Rectas
Las cuadras de San José, la avenida Central, las vías del tren que llega a Heredia, las líneas de su cuaderno: hay rectas por todos lados. ¿Cómo se relacionan entre sí y qué ángulos aparecen cuando se cruzan? De eso trata esta página, y al final usted podrá encontrar el punto justo donde conviene poner una farola en una plaza.
Recta, semirrecta y segmento
Una recta no tiene principio ni fin: sigue hacia los dos lados. Una semirrecta (o rayo) tiene un origen y sigue hacia un solo lado. Un segmento tiene dos extremos: es un pedacito de recta, y se puede medir.
En el siguiente dibujo de una carretera recta, identifica qué nombre recibe cada uno de los elementos marcados. Indica cuál es un segmento, cuál es una semirrecta y cuál…
En el siguiente dibujo de una carretera recta, identifica qué nombre recibe cada uno de los elementos marcados.
Indica cuál es un segmento, cuál es una semirrecta y cuál representa una recta completa.
Posiciones relativas de dos rectas
Las perpendiculares son un caso particular de secantes. Las secantes que no forman $90^\circ$ se llaman oblicuas.
Tres o más rectas son concurrentes si todas pasan por un mismo punto. Por ejemplo, si $r$, $s$ y $t$ se cortan en el punto $P$, se dice que son concurrentes en $P$. Con símbolos: $r \cap s \cap t = \{P\}$. Dos rectas paralelas se escriben $r \parallel s$ y dos perpendiculares $r \perp s$.
Observa el plano de estas calles. Indica cuál es la posición relativa (paralelas, secantes o perpendiculares) de los siguientes pares de calles: Calle A y Calle B. Calle…
Observa el plano de estas calles. Indica cuál es la posición relativa (paralelas, secantes o perpendiculares) de los siguientes pares de calles:
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Calle A y Calle B.
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Calle B y Calle C.
-
Calle A y Calle C.
Un grupo de amigos está diseñando un nuevo circuito de skate* en un descampado. Para ello, han trazado sobre el suelo varias líneas que representan los bordes de las…
Un grupo de amigos está diseñando un nuevo circuito de skate en un descampado. Para ello, han trazado sobre el suelo varias líneas que representan los bordes de las rampas. Observa el plano que han dibujado y responde a las preguntas sobre la posición relativa de las líneas:
- a) Indica un par de líneas que sean paralelas entre sí.
- b) Encuentra dos líneas que sean secantes pero no perpendiculares.
- c) Identifica una línea que sea perpendicular a la línea $s$.
- d) Si la línea $t$ y la línea $u$ nunca se cruzan por mucho que las prolonguemos, ¿qué relación geométrica tienen?
Ángulos: tipos, complementarios, suplementarios y opuestos
Un ángulo es la abertura entre dos semirrectas con el mismo origen (el vértice). Se mide en grados sexagesimales con el transportador.
| Tipo | Medida |
|---|---|
| Agudo | menor que $90^\circ$ |
| Recto | exactamente $90^\circ$ |
| Obtuso | mayor que $90^\circ$ y menor que $180^\circ$ |
| Llano | exactamente $180^\circ$ |
| Completo (de un giro) | $360^\circ$ |
¿Por qué los opuestos por el vértice son iguales? Un ángulo $\hat{A}$ y su vecino $\hat{B}$ suman $180^\circ$ (forman un ángulo llano). El opuesto de $\hat{A}$ también suma $180^\circ$ con ese mismo vecino $\hat{B}$. Entonces el opuesto de $\hat{A}$ tiene que valer lo mismo que $\hat{A}$.
Clasifica los siguientes ángulos según su abertura. Indica si son agudos, rectos u obtuso: $\alpha = 45^\circ$ $\beta = 120^\circ$ $\gamma = 90^\circ$
Clasifica los siguientes ángulos según su abertura. Indica si son agudos, rectos u obtuso:
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$\alpha = 45^\circ$
-
$\beta = 120^\circ$
-
$\gamma = 90^\circ$
Dos ángulos son complementarios si su suma es de $90^\circ$. Si el ángulo $\alpha$ mide $35^\circ$, ¿cuánto debe medir el ángulo $\beta$ para que sean complementarios?
Dos ángulos son complementarios si su suma es de $90^\circ$. Si el ángulo $\alpha$ mide $35^\circ$, ¿cuánto debe medir el ángulo $\beta$ para que sean complementarios?
Halla el valor del ángulo $\hat{X}$ en la siguiente figura sabiendo que los dos ángulos son suplementarios (suman $180^\circ$).
Halla el valor del ángulo $\hat{X}$ en la siguiente figura sabiendo que los dos ángulos son suplementarios (suman $180^\circ$).
Cuando dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Observa la figura y, sin usar el transportador, indica cuánto mide el ángulo $\hat{A}$ y…
Cuando dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Observa la figura y, sin usar el transportador, indica cuánto mide el ángulo $\hat{A}$ y cuánto mide el ángulo $\hat{B}$.
Sistema sexagesimal
Los ángulos (y el tiempo) se miden en base $60$:
$$1^\circ = 60' \qquad 1' = 60''$$Un ángulo en forma compleja se escribe con grados, minutos y segundos: por ejemplo $42^\circ\,35'\,48''$.
Para multiplicar por un número se multiplica cada parte y se convierte lo que pase de $60$. Para dividir (por ejemplo, hallar la mitad) se divide cada parte y el residuo de cada unidad se pasa a la siguiente más pequeña: $72^\circ\,15' : 2 = 36^\circ + 7' + (1' = 60'')\,/\,2 = 36^\circ\,7'\,30''$.
Un radar de navegación gira un total de $5^\circ$ cada segundo. Expresa este movimiento en minutos sexagesimales ($'$). Recuerda que $1^\circ = 60'$.
Un radar de navegación gira un total de $5^\circ$ cada segundo. Expresa este movimiento en minutos sexagesimales ($'$). Recuerda que $1^\circ = 60'$.
Una cámara de seguridad de un centro comercial tiene un ángulo de visión total de $110^\circ$. El técnico de mantenimiento decide dividir este ángulo en dos zonas: la…
Una cámara de seguridad de un centro comercial tiene un ángulo de visión total de $110^\circ$. El técnico de mantenimiento decide dividir este ángulo en dos zonas: la Zona A, que cubre las tiendas, y la Zona B, que cubre los pasillos.
Si la Zona A mide $64^\circ 35' 50''$, calcula la medida exacta (en grados, minutos y segundos) que debe tener la Zona B para cubrir el resto del campo de visión.
Un satélite de comunicaciones orbita sobre la Tierra y realiza tres mediciones de giro angular para corregir su trayectoria. La primera rotación es de…
Un satélite de comunicaciones orbita sobre la Tierra y realiza tres mediciones de giro angular para corregir su trayectoria. La primera rotación es de $42^\circ \ 35' \ 48''$. La segunda rotación es el doble de la primera. Si al final del día el satélite debe haber girado un ángulo total de un ángulo llano completo para quedar alineado con la base terrestre, ¿cuánto debe medir la tercera rotación? Expresa el resultado en forma compleja (grados, minutos y segundos).
Paralelas cortadas por una transversal
Cuando una recta $t$ (la transversal) corta a dos paralelas $r$ y $s$, se forman $8$ ángulos que se agrupan en parejas con nombre propio.
Más los opuestos por el vértice y los adyacentes (suman $180^\circ$), en total solo aparecen dos medidas: cuatro ángulos agudos iguales entre sí y cuatro obtusos iguales entre sí, suplementarios de los agudos.
Algo útil para el último ejercicio: si una recta forma un ángulo $\alpha$ con una paralela, forma el mismo ángulo $\alpha$ con todas las demás paralelas (por correspondencia). Y cuando una recta corta a tres paralelas, en cada cruce se forman $4$ ángulos.
Tres rectas en el mismo plano
Si dos rectas cualesquiera $r$ y $s$ (no necesariamente paralelas) son cortadas por una tercera recta $t$, en cada cruce se forman cuatro ángulos, y en cada cruce los opuestos por el vértice son iguales y los adyacentes suman $180^\circ$. Si $r$ y $s$ no son paralelas, los correspondientes y los alternos internos no son iguales. Y al revés: si los correspondientes o los alternos internos resultan iguales, entonces $r \parallel s$. Además, si las tres rectas no son concurrentes, forman un triángulo.
Estamos analizando la estructura de una estantería moderna. Las baldas horizontales son paralelas entre sí y están atravesadas por un soporte inclinado. Sabiendo que el…
Estamos analizando la estructura de una estantería moderna. Las baldas horizontales son paralelas entre sí y están atravesadas por un soporte inclinado.
Sabiendo que el ángulo $\hat{1}$ mide $124^\circ$, utiliza las propiedades de los ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una secante para calcular, sin usar transportador, la medida de los ángulos $\hat{2}, \hat{3}$ y $\hat{4}$. Justifica cada respuesta (por ser opuestos por el vértice, correspondientes, alternos internos, etc.).
Observa la siguiente figura donde se muestran varios ángulos relacionados. Sabemos que las rectas $m$ y $n$ son paralelas. Si el ángulo $\hat{A} = 48^\circ$, calcula…
Observa la siguiente figura donde se muestran varios ángulos relacionados. Sabemos que las rectas $m$ y $n$ son paralelas. Si el ángulo $\hat{A} = 48^\circ$, calcula razonadamente el valor de los ángulos $\hat{B}$ y $\hat{C}$.
Dada una recta $r$ y un punto exterior $P$, sabemos que solo existe una recta paralela a $r$ que pasa por $P$. Imagina ahora que tenemos tres rectas paralelas entre sí…
Dada una recta $r$ y un punto exterior $P$, sabemos que solo existe una recta paralela a $r$ que pasa por $P$.
Imagina ahora que tenemos tres rectas paralelas entre sí ($r, s, t$) y dos rectas transversales ($m, n$) que no son paralelas entre ellas.
- a) ¿Cuál es el número total de ángulos que se forman en los puntos de intersección?
- b) Si todos los ángulos agudos formados por la recta $m$ con las paralelas miden $70^\circ$, y los ángulos agudos formados por la recta $n$ con las paralelas miden $55^\circ$, calcula el ángulo que forman entre sí las rectas $m$ y $n$.
Trazado de paralelas y perpendiculares
Con regla y escuadra se trazan paralelas y perpendiculares sin transportador.
Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela a ella.
Dibuja en tu cuaderno una recta $r$ y un punto $P$ que no pertenezca a ella. Utilizando tu escuadra y cartabón, traza una recta $s$ que pase por $P$ y sea paralela a…
Dibuja en tu cuaderno una recta $r$ y un punto $P$ que no pertenezca a ella. Utilizando tu escuadra y cartabón, traza una recta $s$ que pase por $P$ y sea paralela a $r$. ¿Cuántas rectas paralelas a $r$ pueden pasar por ese punto $P$?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Lugares geométricos: mediatriz, bisectriz y distancia a una recta
Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que cumplen una condición.
¿Por qué la mediatriz equidista de los extremos? Con el compás, se abre una misma medida desde $A$ y desde $B$ y se marcan dos arcos que se cruzan en dos puntos: cada uno está a igual distancia de $A$ que de $B$. La recta que pasa por esos dos puntos es la mediatriz. La bisectriz se traza con el compás de manera parecida: un arco desde el vértice marca un punto en cada lado; desde esos dos puntos, arcos iguales se cruzan en un punto de la bisectriz.
Distancia de un punto a una recta
Para decir «a qué distancia de la calle» está un punto, hay que elegir una medida. Un punto $P$ puede unirse con la recta $r$ por muchos segmentos, pero uno solo es el más corto: el perpendicular.
En el plano de un parque infantil, se quiere colocar una farola que esté exactamente a la misma distancia del tobogán ($T$) y de los columpios ($C$). La figura muestra…
En el plano de un parque infantil, se quiere colocar una farola que esté exactamente a la misma distancia del tobogán ($T$) y de los columpios ($C$). La figura muestra la posición de ambos y la distancia que los separa.
- a) ¿Qué nombre recibe la línea imaginaria donde deberían estar todos los puntos que cumplen esa condición?
- b) Si la distancia entre el tobogán y los columpios es de $12$ metros y colocas la farola en el punto medio del segmento $TC$, ¿a qué distancia estará la farola de cada uno de ellos?
- c) Dibuja en tu cuaderno un esquema del segmento $TC$ y su mediatriz.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dos avenidas principales de una ciudad se cruzan formando un ángulo de $72^\circ 15'$. Se quiere construir una calle peatonal que divida ese ángulo exactamente por la…
Dos avenidas principales de una ciudad se cruzan formando un ángulo de $72^\circ 15'$. Se quiere construir una calle peatonal que divida ese ángulo exactamente por la mitad.
- a) ¿Cómo se llama técnicamente la línea que representa esa calle peatonal?
- b) Calcula el valor del ángulo que formará la nueva calle con cada una de las avenidas.
- c) ¿Qué tipo de ángulo es el resultado (agudo, recto u obtuso)?
Regiones del plano: ¿más cerca de uno o de otro?
La mediatriz no solo marca los puntos que están a igual distancia: también separa el plano en dos regiones. Del lado de $M$ están todos los puntos que quedan más cerca de $M$ que de $P$; del lado de $P$, los que quedan más cerca de $P$.
¿Por qué? Sobre la mediatriz las distancias a $M$ y a $P$ son iguales. Al cruzarla hacia el lado de $M$, cada punto se acerca a $M$ y se aleja de $P$; por eso, de ese lado, siempre está más cerca de $M$.
Con las condiciones combinadas se obtienen puntos concretos. Por ejemplo, en un triángulo $ABC$, si se quiere un punto $P$ que esté a la misma distancia de $A$ que de $B$ (sobre la mediatriz de $AB$) y a la misma distancia de los lados $AC$ y $BC$ (sobre la bisectriz del ángulo $C$), se encuentra donde se cortan esas dos rectas.
Un arquitecto está diseñando una plaza con forma de triángulo escaleno cuyos vértices son tres fuentes situadas en los puntos $A$, $B$ y $C$ (la figura muestra un…
Un arquitecto está diseñando una plaza con forma de triángulo escaleno cuyos vértices son tres fuentes situadas en los puntos $A$, $B$ y $C$ (la figura muestra un esquema de la plaza). Quiere colocar una farola en un punto $P$ que cumpla dos condiciones:
-
Que esté a la misma distancia de la fuente $A$ que de la fuente $B$.
-
Que esté a la misma distancia de la calle que une $A$ con $C$ que de la calle que une $B$ con $C$.
¿Qué construcciones geométricas (mediatriz, bisectriz, etc.) debe realizar el arquitecto para encontrar el punto exacto de la farola? Explica la propiedad de los puntos de esas rectas que justifica tu respuesta.
Problemas con ángulos y bisectrices
Para resolver problemas, traduzca la situación a una igualdad con los datos de ángulos y despeje.
En un videojuego de estrategia, un rayo láser rebota en una superficie metálica. Se sabe que el ángulo de incidencia $\alpha$ y el ángulo de reflexión $\beta$ son…
En un videojuego de estrategia, un rayo láser rebota en una superficie metálica. Se sabe que el ángulo de incidencia $\alpha$ y el ángulo de reflexión $\beta$ son iguales.
Si el ángulo total que forman el rayo de entrada y el de salida es de $115^\circ 20'$, calcula cuánto mide el ángulo $\alpha$. Posteriormente, indica si el ángulo suplementario de $\alpha$ es agudo, recto u obtuso.
El ángulo $\alpha$ es tal que su suplementario mide el triple que su complementario. a) Plantea una igualdad lógica utilizando los conceptos de ángulo complementario…
El ángulo $\alpha$ es tal que su suplementario mide el triple que su complementario.
- a) Plantea una igualdad lógica utilizando los conceptos de ángulo complementario ($90^\circ - \alpha$) y suplementario ($180^\circ - \alpha$).
- b) Calcula el valor del ángulo $\alpha$.
- c) ¿Cómo clasificarías el ángulo $\alpha$ según su abertura?
Se consideran dos ángulos adyacentes, $\widehat{AOB}$ y $\widehat{BOC}$, que comparten el lado $OB$ y cuyos otros lados $OA$ y $OC$ forman una línea recta (es decir,…
Se consideran dos ángulos adyacentes, $\widehat{AOB}$ y $\widehat{BOC}$, que comparten el lado $OB$ y cuyos otros lados $OA$ y $OC$ forman una línea recta (es decir, $A$, $O$ y $C$ están alineados y los dos ángulos suman $180°$). Se trazan las bisectrices $OX$ del ángulo $\widehat{AOB}$ y $OY$ del ángulo $\widehat{BOC}$.
Demuestra, realizando el cálculo paso a paso, cuánto mide el ángulo $\widehat{XOY}$ formado por ambas bisectrices. ¿Depende este resultado de la medida individual de los ángulos iniciales? Justifica tu respuesta.
Relojes y regiones del plano
Un reloj es un círculo de $360^\circ$ dividido en $12$ horas: de una hora a la siguiente hay $360^\circ : 12 = 30^\circ$. El minutero recorre $360^\circ$ en $60$ minutos: $6^\circ$ por minuto. La aguja de las horas recorre $30^\circ$ en $60$ minutos: $0{,}5^\circ$ por minuto.
Otro tipo de problema: contar regiones. Con $n$ rectas secantes dos a dos, y sin que tres pasen por el mismo punto, cada recta nueva corta a todas las anteriores. Cada pedazo de la recta nueva divide una región en dos, así que la recta número $n$ agrega $n$ regiones.
| Rectas | Puntos de corte | Regiones |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 2 |
| 2 | 1 | 4 |
| 3 | 3 | 7 |
| 4 | 6 | 11 |
Por qué: la recta número $n$ corta a las $n - 1$ anteriores, así que queda partida en $n$ pedazos, y cada pedazo divide una región en dos: se suman $n$ regiones. Los puntos de corte son los pares de rectas: con $4$ rectas hay $\dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6$.
Un reloj de pared marca las 15:40 de la tarde. a) Calcula el ángulo que forman la aguja de las horas y la del minutero. Ten en cuenta que la aguja de las horas se…
Un reloj de pared marca las 15:40 de la tarde.
- a) Calcula el ángulo que forman la aguja de las horas y la del minutero. Ten en cuenta que la aguja de las horas se desplaza un poco al avanzar los minutos.
- b) ¿Cómo clasificarías ese ángulo según su abertura (agudo, recto, obtuso o llano)?
Calcula el ángulo exacto que forman las agujas de un reloj analógico cuando marca las 03:40. Pista: Ten en cuenta que la aguja de las horas no se queda fija en el 3,…
Calcula el ángulo exacto que forman las agujas de un reloj analógico cuando marca las 03:40.
Pista: Ten en cuenta que la aguja de las horas no se queda fija en el 3, sino que avanza proporcionalmente mientras el minutero se desplaza.
- a) ¿Cuántos grados avanza la aguja de las horas por cada minuto que pasa?
- b) Calcula la posición en grados de ambas agujas respecto a las 12:00 y halla la diferencia.
Se han dibujado cuatro rectas secantes en un plano de tal forma que cada una corta a todas las demás, pero nunca tres rectas pasan por el mismo punto. a) ¿Cuál es el…
Se han dibujado cuatro rectas secantes en un plano de tal forma que cada una corta a todas las demás, pero nunca tres rectas pasan por el mismo punto.
- a) ¿Cuál es el número máximo de puntos de intersección que se pueden formar?
- b) ¿En cuántas regiones queda dividido el plano?
Dibuja un esquema que lo represente y justifica tu respuesta contando las regiones.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Vuelva al principio: calles, vías y líneas de su cuaderno son paralelas, secantes o perpendiculares; cuando se cruzan, los ángulos se calculan con unas pocas relaciones, y la mediatriz y la bisectriz le dicen dónde poner la farola.