Proporcionalidad inversa

Indica si cada pareja de magnitudes es directamente proporcional, inversamente proporcional o ni una cosa ni la otra:

1. a) La velocidad de un ciclista y el tiempo que tarda en llegar.
2. b) Los kilos de fresas que compro y lo que pago.
3. c) El número de personas que recogen un huerto y el tiempo que tardan.
4. d) La edad de un árbol y su altura.

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, razonando tu respuesta:

1. a) Si al crecer una magnitud la otra decrece, las dos magnitudes son inversamente proporcionales.
2. b) Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, al duplicar una de ellas la otra se reduce a la mitad.
3. c) La edad de una madre y la edad de su hija son magnitudes inversamente proporcionales.
4. d) Si dos magnitudes inversamente proporcionales toman los valores $(3, 20)$, también pueden tomar los valores $(5, 12)$.

Comprueba si las magnitudes de estas tablas son inversamente proporcionales calculando el producto de cada pareja de valores:

a)

b)

Completa la tabla sabiendo que las magnitudes son inversamente proporcionales:

1. a) ¿Cuántos días tardan $6$ obreros?
2. b) ¿Cuántos días tardan $3$ obreros?
3. c) ¿Cuántos días tardaría $1$ obrero?

Un tubo que arroja $120$ litros por minuto llena una piscina en $15$ horas.

1. a) ¿Cuánto tardará en llenarla otro tubo que arroja $200$ litros por minuto?
2. b) ¿Cuál es el volumen de la piscina, en litros? Razone por qué no hace falta saberlo para responder al inciso a).

Cinco tubos iguales llenan un tanque en $8$ horas. Vamos a calcularlo paso a paso:

1. a) Si solo hubiera $1$ tubo, ¿cuántas horas tardaría? (Piense: un solo tubo trabaja $5$ veces menos.)
2. b) ¿Y si hubiera $10$ tubos?

Un grupo de $6$ obreros tarda $10$ días en arreglar la pista de un parque.

1. a) ¿Cuántos días tardarían $4$ obreros trabajando al mismo ritmo?
2. b) ¿Cuántos obreros hacen falta para terminar la pista en $5$ días?

Un bus que circula a $60\ \text{km/h}$ tarda $45$ minutos en hacer su recorrido completo.

1. a) ¿Cuánto tardaría circulando a $90\ \text{km/h}$?
2. b) ¿A qué velocidad debería circular para completar el recorrido en $30$ minutos?

La gráfica muestra los días que tardan varios equipos de pintores en pintar una misma casa según el número de pintores del equipo.

1. a) ¿Cuántos días tarda un equipo de $4$ pintores? ¿Y uno de $2$?
2. b) ¿Cuántos pintores hacen falta para pintar la casa en $6$ días?
3. c) Multiplica, para cada punto de la gráfica, el número de pintores por los días que tardan. ¿Qué observas? ¿Qué tipo de proporcionalidad hay entre las dos magnitudes?

En una granja hay pienso para alimentar a $20$ caballos durante $30$ días.

1. a) ¿Para cuántos caballos duraría el mismo pienso $25$ días?
2. b) Si la granja compra $10$ caballos más, ¿cuántos días durará el pienso?

En un campamento hay comida preparada para que $12$ acampados coman durante $15$ días.

1. a) El primer día llegan $3$ acampados más. ¿Para cuántos días tendrá comida el grupo?
2. b) Si en vez de llegar gente se marcharan $2$ acampados antes de empezar, ¿cuántos días duraría la comida?

Un equipo de $12$ obreros puede terminar una obra en $20$ días trabajando todos al mismo ritmo.

1. a) ¿Cuántos días tardarían $8$ obreros?
2. b) La obra empieza con los $12$ obreros, pero tras $5$ días de trabajo $4$ obreros se marchan a otra obra. ¿Cuántos días más necesitarán los $8$ restantes para terminarla?
3. c) ¿Cuántos días ha durado la obra en total?

Un carro que viaja a $90\ \text{km/h}$ tarda $4$ horas en ir de una ciudad a otra. Para saber cuánto tardaría yendo a $120\ \text{km/h}$, un estudiante planteó una regla de tres directa y obtuvo $5,\widehat{3}$ horas.

1. a) Explique qué error cometió.
2. b) Calcule el tiempo correcto a $120\ \text{km/h}$.
3. c) ¿A qué velocidad debería ir para tardar solo $3$ horas?

Un tanque se llena en $6$ horas si se abren a la vez $3$ tubos iguales.

1. a) ¿Cuánto tardaría en llenarse con un solo tubo?
2. b) Se abren los $3$ tubos, pero a las $2$ horas uno de ellos se daña y deja de funcionar. ¿Cuántas horas más tardarán los $2$ tubos restantes en terminar de llenar el tanque?
3. c) ¿Cuántas horas tardó en total el tanque en llenarse?

Dos ruedas dentadas están engranadas: cuando una gira, obliga a girar a la otra. La rueda grande tiene $36$ dientes y da $12$ vueltas completas.

1. a) Si la rueda pequeña tiene $16$ dientes, ¿cuántas vueltas da en el mismo tiempo?
2. b) ¿Por qué son el número de dientes y el número de vueltas magnitudes inversamente proporcionales? ¿Qué producto permanece constante?
3. c) Si quisiéramos que la rueda pequeña diera $72$ vueltas, ¿cuántos dientes debería tener?

Una abuela quiere repartir $\text{₡}\ 90\,000$ entre sus tres nietos, de $2$, $3$ y $6$ años, de forma inversamente proporcional a sus edades (para que el menor reciba más).

1. a) Repartir de forma inversamente proporcional a las edades es repartir de forma directamente proporcional a $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{6}$. Calcule la suma de esas tres fracciones.
2. b) ¿Qué fracción del total corresponde a cada nieto?
3. c) Calcule cuántos colones recibe cada uno y compruebe que suman $\text{₡}\ 90\,000$.