswerten ($f''(x_0)$).

1. a) Wenden Sie Methode 2 auf die Funktion $f(x)$ an. Lassen sich damit alle kritischen Stellen von $f$ klassifizieren? Begründen Sie, warum Methode 1 in diesem Fall vorteilhafter und aussagekräftiger ist, und klassifizieren Sie damit die Punkte von $f(x)$.
2. b) Berechnen Sie für die Funktion $g(x)$ die kritischen Stellen und argumentieren Sie, welche der beiden Methoden für die Klassifizierung weniger Rechenaufwand erfordert. Führen Sie die Klassifizierung mit der von Ihnen gewählten Methode durch.

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$. Aufgaben:

1. a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge der Funktion.

1. b) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Funktion steigt bzw. fällt (Monotonie).

1. c) Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte, falls vorhanden.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ mit seinen Asymptoten, damit Sie Ihre Ergebnisse überprüfen können.

Gegeben ist die Polynomfunktion $f(x) = ax^3 + bx^2 + x - 4$. Bestimmen Sie die Werte der Parameter $a, b \in \mathbb{R}$, wenn die Funktion im Punkt $P(1|-2)$ einen Wendepunkt hat. Geben Sie anschließend an, ob die Funktion im Intervall $(2; +\infty)$ rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt ist.

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten und die Wendepunkte der durch $f(x) = (x^2 - 1) \cdot e^x$ definierten Funktion. Begründen Sie die Krümmungsintervalle anhand des Vorzeichens der zweiten Ableitung.

Der folgende Graph zeigt die Ableitungsfunktion $f'(x)$ einer stetigen Funktion $f(x)$. Leiten Sie daraus schlüssig her:

1. a) Die Intervalle, in denen die ursprüngliche Funktion $f(x)$ steigt bzw. fällt.
2. b) Die x-Werte, an denen $f(x)$ lokale Hoch- und Tiefpunkte hat.
3. c) Was geschieht mit der Krümmung von $f(x)$ an der Stelle, an der $f'(x)$ ein lokales Maximum hat?

Sie können die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Lösung hochladen.

Die Temperatur $T$ (in Grad Celsius) eines elektronischen Bauteils während eines 8-stündigen Tests wird durch die Funktion $T(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 30$ beschrieben, wobei $0 \le t \le 8$ die Zeit in Stunden ist.

1. a) In welchen Zeitintervallen steigt die Temperatur des Bauteils?
2. b) Welche maximale Temperatur wird erreicht und wann?
3. c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Erwärmungsrate maximal ist (Wendepunkt).

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x - 2\ln(x^2 + 1)$. Untersuchen Sie:

1. a) Das Monotonieverhalten der Funktion auf ihrer gesamten Definitionsmenge.
2. b) Das Vorliegen lokaler Extrema und deren Art (Hoch- oder Tiefpunkt).
3. c) Die waagerechten Asymptoten, falls vorhanden, durch Berechnung der Grenzwerte im Unendlichen.

Das Verhalten der Funktion $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 5)$ soll untersucht werden. Bestimmen Sie:

1. a) Die Definitionsmenge der Funktion.

1. b) Die Intervalle, in denen die Funktion steigt bzw. fällt.

1. c) Das Krümmungsverhalten und mögliche Wendepunkte.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{e^x}{x}$. Untersuchen Sie ihr Monotonie- und Krümmungsverhalten. Zeigen Sie, dass die Funktion zwar einen lokalen Tiefpunkt hat, aber in ihrer Definitionsmenge keine Wendepunkte besitzt. Erklären Sie anhand des Graphen, was mit der Funktion geschieht, wenn $x$ sich von rechts der Null nähert.

Bei einer sommerlichen Hitzewelle registriert der Deutsche Wetterdienst (DWD) an einer Station im Rheintal die Temperatur $T(t)$ in Grad Celsius. Für das Zeitintervall von $06:00$ bis $18:00$ Uhr ($t \in [6;18]$, wobei $t$ die Uhrzeit angibt) wird sie durch die folgende Funktion beschrieben:

$T(t) = -\frac{1}{15}t^3 + \frac{11}{5}t^2 - 21t + 85$

1. a) Bestimmen Sie rechnerisch die Zeitintervalle, in denen die Temperatur im Laufe des Tages stieg bzw. fiel.
2. b) Ermitteln Sie, zu welcher genauen Uhrzeit die lokale Höchsttemperatur und zu welcher die lokale Tiefsttemperatur in diesem Zeitraum erreicht wurde. Berechnen Sie beide Temperaturwerte und deuten Sie, ob die ermittelten Uhrzeiten zum üblichen Tagesverlauf der Temperatur passen (Tiefstwert kurz nach Sonnenaufgang, Höchstwert am frühen Nachmittag).

Gegeben ist die Schar gebrochenrationaler Funktionen $f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x - 1}$, wobei $a, b \in \mathbb{R}$.

1. a) Bestimmen Sie schlüssig die Werte der Parameter $a$ und $b$, wenn die Funktion in $x = 3$ eine kritische Stelle hat und der Funktionswert an dieser Stelle $f(3) = 8$ beträgt.
2. b) Bestimmen Sie mit den erhaltenen Werten die Definitionsmenge von $f$, berechnen Sie alle kritischen Stellen und bestimmen Sie die Monotonieintervalle. Klassifizieren Sie die vorhandenen lokalen Extrema.
3. c) Erklären Sie, warum der Funktionswert im lokalen Tiefpunkt größer ist als der Funktionswert im lokalen Hochpunkt, und begründen Sie, welche Rolle die senkrechte Asymptote bei diesem scheinbar paradoxen Verhalten spielt.

Gegeben ist die reelle Funktion einer reellen Variablen mit dem folgenden Term, wobei $a, b \in \mathbb{R}$ unbekannte Parameter sind:

$f(x) = \frac{ax^2 + bx}{x-1}$

Bestimmen Sie die Werte von $a$ und $b$, wenn gleichzeitig die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Gerade $y = 2x + 5$ ist eine schräge Asymptote der Funktion.

2. Die Funktion besitzt an einer Stelle mit der x-Koordinate $x = c$ ein lokales Extremum, sodass die Tangente an den Graphen in diesem Punkt waagerecht ist.

Untersuchen Sie, nachdem Sie $a$ und $b$ bestimmt haben, die Monotonieintervalle der entstandenen Funktion und klassifizieren Sie ihre lokalen Extrema.

Ein Ingenieurteam entwirft eine Sprungrampe für einen BMX-Wettbewerb. Das Seitenprofil der Rampe folgt dem Verlauf einer abschnittsweise definierten Funktion $f(x)$:

$f(x) = \begin{cases} e^{x+2} + a & \text{falls } x < -2 \\ x^3 + bx^2 + cx + d & \text{falls } x \geq -2 \end{cases}$

Damit der Sprung sicher ist, muss der Übergang an der Stelle $x = -2$ „glatt“ sein, das heißt, die Funktion muss dort differenzierbar sein. Außerdem ist bekannt:

1. Die Rampe berührt den Boden im Koordinatenursprung, $O(0|0)$.

2. An der Stelle $x = -1$ erreicht die Rampe ihre maximale Steigung (Wendepunkt des polynomialen Teils).

Berechnen Sie die Werte der Parameter $a, b, c$ und $d$, sodass alle technischen Vorgaben erfüllt sind.

Der folgende Graph gehört zur Ableitungsfunktion $f'(x)$ einer stetigen, auf ganz $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f(x)$:

Beantworten Sie ausschließlich anhand der Information aus dem Graphen von $f'(x)$ begründet:

1. a) In welchen Intervallen ist die ursprüngliche Funktion $f(x)$ monoton steigend und in welchen monoton fallend?
2. b) Geben Sie die x-Koordinaten der lokalen Hoch- und Tiefpunkte von $f(x)$ an.
3. c) In welchen Intervallen ist die Funktion $f(x)$ linksgekrümmt ($\cup$) und in welchen rechtsgekrümmt ($\cap$)? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie die Krümmung von $f$ mit dem Monotonieverhalten von $f'$ in Beziehung setzen.

Die Signalstärke einer Mobilfunkantenne in einem bestimmten Gebiet wird durch die Funktion $S(t) = t^2 \cdot e^{-0,5t}$ modelliert, wobei $t \geq 0$ die Zeit in Stunden seit Beginn eines Sonnensturms darstellt.

1. a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt $t$, zu dem die Signalstärke maximal ist, und berechnen Sie diesen Wert.
2. b) Die technische Abteilung ist besorgt über die „Abfallgeschwindigkeit“ des Signals. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Signalstärke am schnellsten abnimmt (also den Wendepunkt, an dem die Steigung des Abfalls minimal ist).
3. c) Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von $S(t)$, um zu verstehen, wie sich das Signal langfristig stabilisiert.

Betrachten Sie die Funktionenschar $f_k(x) = x \cdot \ln(x) + kx$, definiert für $x > 0$.

1. a) Bestimmen Sie den Wert von $k$ so, dass die Funktion im Punkt $(e, f(e))$ einen lokalen Tiefpunkt hat.
2. b) Zeigen Sie, dass unabhängig vom Wert von $k$ alle Funktionen dieser Schar im gesamten Definitionsbereich dasselbe Krümmungsverhalten haben. Ist die Funktion rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt?
3. c) Bestimmen Sie für den in Teilaufgabe a) ermittelten Wert von $k$ die Gleichung der Tangente an die Kurve im Wendepunkt. Falls es keine Wendepunkte gibt, begründen Sie, warum.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^3 + px^2 + qx + r$. Bestimmen Sie die Koeffizienten $p, q$ und $r$, wenn Folgendes gilt:

1. Der Graph von $f(x)$ hat einen Wendepunkt in $I(1|2)$.

2. Die Tangente an den Graphen in diesem Wendepunkt $I$ schließt mit der positiven $x$-Achse einen Winkel von $135^\circ$ ein.

Überprüfen Sie, ob die ermittelte Funktion lokale Extrema besitzt. Falls ja, berechnen Sie deren Abstand zum Koordinatenursprung.

Das Verhalten der Funktion $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^x$ im Intervall $[-3; 3]$ soll untersucht werden.

1. a) Stellen Sie die Funktion als abschnittsweise definierte Funktion dar.
2. b) Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit von $f(x)$ an den Stellen $x = -2$ und $x = 2$. Was geschieht grafisch an diesen Stellen (Knickstellen, senkrechte Tangenten ...)?
3. c) Bestimmen Sie die Monotonieintervalle und alle lokalen Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) der Funktion in ihrer Definitionsmenge.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{x^2}{e^x}$. Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion durch, um Folgendes zu beantworten:

1. a) Bestimmen Sie die Monotonieintervalle sowie die lokalen Hoch- und Tiefpunkte.
2. b) Bestimmen Sie die Krümmungsintervalle und die Wendepunkte.
3. c) Berechnen Sie die Grenzwerte im Unendlichen: $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ und $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Besitzt die Funktion ein globales Maximum oder Minimum? Begründen Sie Ihre Antwort anhand der Ergebnisse der vorherigen Teilaufgaben.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = (x^2 - 3)e^{-x}$, definiert für alle $x \in \mathbb{R}$:

1. a) Qualitative Abschätzung: Bestimmen Sie ohne Ableitungen die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit der $X$-Achse und berechnen Sie die Grenzwerte $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ und $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Gehen Sie von diesen Angaben und der Stetigkeit der Funktion aus:

• Begründen Sie, warum $f$ im Intervall $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ zwingend mindestens einen Tiefpunkt und im Intervall $(\sqrt{3}, +\infty)$ mindestens einen Hochpunkt haben muss.

• Berechnen Sie $f(x)$ an zwei einfachen ganzzahligen Stellen, um abzuschätzen, bei welchen ganzzahligen Werten von $x$ Sie diese Extrema erwarten.

1. b) Analytische Phase und Überprüfung: Berechnen Sie die erste Ableitung $f'(x)$, bestimmen Sie die exakten Monotonieintervalle auf ganz $\mathbb{R}$ und ermitteln Sie die genauen Koordinaten der lokalen Extrema. Vergleichen Sie die exakten Ergebnisse mit den Überlegungen der qualitativen Phase und bewerten Sie, wie gut sie übereinstimmen.

Gegeben ist die Funktion mit einem reellen Parameter $k$ ungleich null ($k \in \mathbb{R}$, $k \neq 0$):

$f(x) = \frac{x^3}{x^2 + k}$

1. a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge von $f$ und untersuchen Sie das Vorliegen senkrechter Asymptoten, indem Sie nach dem Vorzeichen des Parameters unterscheiden: Fall $k > 0$ und Fall $k < 0$.
2. b) Berechnen Sie für $k > 0$ die Ableitung $f'(x)$ und zeigen Sie schlüssig, dass die Funktion auf ihrer gesamten Definitionsmenge streng monoton steigend ist. Begründen Sie, warum die kritische Stelle bei $x = 0$ kein lokales Extremum ist, und erklären Sie, was mit der Tangente an dieser Stelle geschieht.
3. c) Bestimmen Sie für $k < 0$ in Abhängigkeit von $k$ die x-Koordinaten aller kritischen Stellen. Untersuchen Sie die Monotonieintervalle und klassifizieren Sie die lokalen Extrema. Legen Sie dabei ausdrücklich dar, wie die senkrechten Asymptoten die Monotonieintervalle trennen und warum die kritische Stelle $x = 0$ auch in diesem Fall kein Extremum ist.