Proporcionalidad directa
En la pulpería, un paquete de postales de la Sele cuesta ₡1.200. Si compra 2 paquetes, paga el doble; si compra 3, paga el triple. ¿Siempre pasa lo mismo cuando algo "crece junto"? ¿Cómo hacemos para calcular cualquier cantidad sin equivocarnos? En esta página va a ver que hay un número que lo explica todo: la constante de proporcionalidad.
¿Qué es la proporcionalidad directa?
En un juego se compran gemas. Las gemas siempre tienen el mismo precio unitario. Mire la tabla y compruebe que el cociente precio : gemas siempre da lo mismo:
| Gemas | 100 | 200 | 300 | 400 |
|---|---|---|---|---|
| Precio (colones) | 1.500 | 3.000 | 4.500 | 6.000 |
Al pasar de 100 a 200 gemas (×2), el precio pasa de 1.500 a 3.000 (×2). Y además, $1.500 : 100 = 15$, $3.000 : 200 = 15$, $4.500 : 300 = 15$: la constante es $k = 15$ colones por gema.
También se cumple que la suma se conserva: el precio de 100 + 200 gemas es el precio de 100 más el de 200 ($1.500 + 3.000 = 4.500$).
En matemática, decimos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una por un número, la otra se multiplica por ese mismo número. Analice…
En matemática, decimos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una por un número, la otra se multiplica por ese mismo número. Analice las siguientes situaciones cotidianas e indique cuáles son de proporcionalidad directa:
- a) El número de seguidores de un streamer y la cantidad de likes que recibe en un video (suponiendo que todos sus seguidores le dan "me gusta").
- b) La edad de una persona y su altura en centímetros.
- c) El número de cajas de pizza que pide y el precio total que paga (si todas las pizzas cuestan lo mismo).
- d) La velocidad de un carro y el tiempo que tarda en llegar a su destino.
- e) Los kilogramos de manzanas que compra y el dinero que cuestan.
En tu videojuego favorito, puedes comprar "Gemas" para conseguir nuevos aspectos para tu personaje. Sabemos que las gemas siempre tienen el mismo precio unitario.…
En tu videojuego favorito, puedes comprar "Gemas" para conseguir nuevos aspectos para tu personaje. Sabemos que las gemas siempre tienen el mismo precio unitario. Completa la siguiente tabla de proporcionalidad en tu cuaderno para saber cuánto cuestan diferentes cantidades de gemas:
| Número de Gemas | $100$ | $200$ | $300$ | $500$ | $1.000$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Precio ( colones) | $1,50$ | $4,50$ |
Un skater* recorre una pista a una velocidad constante. En la primera parte del circuito, ha recorrido $150$ metros en $30$ segundos. Si mantiene el mismo ritmo durante…
Un skater recorre una pista a una velocidad constante. En la primera parte del circuito, ha recorrido $150$ metros en $30$ segundos. Si mantiene el mismo ritmo durante todo el trayecto:
- a) ¿Qué distancia recorrerá en $1$ minuto ($60$ segundos)?
- b) ¿Cuál es su constante de proporcionalidad (cuántos metros recorre por cada segundo)?
Reducción a la unidad
Un paquete de postales de la liga de fútbol contiene $6$ postales, y $3$ de estos paquetes cuestan $1800$ colones. Si queremos completar el álbum y decidimos comprar $8$…
Un paquete de postales de la liga de fútbol contiene $6$ postales, y $3$ de estos paquetes cuestan $1800$ colones. Si queremos completar el álbum y decidimos comprar $8$ paquetes iguales, ¿cuánto dinero gastaremos en total? Utilice el método de reducción a la unidad (calcule primero cuánto cuesta un solo paquete).
Para cocinar unos panqueques para $4$ personas, se necesitan exactamente $200$ gramos de harina. Si este fin de semana vienen sus primos a la casa y son un total de $6$…
Para cocinar unos panqueques para $4$ personas, se necesitan exactamente $200$ gramos de harina. Si este fin de semana vienen sus primos a la casa y son un total de $6$ personas, ¿qué cantidad de harina necesitará para que los panqueques salgan perfectos? Recuerde que las cantidades de la receta son directamente proporcionales al número de comensales.
Para cocinar una paella gigante para $12\text{ personas}$, el chef utiliza $1,5\text{ kg}$ de arroz y $3\text{ litros}$ de caldo. Si de repente se apuntan más personas y…
Para cocinar una paella gigante para $12\text{ personas}$, el chef utiliza $1,5\text{ kg}$ de arroz y $3\text{ litros}$ de caldo. Si de repente se apuntan más personas y ahora son $18$ en total, calcula mediante el método de reducción a la unidad qué cantidad de arroz y de caldo necesitará ahora el chef.
La regla de tres directa
Otra forma de resolver es plantear una proporción (igualdad de dos razones) y resolverla con productos cruzados. La regla de tres sirve como herramienta, pero entienda siempre qué significa: es la misma constante $k$ escrita de otra manera.
Otro ejemplo, directo:
$$\frac{2}{5} = \frac{10}{x} \quad\Rightarrow\quad 2x = 50 \quad\Rightarrow\quad x = 25$$En el dibujo, los productos cruzados son $3 \cdot x$ (el 3 de arriba a la izquierda con la $x$ de abajo a la derecha) y $450 \cdot 5$ (el 450 de abajo a la izquierda con el 5 de arriba a la derecha).
Observa la siguiente imagen que representa dos balanzas en equilibrio. En la primera balanza, $3$ cubos azules pesan exactamente $450$ gramos. En la segunda balanza,…
Observa la siguiente imagen que representa dos balanzas en equilibrio. En la primera balanza, $3$ cubos azules pesan exactamente $450$ gramos. En la segunda balanza, queremos saber cuánto pesan $5$ cubos iguales a los anteriores. Calcula el valor de la incógnita $x$.
Para celebrar el final del trimestre, un grupo de amigos quiere comprar "gemas" para su videojuego favorito. Han visto que un pack de $1200$ gemas cuesta…
Para celebrar el final del trimestre, un grupo de amigos quiere comprar "gemas" para su videojuego favorito. Han visto que un pack de $1200$ gemas cuesta $\text{₡}\ 7\,200$. Si un amigo tiene ahorrados exactamente $\text{₡}\ 10\,500$, ¿cuántas gemas podrá comprar si la relación es directamente proporcional?
Una impresora 3D tarda $4,5$ horas en imprimir una pieza de $270$ gramos de filamento. Queremos saber cuánto tardará en imprimir otra pieza de $420$ gramos, suponiendo…
Una impresora 3D tarda $4,5$ horas en imprimir una pieza de $270$ gramos de filamento. Queremos saber cuánto tardará en imprimir otra pieza de $420$ gramos, suponiendo el mismo ritmo.
- a) Explica por qué el peso de la pieza y el tiempo de impresión son magnitudes directamente proporcionales.
- b) Plantea la regla de tres directa y calcula el tiempo que tardará la pieza de $420$ gramos.
- c) ¿Cuántos gramos imprime la máquina en una hora? Comprueba tu resultado del apartado b) usando ese dato.
Tablas, escalas y repartos
La constante de proporcionalidad $k$ permite completar tablas: dado un valor, se multiplica o se divide por $k$.
Fórmulas proporcionales. Muchas fórmulas son de la forma $y = k \cdot x$. Si un rectángulo tiene altura fija de 3 cm, su área es $A = 3b$: con $b = 2, 4, 5$ cm, el área es $6, 12, 15\ \text{cm}^2$ y el cociente $A : b$ siempre da $3$. Lo mismo pasa con el perímetro de un hexágono regular de lado $l$: $P = 6l$, con $k = 6$ (lado 2 cm, $P = 12$ cm; lado 5 cm, $P = 30$ cm; en los dos casos $P : l = 6$). El porcentaje también es proporcional: el $25\,\%$ de una cantidad es $0{,}25$ veces esa cantidad, así que $k = 0{,}25$.
Escalas. En un mapa, la distancia real es proporcional a la del papel. Si 2 cm del mapa representan 5 km, entonces $k = 2{,}5$ km por cada cm, y 8,5 cm son $8{,}5 \cdot 2{,}5 = 21{,}25$ km. Una escala $1:25.000$ significa que 1 cm del mapa son 25.000 cm reales (250 m).
Unidades. Antes de calcular, pase todo a la misma unidad (cm a km, g a kg, minutos a horas). Si va a cambiar el resultado de unidad, hágalo al final.
Repartos proporcionales. Para repartir una cantidad según lo aportado, sume las partes y calcule cuánto vale cada una. Si Valeria, Sebastián y Mariana trabajaron 2, 3 y 5 horas y cobraron ₡20.000 en total: $2 + 3 + 5 = 10$ horas, cada hora vale 2.000 colones, y les tocan ₡4.000, ₡6.000 y ₡10.000.
Aumentos porcentuales. Si un valor sube un $20\,\%$, el nuevo valor es el original más su $20\,\%$: $100\,\% + 20\,\% = 120\,\%$, o sea que se multiplica por $1{,}2$. Si el kilómetro costaba ₡15 y la electricidad sube un $20\,\%$, ahora cuesta $15 \cdot 1{,}2 = 18$, es decir, ₡18 por kilómetro. La nueva constante $k$ es la anterior multiplicada por $1{,}2$.
Parte y todo. A veces se conoce el total de una mezcla y no uno de sus componentes. Entonces se calcula cuánto mide el total cuando el primer componente vale 1 y se divide.
Copia y completa la siguiente tabla de valores directamente proporcionales que relaciona la cantidad de kilogramos de pintura con la superficie que se puede cubrir.…
Copia y completa la siguiente tabla de valores directamente proporcionales que relaciona la cantidad de kilogramos de pintura con la superficie que se puede cubrir. Calcula también la constante de proporcionalidad $k$ expresada en $m^2/kg$.
| Pintura ($kg$) | $1,5$ | $3$ | ? | $10$ |
|---|---|---|---|---|
| Superficie ($m^2$) | $12$ | ? | $48$ | ? |
Tres agricultores han trabajado en la recolección de una finca de naranjas de forma proporcional al tiempo que cada uno ha dedicado. Si han cobrado en total…
Tres agricultores han trabajado en la recolección de una finca de naranjas de forma proporcional al tiempo que cada uno ha dedicado. Si han cobrado en total $\text{₡}\ 1500$ y los tiempos de trabajo han sido:
-
Agricultor A: $12\text{ horas}$
-
Agricultor B: $18\text{ horas}$
-
Agricultor C: $20\text{ horas}$
¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno de ellos?
Para teñir telas con tintes naturales, una artesana mezcla extracto de remolacha y agua. La cantidad de extracto es directamente proporcional al volumen de agua. En su…
Para teñir telas con tintes naturales, una artesana mezcla extracto de remolacha y agua. La cantidad de extracto es directamente proporcional al volumen de agua. En su cuaderno tiene anotado que para $1,5\ litros$ de agua necesita $120\ ml$ de extracto. Sin embargo, ella quiere preparar una tina con un volumen total de mezcla (agua + extracto) de $10,8\ litros$. ¿Qué cantidad exacta de agua y de extracto debe mezclar para mantener la proporción?
Proporcionalidad en la geometría: π y el área del rectángulo
La proporcionalidad también aparece en las figuras. Si mide la longitud $C$ de una circunferencia y su diámetro $d$, el cociente es siempre el mismo:
| Diámetro $d$ (cm) | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|
| Longitud $C$ (cm) | 6,28 | 15,7 | 31,4 |
$6{,}28 : 2 = 15{,}7 : 5 = 31{,}4 : 10 = 3{,}14$. Esa constante es $\pi \approx 3{,}14$, y la fórmula proporcional es $C = \pi \cdot d$. Como el diámetro es el doble del radio ($d = 2r$), también se escribe $C = 2\pi r$, con $k = 2\pi \approx 6{,}28$ respecto al radio.
Con el área del rectángulo, $A = b \cdot h$, hay una doble proporcionalidad. Si la altura queda fija en $h = 3$ cm, el área es proporcional a la base ($k = 3$). Si la base queda fija, el área es proporcional a la altura. Pero si cambian las dos a la vez, no: duplicar base y altura multiplica el área por $4$.
| Base (cm) | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|
| Área con $h = 3$ (cm²) | 6 | 12 | 24 |
Otras fórmulas geométricas no son proporcionales al lado $x$: el área del cuadrado $A = x^2$ se multiplica por $4$ si el lado se duplica, y el volumen del cubo $V = x^3$ se multiplica por $8$. Lo que sí es constante es el cociente $A : x^2 = 1$ y $V : x^3 = 1$.
En un mapa de la Sierra de Guadarrama, la escala indica que $2\text{ cm}$ en el papel representan $5\text{ km}$ en la realidad. Si para realizar una ruta de senderismo…
En un mapa de la Sierra de Guadarrama, la escala indica que $2\text{ cm}$ en el papel representan $5\text{ km}$ en la realidad. Si para realizar una ruta de senderismo entre dos pueblos la distancia medida sobre el mapa es de $8,5\text{ cm}$, ¿cuántos kilómetros recorrerán los excursionistas en la realidad?
La gráfica: una recta por el origen
Si representa los pares de valores de una proporcionalidad directa, los puntos quedan alineados y la recta pasa por $(0, 0)$: con cero gemas, no se paga nada. Pruebe con el deslizador cómo cambia la inclinación según la constante $k$.
La fórmula es $y = kx$. Para usar una gráfica: ubique un punto de la recta, lea sus dos coordenadas y calcule $k = y : x$. Con $k$ puede hallar cualquier otro valor. Mientras más inclinada la recta, mayor es $k$.
En las gráficas de proporcionalidad directa, la relación entre las dos magnitudes siempre se representa mediante una línea recta que pasa por el punto $(0,0)$. Observe…
En las gráficas de proporcionalidad directa, la relación entre las dos magnitudes siempre se representa mediante una línea recta que pasa por el punto $(0,0)$. Observe el siguiente gráfico que relaciona el número de lapiceros comprados y su costo total. Si $4$ lapiceros cuestan $3\,000$ colones, identifique el punto en el gráfico y calcule cuánto costarían $10$ lapiceros.
Un carro híbrido consume un promedio de $4,5\text{ litros}$ de combustible por cada $100\text{ km}$ recorridos. Si el tanque tiene una capacidad total de…
Un carro híbrido consume un promedio de $4,5\text{ litros}$ de combustible por cada $100\text{ km}$ recorridos. Si el tanque tiene una capacidad total de $54\text{ litros}$ y actualmente está lleno, ¿qué distancia máxima podrá recorrer el vehículo antes de quedarse sin combustible?
La siguiente gráfica muestra la relación entre el tiempo que está encendida una fuente de agua y los litros que arroja. Observa el punto marcado y determina cuántos…
La siguiente gráfica muestra la relación entre el tiempo que está encendida una fuente de agua y los litros que arroja. Observa el punto marcado y determina cuántos litros arrojará la fuente si se mantiene abierta durante $15\text{ minutos}$.
El siguiente gráfico muestra la relación entre el tiempo de carga de un nuevo modelo de smartphone y el porcentaje de batería recuperado. El fabricante afirma que la…
El siguiente gráfico muestra la relación entre el tiempo de carga de un nuevo modelo de smartphone y el porcentaje de batería recuperado. El fabricante afirma que la carga es directamente proporcional durante los primeros $40$ minutos.
- a) Observando el punto destacado, calcule cuántos minutos tarda el celular en cargar un $1\%$ de batería.
- b) Si el celular tiene actualmente un $12\%$ de batería y necesita salir de casa en $18$ minutos, ¿con qué porcentaje de batería saldrá?
En un taller de robótica, los alumnos están programando un dron para inspeccionar un parque natural. El dron consume batería de forma directamente proporcional a la…
En un taller de robótica, los alumnos están programando un dron para inspeccionar un parque natural. El dron consume batería de forma directamente proporcional a la distancia recorrida. Si para recorrer $2,5\ km$ el dron consume un $15\%$ de su batería total:
- a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad si expresamos la relación como "porcentaje de batería por cada kilómetro"?
- b) Si el punto de retorno está a $7.200\ metros$ de la base, ¿tendrá suficiente batería para ir y volver si despega con la carga completa? Justifica tu respuesta con cálculos.
Vuelva al principio: dos paquetes cuestan el doble, tres el triple, porque el precio es $k = 1.200$ colones por paquete multiplicado por la cantidad.