El lenguaje algebraico
En las fiestas de Zapote, un mago le pide a Valeria: «piense un número, súmele 5, multiplíquelo por 2, réstele 10 y divida entre 2». Ella siempre se queda con el número que pensó, sea cual sea. ¿Magia? No: álgebra. Al terminar este apartado usted podrá demostrarlo.
Frases con varios pasos
Para frases largas, traduzca por partes, de adentro hacia afuera, igual que cuando sigue una receta paso a paso. Una letra (la variable) representa el número que no conocemos, y entre un número y una letra hay una multiplicación que no se escribe: $3x$ es $3 \cdot x$.
Algunas palabras que conviene tener a mano:
| En palabras | En símbolos |
|---|---|
| el doble de $x$ | $2x$ |
| el triple de $x$ | $3x$ |
| la mitad de $x$ | $\frac{x}{2}$ |
| el cuadrado de $x$ | $x^2$ |
| $x$ más 7 | $x + 7$ |
| 7 menos que $x$ | $x - 7$ |
En el mundo de los videojuegos, a veces usamos fórmulas para calcular puntuaciones. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases, llamando $x$ al número de gemas…
En el mundo de los videojuegos, a veces usamos fórmulas para calcular puntuaciones. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases, llamando $x$ al número de gemas que ha conseguido un jugador:
-
a) El doble del número de gemas.
-
b) El triple de gemas más $50$ puntos extra.
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c) El número de gemas que tendría si perdiera $5$ gemas.
-
d) La mitad de las gemas que tiene.
En una tienda de ropa, una sudadera cuesta $s$ colones. Si unos pantalones cuestan $6\,000$ colones menos que la sudadera, exprese en lenguaje algebraico: a) El precio…
En una tienda de ropa, una sudadera cuesta $s$ colones. Si unos pantalones cuestan $6\,000$ colones menos que la sudadera, exprese en lenguaje algebraico:
-
a) El precio de los pantalones.
-
b) El precio total de comprar dos sudaderas.
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c) El precio total de comprar una sudadera y unos pantalones.
En un popular videojuego de aventuras, los jugadores obtienen diferentes puntuaciones según sus acciones. Si llamamos $x$ al número de cofres de oro encontrados e $y$ al…
En un popular videojuego de aventuras, los jugadores obtienen diferentes puntuaciones según sus acciones. Si llamamos $x$ al número de cofres de oro encontrados e $y$ al número de misiones secundarias completadas, expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones:
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El triple de cofres de oro encontrados.
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El número de misiones secundarias más cinco misiones extra de bonificación.
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El doble de la suma de los cofres de oro y las misiones secundarias.
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La mitad de los cofres encontrados tras perder tres de ellos en una batalla.
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El total de puntos si cada cofre vale 100 puntos y cada misión vale 50 puntos.
Exprese en lenguaje algebraico las siguientes frases complejas, utilizando una sola variable $x$ para el número desconocido: a) El triple de la diferencia entre el…
Exprese en lenguaje algebraico las siguientes frases complejas, utilizando una sola variable $x$ para el número desconocido:
- a) El triple de la diferencia entre el cuadrado de un número y su mitad.
- b) La suma de tres números naturales consecutivos, sabiendo que el primero de ellos es $x-2$.
- c) El precio final de un suéter que costaba $x$ colones, si primero se le aplica un aumento del $10\%$ por costos de envío y luego un descuento de $2\,500$ colones por un cupón.
- d) La diferencia entre el cubo del siguiente de un número y el doble de su anterior.
Fórmulas y valor numérico
Una expresión algebraica es como una máquina: le damos un valor a la letra y devuelve un número. Ese número es el valor numérico. Para calcularlo, reemplace la letra por el número (poniéndolo entre paréntesis si hace falta) y resuelva respetando el orden de las operaciones: primero potencias, después multiplicaciones y divisiones, al final sumas y restas.
Muchas fórmulas que ya conoce son expresiones algebraicas. Si el lado de un cuadrado mide $x$:
-
perímetro: $P = 4x$
-
área: $A = x^2$
Cuando la expresión es una fracción
Una expresión puede ser un cociente, por ejemplo $\dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$. Se calcula igual: se reemplaza la letra arriba y abajo, y se divide. Pero hay un detalle: no se puede dividir por cero. Entonces, si para algún valor de la letra el denominador vale $0$, la expresión no tiene valor numérico ahí.
Queremos vallar un recinto para un festival de música que tiene forma de cuadrado. No sabemos cuánto mide el lado todavía, así que lo llamaremos $x$. a) Escribe una…
Queremos vallar un recinto para un festival de música que tiene forma de cuadrado. No sabemos cuánto mide el lado todavía, así que lo llamaremos $x$.
-
a) Escribe una expresión algebraica para el perímetro del recinto (la suma de todos sus lados).
-
b) Escribe una expresión algebraica para el área del recinto.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para el valor que se indica (recuerda que entre un número y una letra siempre hay una multiplicación invisible):…
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para el valor que se indica (recuerda que entre un número y una letra siempre hay una multiplicación invisible):
-
a) $3x + 5$ cuando $x = 2$
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b) $10 - 2n$ cuando $n = 3$
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c) $a^2 + 1$ cuando $a = 5$
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d) $\frac{x}{2} + 7$ cuando $x = 10$
Calcula el perímetro de la siguiente pista de pádel cuyas dimensiones vienen dadas en metros mediante expresiones algebraicas. Una vez obtenida la expresión…
Calcula el perímetro de la siguiente pista de pádel cuyas dimensiones vienen dadas en metros mediante expresiones algebraicas. Una vez obtenida la expresión simplificada, calcula su valor numérico para $x = 4$ metros.
Un creador de contenido de TikTok* analiza sus ingresos mensuales. Si $v$ representa el número de videos publicados en un mes, su ganancia en colones viene definida por…
Un creador de contenido de TikTok analiza sus ingresos mensuales. Si $v$ representa el número de videos publicados en un mes, su ganancia en colones viene definida por la expresión algebraica: $G = 250 \cdot v + 6\,000$.
-
¿Qué representan los números $250$ y $6\,000$ en este contexto?
-
¿Cuál será su ganancia si este mes logró publicar un total de $v = 40$ videos?
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Si el mes que viene decide publicar el doble de videos que este mes, escriba la nueva expresión para su ganancia.
Considera la expresión algebraica $P(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$. a) Calcula el valor numérico de $P(x)$ para $x = 0, x = 2$ y $x = 10$. b) Observando los resultados,…
Considera la expresión algebraica $P(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$.
- a) Calcula el valor numérico de $P(x)$ para $x = 0, x = 2$ y $x = 10$.
- b) Observando los resultados, ¿podrías proponer una expresión mucho más sencilla que sea equivalente a $P(x)$ para cualquier valor de $x$ (excepto para $x = -2$)?
- c) ¿Por qué crees que no se puede calcular el valor numérico de $P(x)$ para $x = -2$? Razona tu respuesta basándote en lo que sabes de las fracciones.
El siguiente y el anterior
Si un número es $n$, el siguiente es $n + 1$ y el anterior es $n - 1$. Da igual qué número sea $n$: la regla siempre funciona.
Con esto se escriben los números consecutivos: $n$, $n+1$, $n+2$, …
Si $n$ representa un número entero cualquiera, escribe la expresión algebraica para: a) El número siguiente a $n$. b) El número anterior a $n$. c) El triple del…
Si $n$ representa un número entero cualquiera, escribe la expresión algebraica para:
-
a) El número siguiente a $n$.
-
b) El número anterior a $n$.
-
c) El triple del siguiente de $n$.
-
d) La suma de un número y su anterior.
Llamamos $x$ a la edad actual de Ioana. Expresa algebraicamente las edades de su familia: a) La edad que tendrá Ioana dentro de $8$ años. b) La edad que tenía Ioana hace…
Llamamos $x$ a la edad actual de Ioana. Expresa algebraicamente las edades de su familia:
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a) La edad que tendrá Ioana dentro de $8$ años.
-
b) La edad que tenía Ioana hace $3$ años.
-
c) Su hermano tiene el doble de la edad de Ioana. ¿Qué edad tiene el hermano?
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d) Su madre tiene el triple de la edad que Ioana tendrá dentro de $1$ año.
Amina, Borja y Clara están comparando cuántos seguidores tienen en sus redes sociales. Borja tiene el doble de seguidores que Amina. Clara tiene 500 seguidores menos que…
Amina, Borja y Clara están comparando cuántos seguidores tienen en sus redes sociales. Borja tiene el doble de seguidores que Amina. Clara tiene 500 seguidores menos que Borja. Si llamamos $s$ al número de seguidores que tiene Amina:
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Expresa en lenguaje algebraico los seguidores que tiene Borja.
-
Expresa en lenguaje algebraico los seguidores que tiene Clara.
-
Escribe una expresión que represente la suma de los seguidores de los tres amigos.
-
Si Amina tiene $s = 1200$ seguidores, ¿cuántos seguidores tienen entre los tres?
Leer el álgebra al revés
También hay que saber ir en sentido contrario: de la expresión a la frase. Es la misma habilidad, pero del revés. Si $x$ es el precio de una camiseta e $y$ el de un pantalón:
| Expresión | En lenguaje coloquial |
|---|---|
| $x + y$ | Lo que cuestan la camiseta y el pantalón juntos |
| $2x + 3y$ | El doble de la camiseta más el triple del pantalón |
| $0{,}85 \cdot x$ | El 85% del precio de la camiseta (un 15 % de descuento) |
| $3(x + y)$ | El triple de lo que cuestan las dos prendas juntas |
En una tienda de deportes, una camiseta de fútbol cuesta $x$ colones y un pantalón cuesta $y$ colones. Traduzca del lenguaje algebraico al lenguaje ordinario (español)…
En una tienda de deportes, una camiseta de fútbol cuesta $x$ colones y un pantalón cuesta $y$ colones. Traduzca del lenguaje algebraico al lenguaje ordinario (español) qué significan las siguientes expresiones:
-
$x + y$
-
$2x + 3y$
-
$x - 5\,000$
-
$0,85 \cdot x$
-
$3(x + y)$
Un poco de vocabulario: monomios
Una expresión como $-5x^2$ se llama monomio. Tiene:
-
coeficiente: el número que multiplica (acá, $-5$). Si no se ve ningún número, el coeficiente es $1$ (o $-1$ si hay un signo menos): en $x^3y$ es $1$, en $-z$ es $-1$.
-
parte literal: las letras con sus exponentes ($x^2$).
-
grado: la suma de los exponentes de la parte literal. En $-5x^2$ es 2; en $x^3y$ es $3 + 1 = 4$ (la $y$ tiene exponente 1).
| Monomio | Coeficiente | Parte literal | Grado |
|---|---|---|---|
| $7a^2$ | $7$ | $a^2$ | 2 |
| $ab^3c$ | $1$ | $ab^3c$ | 5 |
| $\frac{3}{4}x^4y$ | $\frac{3}{4}$ | $x^4y$ | 5 |
| $12$ | $12$ | (no tiene) | 0 |
Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y completa la información sobre estos monomios (recuerda que si no hay número delante de la letra, el coeficiente es $1$): |…
Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y completa la información sobre estos monomios (recuerda que si no hay número delante de la letra, el coeficiente es $1$):
| Monomio | Coeficiente | Parte literal | Grado |
|---|---|---|---|
| $7a^2$ | |||
| $-5x$ | |||
| $x^3y$ | |||
| $\frac{1}{2}b$ |
Copia y completa la siguiente tabla sobre monomios en tu cuaderno. Recuerda que si el coeficiente no aparece, se entiende que es la unidad. | Monomio | Coeficiente |…
Copia y completa la siguiente tabla sobre monomios en tu cuaderno. Recuerda que si el coeficiente no aparece, se entiende que es la unidad.
| Monomio | Coeficiente | Parte Literal | Grado |
|---|---|---|---|
| $-5x^2$ | |||
| $ab^3c$ | |||
| $\frac{3}{4}x^4y$ | |||
| $-z$ | |||
| $12$ |
Patrones: encuentre la regla
En muchos problemas una figura crece paso a paso y hay que encontrar la expresión que vale para cualquier paso $n$, no solo para los primeros. Una lista de números que sigue un patrón se llama sucesión, y la expresión que da el término de la posición $n$ es su ley de formación. Fíjese cuánto aumenta en cada paso: si sube siempre lo mismo, ese número multiplica a $n$.
Cuando lo que se suma no es siempre lo mismo
A veces el aumento cambia en cada paso. Ahí la regla no es de la forma $an + b$: probablemente aparezca $n^2$ (una cantidad que forma cuadrados).
Observa la siguiente serie de figuras formadas por puntos naranjas. Si llamamos $n$ a la posición de la figura (Figura 1, Figura 2...): a) ¿Cuántos puntos tendrá la…
Observa la siguiente serie de figuras formadas por puntos naranjas. Si llamamos $n$ a la posición de la figura (Figura 1, Figura 2...):
-
a) ¿Cuántos puntos tendrá la Figura 4?
-
b) Escribe una expresión algebraica que nos diga cuántos puntos hay en la Figura $n$.
Observe la siguiente serie de mesas hexagonales colocadas en línea para una celebración en el colegio. Cada hexágono representa una mesa donde se sientan los…
Observe la siguiente serie de mesas hexagonales colocadas en línea para una celebración en el colegio. Cada hexágono representa una mesa donde se sientan los estudiantes.
Si en una mesa ($n=1$) caben 6 personas, en dos mesas ($n=2$) caben 10 personas y en tres mesas ($n=3$) caben 14 personas:
-
Cree una expresión algebraica que permita calcular el número de personas que pueden sentarse en función del número de mesas $n$.
-
Calcule cuántas personas podrán sentarse si se unen 15 mesas.
En una empresa de diseño de jardines, se utilizan losetas hexagonales para rodear parterres de flores. Si colocamos los parterres en línea, cada parterre adicional…
En una empresa de diseño de jardines, se utilizan losetas hexagonales para rodear parterres de flores. Si colocamos los parterres en línea, cada parterre adicional comparte algunas losetas con el anterior para ahorrar material. Observa la siguiente secuencia de diseño:
Si llamamos $n$ al número de parterres que queremos poner en fila:
- a) Encuentra una expresión algebraica que permita calcular el número de losetas necesarias para $n$ parterres.
- b) Utiliza dicha expresión para calcular cuántas losetas se necesitarían para una hilera de $25$ parterres.
En un almacén de logística, las cajas se apilan formando estructuras piramidales de base cuadrada. En el nivel más alto (nivel 1) hay $1$ caja. En el nivel 2 (debajo del…
En un almacén de logística, las cajas se apilan formando estructuras piramidales de base cuadrada. En el nivel más alto (nivel 1) hay $1$ caja. En el nivel 2 (debajo del primero) hay $4$ cajas formando un cuadrado de $2 \times 2$. En el nivel 3 hay $9$ cajas formando un cuadrado de $3 \times 3$.
- a) Escribe la expresión algebraica que representa el número de cajas que hay en el nivel $n$.
- b) Escribe una expresión algebraica que represente el número total de cajas si la pirámide tiene solo $3$ niveles.
- c) Si una pirámide tiene $n$ niveles, se sabe que el número total de cajas viene dado por la fórmula $T = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Calcula cuántas cajas habrá en total en una estructura de $10$ niveles.
El truco del mago, explicado
Ahora sí puede desarmar el truco del principio. Siga los pasos con una letra $n$ en lugar de un número:
Leer una fórmula y usarla para justificar
El álgebra también sirve para explicar propiedades de los números a partir de una fórmula ya dada. Hay que leerla: ver qué números produce y qué tienen en común.
Vuelva al principio: el mago de Zapote siempre le devolvía a Valeria su número porque $[2(n+5) - 10] : 2 = n$ para cualquier $n$.
Valentina le propone un truco de magia a su hermano utilizando el lenguaje algebraico. Sigue los pasos y luego explica algebraicamente por qué siempre se obtiene el…
Valentina le propone un truco de magia a su hermano utilizando el lenguaje algebraico. Sigue los pasos y luego explica algebraicamente por qué siempre se obtiene el mismo resultado:
-
Piensa un número cualquiera ($n$).
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Súmale 5.
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Multiplica el resultado por 2.
-
Réstale 10 al valor obtenido.
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Divide el resultado entre 2.
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¿Qué número obtienes respecto al número inicial? Escribe la expresión simplificada del proceso.
Un mago pide a un espectador que realice las siguientes instrucciones: 1. Piensa un número natural cualquiera $n$. 2. Multiplícalo por $6$. 3. Suma $12$ al resultado…
Un mago pide a un espectador que realice las siguientes instrucciones:
-
Piensa un número natural cualquiera $n$.
-
Multiplícalo por $6$.
-
Suma $12$ al resultado anterior.
-
Divide todo entre $3$.
-
Resta el doble del número que pensaste al principio.
- a) Traduce a lenguaje algebraico cada paso del truco y escribe la expresión final simplificada.
- b) ¿Cuál es el resultado final del truco? ¿Depende del número que haya pensado el espectador? Justifica tu respuesta usando el lenguaje algebraico.
Problemas para combinar todo
Los problemas más largos mezclan lo anterior: elegir qué letra representa la incógnita, traducir cada dato, simplificar y recién al final reemplazar por números. Siga siempre este camino: 1) decida qué representa la letra, 2) escriba cada cantidad en función de ella, 3) arme la expresión pedida, 4) simplifíquela, 5) calcule el valor numérico si se lo piden.
Unidades distintas dentro de una expresión
Si en una fórmula entran horas y minutos, hay que pasar todo a una sola unidad antes de armarla. Como $1$ h $= 60$ min, una cantidad de minutos es esa cantidad dividida por $60$ horas: $15$ min $= \frac{15}{60}$ h $= \frac{1}{4}$ h.
Un grupo de amigos quiere regalar una consola de videojuegos a un compañero. La consola cuesta $C$ colones. Deciden que dos de los amigos, que son hermanos, pagarán solo…
Un grupo de amigos quiere regalar una consola de videojuegos a un compañero. La consola cuesta $C$ colones. Deciden que dos de los amigos, que son hermanos, pagarán solo la mitad de lo que pague el resto cada uno.
- a) Si $x$ es la cantidad de dinero que aporta cada uno de los amigos que no son hermanos, y hay un total de $6$ amigos (incluyendo a los dos hermanos), exprese algebraicamente el costo total $C$ de la consola.
- b) Si el costo de la consola es de $150\,000$ colones, calcule cuánto dinero debe aportar cada uno de los hermanos.
En el diseño de una piscina moderna, se quiere rodear una zona rectangular de agua de largo $l$ y ancho $a$ con un borde de madera de $2$ metros de ancho por todo su…
En el diseño de una piscina moderna, se quiere rodear una zona rectangular de agua de largo $l$ y ancho $a$ con un borde de madera de $2$ metros de ancho por todo su contorno.
- a) Escriba la expresión algebraica que representa el área total ocupada por la madera (el borde).
- b) Simplifique la expresión obtenida en el inciso anterior.
- c) ¿Cuál sería el valor numérico de esa área si la piscina mide $10$ metros de largo y $5$ metros de ancho?
En una competición de triatlón, un atleta corre a una velocidad constante de $v$ km/h. a) Expresa algebraicamente la distancia que recorre en un tiempo de $t$ horas y…
En una competición de triatlón, un atleta corre a una velocidad constante de $v$ km/h.
- a) Expresa algebraicamente la distancia que recorre en un tiempo de $t$ horas y $15$ minutos. (Recuerda expresar el tiempo en una única unidad).
- b) Si el atleta decide aumentar su velocidad en $2$ km/h durante la segunda mitad del tiempo, escribe la expresión de la distancia total recorrida en un tiempo total de $t$ horas.
- c) Calcula la distancia total del apartado b) si $v = 12$ km/h y $t = 2$ horas.