Intervalos, semirrectas y entornos
El pH seguro del agua de una piscina en Liberia, un IMC saludable, el margen de tolerancia de una pieza: todos son trozos de la recta real. Más adelante, para escribir el dominio de una función o la solución de una inecuación, usted va a necesitar un lenguaje preciso para nombrarlos. Eso son los intervalos, las semirrectas y los entornos.
Intervalos y semirrectas
Las semirrectas son intervalos con un solo extremo; el otro "se va" a infinito, que nunca se incluye porque no es un número.
Observa la representación gráfica del siguiente conjunto de números reales y exprésalo utilizando notación de intervalo y en forma de desigualdad.
Observa la representación gráfica del siguiente conjunto de números reales y exprésalo utilizando notación de intervalo y en forma de desigualdad.
Indica cuáles de los siguientes números pertenecen al intervalo $[-1,5; 3)$: $-2$, $-1,5$, $0$, $2,99$, $3$, $\pi$
Indica cuáles de los siguientes números pertenecen al intervalo $[-1,5; 3)$:
$-2$, $-1,5$, $0$, $2,99$, $3$, $\pi$
Escribe en forma de semirrecta el conjunto de todos los números reales que son menores o iguales que $7$.
Escribe en forma de semirrecta el conjunto de todos los números reales que son menores o iguales que $7$.
Asocie cada una de las siguientes frases con su correspondiente intervalo matemático: "Temperaturas bajo cero." "Edades entre 12 y 16 años, ambos inclusive." "Precios…
Asocie cada una de las siguientes frases con su correspondiente intervalo matemático:
-
"Temperaturas bajo cero."
-
"Edades entre 12 y 16 años, ambos inclusive."
-
"Precios superiores a 25.000 colones."
Entornos
Un entorno describe un intervalo a partir de su centro y de cuánto se aleja hacia cada lado: es la forma natural de hablar de "tolerancia" o "margen de error".
Escribe en forma de entorno $E(a, r)$ el intervalo abierto $(2, 10)$.
Escribe en forma de entorno $E(a, r)$ el intervalo abierto $(2, 10)$.
Expresa el entorno $E(-1, 4)$ como un intervalo y tradúcelo a una desigualdad.
Expresa el entorno $E(-1, 4)$ como un intervalo y tradúcelo a una desigualdad.
En el ámbito de la nutrición, se considera que el Índice de Masa Corporal (IMC) es saludable si se encuentra en el intervalo $[18,5; 24,9]$. Expresa este rango en forma…
En el ámbito de la nutrición, se considera que el Índice de Masa Corporal (IMC) es saludable si se encuentra en el intervalo $[18,5; 24,9]$. Expresa este rango en forma de entorno cerrado, calculando previamente su centro y su radio.
El precio de un videojuego en una tienda en línea osciló durante la semana dentro del entorno $E(12\,250; 900)$ colones. Determine el precio máximo y mínimo que alcanzó…
El precio de un videojuego en una tienda en línea osciló durante la semana dentro del entorno $E(12\,250; 900)$ colones. Determine el precio máximo y mínimo que alcanzó el videojuego y expréselo como un intervalo cerrado.
Valor absoluto y entornos
El valor absoluto (o módulo) $|x - a|$ mide la distancia entre $x$ y $a$ en la recta, sin importar cuál es mayor. Por eso $|x - a| < r$ se lee "$x$ está a menos de $r$ de $a$": es justamente el entorno $E(a, r)$, o sea $a - r < x < a + r$.
Expresa en forma de desigualdad y mediante un intervalo el conjunto de números reales cuya distancia al cero es estrictamente menor que $5$.
Expresa en forma de desigualdad y mediante un intervalo el conjunto de números reales cuya distancia al cero es estrictamente menor que $5$.
Una máquina produce ejes de acero cuya longitud ideal es de $120\text{ mm}$. El control de calidad permite un error máximo de $0,5\text{ mm}$. Expresa el rango de…
Una máquina produce ejes de acero cuya longitud ideal es de $120\text{ mm}$. El control de calidad permite un error máximo de $0,5\text{ mm}$. Expresa el rango de longitudes permitidas como un entorno, como una desigualdad con valor absoluto y, finalmente, como un intervalo.
Expresa mediante valor absoluto el conjunto de números reales cuya distancia al número $-2$ es menor o igual que $6$, y escribe el intervalo resultante.
Expresa mediante valor absoluto el conjunto de números reales cuya distancia al número $-2$ es menor o igual que $6$, y escribe el intervalo resultante.
Resuelve la inecuación con valor absoluto $|x - 4| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo y de entorno.
Resuelve la inecuación con valor absoluto $|x - 4| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo y de entorno.
Expresa el intervalo cerrado $[3,2; 8,8]$ en forma de entorno $E(a, r)$ y, a continuación, tradúcelo a una desigualdad con valor absoluto de la forma $|x - a| \le r$.…
Expresa el intervalo cerrado $[3,2; 8,8]$ en forma de entorno $E(a, r)$ y, a continuación, tradúcelo a una desigualdad con valor absoluto de la forma $|x - a| \le r$. Explica brevemente qué representan los parámetros $a$ y $r$ geométricamente en la recta real.
Determina el valor del parámetro $k$ para que el intervalo solución de la inecuación $|x - k| \le 5$ tenga como extremo superior el número $12$. Una vez calculado $k$,…
Determina el valor del parámetro $k$ para que el intervalo solución de la inecuación $|x - k| \le 5$ tenga como extremo superior el número $12$. Una vez calculado $k$, indica cuál es el extremo inferior del intervalo y exprésalo en forma de entorno.
Unión, intersección y diferencia de intervalos
Los intervalos son conjuntos, así que se combinan con las operaciones de conjuntos: la unión ($\cup$) junta todo lo que está en alguno de los dos; la intersección ($\cap$) se queda solo con lo común a ambos; la diferencia $A - B$ se queda con lo de $A$ que no está en $B$; y el complemento $A^c$ de un conjunto $A$ (respecto de $\mathbb{R}$) son todos los reales que no están en $A$.
Dados los intervalos $A = [-4, 3)$ y $B = (0, 6]$, determina el intervalo resultante de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.
Dados los intervalos $A = [-4, 3)$ y $B = (0, 6]$, determina el intervalo resultante de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.
En un acuario, los peces payaso viven bien a temperaturas comprendidas en el intervalo $(24, 28]$ ºC, mientras que los peces ángel las necesitan en el intervalo…
En un acuario, los peces payaso viven bien a temperaturas comprendidas en el intervalo $(24, 28]$ ºC, mientras que los peces ángel las necesitan en el intervalo $[26, 30)$ ºC. Determina en qué intervalo de temperaturas pueden convivir ambas especies y exprésalo como una desigualdad.
Encuentra todos los números enteros que pertenecen simultáneamente a los intervalos $(-3,2; 4]$ y $[0; 5,1)$.
Encuentra todos los números enteros que pertenecen simultáneamente a los intervalos $(-3,2; 4]$ y $[0; 5,1)$.
Sean los conjuntos $I = (-\infty, 2]$, $J = (-1, 5)$ y $K = [3, 8]$. Calcula el intervalo resultante de la operación $(I \cap J) \cup K$.
Sean los conjuntos $I = (-\infty, 2]$, $J = (-1, 5)$ y $K = [3, 8]$. Calcula el intervalo resultante de la operación $(I \cap J) \cup K$.
Encuentra el intervalo de números reales $x$ que cumplen simultáneamente las inecuaciones $3x - 2 < 7$ y $5 - x < 4$. Una vez hallado, exprésalo como entorno.
Encuentra el intervalo de números reales $x$ que cumplen simultáneamente las inecuaciones $3x - 2 < 7$ y $5 - x < 4$. Una vez hallado, exprésalo como entorno.
Intervalos en situaciones reales
Con entornos y valor absoluto se modelan márgenes de error: una pieza, un medidor, el pH de una piscina. Lo importante es pasar del lenguaje cotidiano al simbólico y comprobar que el resultado tenga sentido.
Amplitud de un intervalo y porcentajes
La amplitud (o longitud) de un intervalo de extremos $a < b$ es $b - a$, sin importar si los extremos están incluidos o no. Sirve para decir qué parte de un rango cumple una condición: se divide la amplitud del tramo que le interesa por la amplitud del rango total.
Un puente está diseñado para soportar cargas $C$ (en kg) que cumplan la condición $|C - 4500| \le 1500$. Por otra parte, una normativa local prohíbe el paso de vehículos…
Un puente está diseñado para soportar cargas $C$ (en kg) que cumplan la condición $|C - 4500| \le 1500$. Por otra parte, una normativa local prohíbe el paso de vehículos que superen los $5500\text{ kg}$. Determina el intervalo real de cargas que pueden circular por el puente cumpliendo ambas condiciones.
Para que el agua de una piscina sea segura, su pH debe estar estrictamente en el intervalo $[7,2; 7,6]$. Si disponemos de un medidor electrónico que tiene un error…
Para que el agua de una piscina sea segura, su pH debe estar estrictamente en el intervalo $[7,2; 7,6]$. Si disponemos de un medidor electrónico que tiene un error absoluto máximo de $0,1$, determine en qué intervalo debe dar la lectura el aparato para que tengamos la certeza absoluta de que el pH real es seguro. Expréselo también como entorno.
Un fabricante de tornillos acepta aquellos cuya longitud $L$ (en mm) cumple la condición $|L - 30| < 0,5$. Se recibe un lote de tornillos cuyas longitudes varían…
Un fabricante de tornillos acepta aquellos cuya longitud $L$ (en mm) cumple la condición $|L - 30| < 0,5$. Se recibe un lote de tornillos cuyas longitudes varían uniformemente en el intervalo $[29,2; 30,8]$. ¿Qué porcentaje del rango de longitudes de este lote será rechazado por el control de calidad?
La "zona de habitabilidad" de una estrella enana roja se define mediante un entorno de centro $0,8\text{ UA}$ y radio $0,2\text{ UA}$. Un exoplaneta tiene una órbita…
La "zona de habitabilidad" de una estrella enana roja se define mediante un entorno de centro $0,8\text{ UA}$ y radio $0,2\text{ UA}$. Un exoplaneta tiene una órbita elíptica cuya distancia al astro varía en el intervalo $[0,5; 1,1]\text{ UA}$. Determina qué intervalos de la órbita del planeta caen fuera de la zona de habitabilidad.
Vuelva al principio: el rango de pH seguro de la piscina, el IMC o la tolerancia de una pieza son intervalos, y la mejor manera de describirlos es con corchetes, paréntesis y entornos.