Frecuencia relativa y probabilidad experimental
En el recreo del cole, Sebastián lanza una moneda de ₡100 diez veces y salen 7 caras. «¡Está cargada!», dice. ¿Tiene razón? No necesariamente: con pocos lanzamientos, el azar da sorpresas. Si la lanzara 1.000 veces, el resultado se parecería mucho más a la mitad. Veamos por qué.
Frecuencia relativa de un suceso
Cuando repetimos una experiencia aleatoria, anotamos en una tabla cuántas veces ocurre cada resultado. Ese número es la frecuencia absoluta. Pero para comparar experiencias con distinta cantidad de repeticiones necesitamos algo más.
Se lanzó una moneda $50$ veces y salió cara $28$ veces. a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de «cara»? ¿Y la de «cruz»? b) Calcule la frecuencia relativa de «cara» como…
Se lanzó una moneda $50$ veces y salió cara $28$ veces.
- a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta de «cara»? ¿Y la de «cruz»?
- b) Calcule la frecuencia relativa de «cara» como fracción y como decimal.
- c) ¿Y la frecuencia relativa de «cruz»?
Una jugadora de baloncesto ha encestado $45$ de los últimos $60$ tiros libres que ha lanzado. a) ¿Cuál es su frecuencia relativa de enceste? b) Si mañana lanza un tiro…
Una jugadora de baloncesto ha encestado $45$ de los últimos $60$ tiros libres que ha lanzado.
- a) ¿Cuál es su frecuencia relativa de enceste?
- b) Si mañana lanza un tiro libre, ¿qué probabilidad experimental le asignaría a que lo enceste? Exprésela como fracción, como decimal y como porcentaje.
Tablas de frecuencias
Cuando una experiencia tiene varios resultados posibles, ordenamos los datos en una tabla con tres columnas: el resultado, la frecuencia absoluta $f$ y la frecuencia relativa $f_r = f/N$.
Un grupo de alumnos lanza un dado $60$ veces y anota los resultados: el $1$ sale $8$ veces; el $2$, $11$ veces; el $3$, $9$ veces; el $4$, $10$ veces; el $5$, $13$…
Un grupo de alumnos lanza un dado $60$ veces y anota los resultados: el $1$ sale $8$ veces; el $2$, $11$ veces; el $3$, $9$ veces; el $4$, $10$ veces; el $5$, $13$ veces, y el $6$, $9$ veces.
- a) Construye la tabla de frecuencias absolutas y relativas (estas últimas con tres cifras decimales).
- b) ¿Qué frecuencia relativa «teórica» esperarías para cada cara si el dado es justo? Exprésala como fracción y como decimal aproximado.
- c) ¿Qué resultado se ha alejado más de lo esperado? ¿Crees que el dado está trucado? Justifica tu respuesta teniendo en cuenta el número de lanzamientos.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un club de juegos de mesa organiza un sorteo con una ruleta de $5$ sectores iguales numerados del $1$ al $5$. Antes del sorteo, un espectador la prueba haciéndola girar…
Un club de juegos de mesa organiza un sorteo con una ruleta de $5$ sectores iguales numerados del $1$ al $5$. Antes del sorteo, un espectador la prueba haciéndola girar $500$ veces y obtiene: el $1$ sale $97$ veces; el $2$, $103$ veces; el $3$, $98$ veces; el $4$, $101$ veces, y el $5$, $101$ veces.
- a) Calcula las frecuencias relativas de cada número.
- b) ¿Qué probabilidad teórica tiene cada número si la ruleta es justa?
- c) ¿Parece la ruleta equilibrada? Razona tu respuesta.
La frecuencia relativa se acerca a la probabilidad
Lance el dado muchas veces y observe cómo las barras (lo que realmente sale) se acercan a la línea naranja (lo que «debería» salir si todas las caras son igual de probables):
Si no sabemos cuánto vale la probabilidad, la probabilidad experimental es la frecuencia relativa obtenida tras muchas repeticiones.
Para leer un gráfico de evolución: la frecuencia relativa se calcula tras cada lanzamiento y se marca como punto. Al principio los puntos saltan mucho y después se acercan a una línea horizontal, que es la probabilidad.
Un grupo de alumnos lanza un dado $60$ veces y anota los resultados: el $1$ sale $8$ veces; el $2$, $11$ veces; el $3$, $9$ veces; el $4$, $10$ veces; el $5$, $13$…
Un grupo de alumnos lanza un dado $60$ veces y anota los resultados: el $1$ sale $8$ veces; el $2$, $11$ veces; el $3$, $9$ veces; el $4$, $10$ veces; el $5$, $13$ veces, y el $6$, $9$ veces.
- a) Construye la tabla de frecuencias absolutas y relativas (estas últimas con tres cifras decimales).
- b) ¿Qué frecuencia relativa «teórica» esperarías para cada cara si el dado es justo? Exprésala como fracción y como decimal aproximado.
- c) ¿Qué resultado se ha alejado más de lo esperado? ¿Crees que el dado está trucado? Justifica tu respuesta teniendo en cuenta el número de lanzamientos.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Cuando no se puede calcular con casos favorables y posibles
A veces no podemos suponer que todos los resultados son igual de probables: una chincheta al caer, un dado que parece «cojo». Entonces no sirve decir «un caso de dos, es $\frac{1}{2}$». Lo que se hace es experimentar muchas veces y usar la frecuencia relativa como estimación.
También sirve para detectar dados o ruletas «cargados». Si el dado es justo, esperamos $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$ para cada cara. Si una cara se aleja mucho de ese valor con muchas tiradas, hay que sospechar. Con pocas tiradas, una diferencia pequeña no prueba nada.
Para comparar dos datos, como $\frac{12}{20}=0{,}6$ y $\frac{45}{100}=0{,}45$, la frecuencia relativa permite ver quién tiene mayor porcentaje; pero el dato con más repeticiones es más confiable.
En el patio se juega a lanzar una chincheta: puede caer con la punta hacia arriba o de lado. Tras $200$ lanzamientos, la chincheta ha caído con la punta hacia arriba…
En el patio se juega a lanzar una chincheta: puede caer con la punta hacia arriba o de lado. Tras $200$ lanzamientos, la chincheta ha caído con la punta hacia arriba $112$ veces.
- a) Calcula la frecuencia relativa de «punta hacia arriba» y la de «de lado».
- b) ¿Qué probabilidad experimental le asignarías a cada resultado?
- c) ¿Por qué en este experimento no podemos usar la regla de Laplace para decir que cada resultado vale $\frac{1}{2}$?
El gráfico muestra cómo evoluciona la frecuencia relativa del evento «sacar cara» cuando lanzamos una moneda cada vez más veces. a) ¿Hacia qué valor se acerca la…
El gráfico muestra cómo evoluciona la frecuencia relativa del evento «sacar cara» cuando lanzamos una moneda cada vez más veces.
- a) ¿Hacia qué valor se acerca la frecuencia relativa cuando el número de lanzamientos es muy grande?
- b) ¿Por qué cree que las oscilaciones son grandes al principio y pequeñas al final?
- c) Si lanzáramos la moneda $100.000$ veces, ¿qué frecuencia relativa esperaría obtener, aproximadamente? ¿Y cuántas caras?
- d) ¿Contradice este gráfico la afirmación «en $10$ lanzamientos tienen que salir $5$ caras»? Razone su respuesta.
Dos jugadoras de baloncesto presumen de su puntería: Lara ha encestado $12$ de sus últimos $20$ tiros libres. Miriam ha encestado $45$ de sus últimos $100$ tiros libres.…
Dos jugadoras de baloncesto presumen de su puntería:
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Lara ha encestado $12$ de sus últimos $20$ tiros libres.
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Miriam ha encestado $45$ de sus últimos $100$ tiros libres.
- a) Calcule la frecuencia relativa de enceste de cada una.
- b) ¿Cuál de las dos tiene mejor porcentaje de acierto?
- c) El entrenador tiene que elegir a una de las dos para lanzar el tiro decisivo y dice: «Confío más en el dato de Miriam, porque viene de muchos más lanzamientos». ¿Qué quiere decir? ¿Está de acuerdo con su razonamiento? Argumente usando lo que sabe de la frecuencia relativa.
Una app de matemáticas simula el lanzamiento de un dado $11.000$ veces y obtiene estos resultados: el $1$ sale $1.660$ veces; el $2$, $1.668$ veces; el $3$, $1.655$…
Una app de matemáticas simula el lanzamiento de un dado $11.000$ veces y obtiene estos resultados: el $1$ sale $1.660$ veces; el $2$, $1.668$ veces; el $3$, $1.655$ veces; el $4$, $1.670$ veces; el $5$, $1.647$ veces, y el $6$ sale $2.700$ veces.
- a) Calcula la frecuencia relativa de cada resultado, con cuatro cifras decimales.
- b) Si el dado virtual fuera justo, ¿qué frecuencia relativa esperarías para cada cara, aproximadamente?
- c) ¿Qué cara sospechas que está «cargada»? Razona tu respuesta comparando las frecuencias obtenidas con las esperadas.