Números primos y descomposición en factores primos
En el colegio, $13$ estudiantes quieren formar filas iguales para un ejercicio de Educación Física, pero solo pueden ponerse en una fila de $13$ o cada uno solo. En cambio, con $12$ alumnos hay muchas formas: $2 \times 6$, $3 \times 4$, $1 \times 12$... ¿Qué tienen de distinto el $13$ y el $12$? La respuesta está en sus divisores.
Números primos y compuestos
En clase de Educación Física, el profesor quiere organizar a los $13$ alumnos en filas y columnas perfectas para hacer un ejercicio (por ejemplo, $2$ filas de $6$…
En clase de Educación Física, el profesor quiere organizar a los $13$ alumnos en filas y columnas perfectas para hacer un ejercicio (por ejemplo, $2$ filas de $6$ personas).
- a) ¿Por qué no puede hacerlo con $13$ alumnos de ninguna forma que no sea una única fila de $13$?
- b) ¿Qué tipo de número es el $13$ según sus divisores?
Clasifica los siguientes números en la tabla según sean primos (solo tienen dos divisores: el $1$ y ellos mismos) o compuestos (tienen más de dos divisores):…
Clasifica los siguientes números en la tabla según sean primos (solo tienen dos divisores: el $1$ y ellos mismos) o compuestos (tienen más de dos divisores):
$11, 14, 19, 21, 23, 27, 31, 33$
| Números Primos | Números Compuestos |
|---|---|
La criba de Eratóstenes
Hace más de $2000$ años, Eratóstenes ideó un «filtro» para encontrar todos los primos hasta un número dado: usted tacha los múltiplos de cada primo que encuentra, y lo que sobrevive es primo.
La criba paso a paso
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Escriba los números del 2 al 30. El 1 queda fuera porque no es primo.
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Rodee el menor número que todavía no esté rodeado ni tachado.
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Tache sus múltiplos mayores que él, sin tachar el propio número rodeado.
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Repita los pasos 2 y 3 hasta que todos los números estén rodeados o tachados. Los rodeados son los primos.
La Criba de Eratóstenes funciona como un filtro que deja pasar solo a los números primos. Si vertemos los números del $1$ al $10$ en el filtro, explica por qué el número…
La Criba de Eratóstenes funciona como un filtro que deja pasar solo a los números primos. Si vertemos los números del $1$ al $10$ en el filtro, explica por qué el número $1$ no se considera primo y por qué el número $9$ se queda atrapado en el filtro de los números compuestos.
Clasifica los siguientes números en primos o compuestos razonando tu respuesta mediante los criterios de divisibilidad. Para los números compuestos, indica al menos un…
Clasifica los siguientes números en primos o compuestos razonando tu respuesta mediante los criterios de divisibilidad. Para los números compuestos, indica al menos un divisor distinto de $1$ y de sí mismo:
$47, 51, 67, 87, 91, 101$
Para comprobar si el número $601$ es primo, un estudiante afirma que solo necesita dividirlo por los números primos menores que $25$. a) Justifica por qué el estudiante…
Para comprobar si el número $601$ es primo, un estudiante afirma que solo necesita dividirlo por los números primos menores que $25$.
- a) Justifica por qué el estudiante ha elegido el número $25$ como límite.
- b) Realiza las divisiones necesarias siguiendo su razonamiento y determina si $601$ es primo o compuesto.
- c) ¿Cuál es el número primo más grande que tendrías que probar para saber si $1009$ es primo?
Descomposición en factores primos
Todo número compuesto se puede escribir como un producto de números primos: son los «ladrillos» con los que está hecho.
También puede usar un árbol de factores: separe el número en dos factores y siga separando cada uno hasta que todas las ramas terminen en primos. El resultado es el mismo.
Descompón en factores primos el número $40$ utilizando el método de la barra vertical y expresa el resultado como un producto de potencias.
Descompón en factores primos el número $40$ utilizando el método de la barra vertical y expresa el resultado como un producto de potencias.
Realiza la descomposición en factores primos (factorización) de los siguientes números utilizando el método de la barra vertical. Expresa el resultado final utilizando…
Realiza la descomposición en factores primos (factorización) de los siguientes números utilizando el método de la barra vertical. Expresa el resultado final utilizando potencias cuando sea posible:
- a) $180$
- b) $252$
- c) $450$
A veces, para descomponer números terminados en cero, podemos usar "atajos" mentales. Por ejemplo, sabemos que $10 = 2 \cdot 5$, así que cada cero final aporta un factor…
A veces, para descomponer números terminados en cero, podemos usar "atajos" mentales. Por ejemplo, sabemos que $10 = 2 \cdot 5$, así que cada cero final aporta un factor $2$ y un factor $5$.
Factoriza los siguientes números utilizando este truco para ahorrar pasos en la raya vertical (puedes quitar de una vez cada cero final anotando $2 \cdot 5$ a la derecha):
- a) $1.200$
- b) $4.500$
- c) $18.000$
Divisores a partir de la factorización
Con la descomposición puede encontrar todos los divisores combinando los factores, sin probar uno por uno.
Encuentra todos los divisores del número $N$ sabiendo que su descomposición factorial es $N = 2^2 \cdot 13$. ¿Es $N$ un número compuesto o primo? Justifica tu respuesta…
Encuentra todos los divisores del número $N$ sabiendo que su descomposición factorial es $N = 2^2 \cdot 13$. ¿Es $N$ un número compuesto o primo? Justifica tu respuesta basándote en la definición de estos tipos de números.
Halla todos los divisores de los siguientes números utilizando su descomposición factorial. Muestra el proceso de combinación de factores: a) $28$ b) $42$
Halla todos los divisores de los siguientes números utilizando su descomposición factorial. Muestra el proceso de combinación de factores:
- a) $28$
- b) $42$
Un número natural $N$ tiene la siguiente particularidad: su descomposición en factores primos es de la forma $2^a \cdot 3^b$. Sabemos que si multiplicamos $N$ por $2$,…
Un número natural $N$ tiene la siguiente particularidad: su descomposición en factores primos es de la forma $2^a \cdot 3^b$. Sabemos que si multiplicamos $N$ por $2$, el número de sus divisores aumenta en $3$, y si lo multiplicamos por $3$, el número de sus divisores aumenta en $4$.
Calcula el valor de los exponentes $a$ y $b$, y halla el número $N$.
MCD y MCM con la factorización
La descomposición también sirve para comparar dos números. Tomemos $A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ y $B = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$.
El MCM resuelve problemas de «cada cuánto coinciden». Por ejemplo: dos buses salen juntos de una terminal de Cartago, uno cada $6$ minutos y otro cada $10$. Como $6 = 2 \cdot 3$ y $10 = 2 \cdot 5$, el MCM es $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$: coinciden cada $30$ minutos. Y si un número de objetos, agrupados de $6$ en $6$ y de $10$ en $10$, deja siempre el mismo residuo, ese número es un múltiplo del MCM más ese residuo.
Nerea tiene una colección de monedas antiguas. Si las agrupa de $6$ en $6$, le sobran $3$. Si las agrupa de $10$ en $10$, también le sobran $3$. Sabiendo que tiene más…
Nerea tiene una colección de monedas antiguas. Si las agrupa de $6$ en $6$, le sobran $3$. Si las agrupa de $10$ en $10$, también le sobran $3$.
Sabiendo que tiene más de $50$ monedas pero menos de $80$, ¿cuántas monedas tiene exactamente Nerea en su colección? (Pista: relaciona el problema con el concepto de mínimo común múltiplo).
Dados los números $A = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$ y $B = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 7$. Sin calcular el valor numérico de $A$ ni de $B$, responde razonadamente: a) ¿Es el…
Dados los números $A = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$ y $B = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 7$.
Sin calcular el valor numérico de $A$ ni de $B$, responde razonadamente:
- a) ¿Es el producto $A \cdot B$ divisible por $55$?
- b) ¿Es el producto $A \cdot B$ un múltiplo de $54$?
- c) ¿Cuál es la descomposición factorial del número que resulta de hacer $M.C.D.(A, B)$?
Vuelva al principio: los $13$ alumnos solo forman una fila porque $13$ es primo (sus únicos divisores son $1$ y $13$); $12$ es compuesto y tiene $6$ divisores ($1, 2, 3, 4, 6$ y $12$), de ahí tantas formas de organizarlos.