Inecuaciones con una incógnita
Valeria arma un puesto de tamales en la feria del agricultor. Paga ₡90.000 por el lugar, cada tamal le cuesta ₡1.200 de ingredientes y lo vende a ₡3.000. ¿Cuántos tamales tiene que vender para empezar a ganar plata? Eso es una inecuación. Todas se resuelven con la misma idea: llevar todo a un lado, factorizar o dejar un único cociente, y estudiar el signo por tramos.
Primer grado: despejar con cuidado
Una inecuación se resuelve como una ecuación, con una diferencia: al multiplicar o dividir por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
¿Por qué? Porque $2 < 5$, pero al multiplicar por $-1$ queda $-2 > -5$: el orden se da vuelta.
La solución es un conjunto de números, y se escribe como intervalo y se dibuja en la recta.
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado: $3(x - 2) + 4 \leq 5x - 8$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado: $3(x - 2) + 4 \leq 5x - 8$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación con denominadores: $\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} > 1$.
Resuelve la inecuación con denominadores: $\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} > 1$.
Resuelve la siguiente inecuación prestando atención a los signos negativos delante de las fracciones: $\frac{2x - 1}{4} - \frac{3x + 2}{6} \geq \frac{x - 5}{3} - 1$.
Resuelve la siguiente inecuación prestando atención a los signos negativos delante de las fracciones: $\frac{2x - 1}{4} - \frac{3x + 2}{6} \geq \frac{x - 5}{3} - 1$.
Segundo grado: el signo de la parábola
Para $ax^2 + bx + c \lessgtr 0$ pase todo a un lado, busque los ceros (factorizando o con la fórmula general) y observe el dibujo de la parábola:
-
si $a > 0$, abre hacia arriba: es negativa entre las raíces y positiva afuera;
-
si $a < 0$, es al revés;
-
si no tiene raíces reales ($\Delta < 0$), tiene siempre el signo de $a$;
-
si tiene un único cero ($\Delta = 0$), toca el eje en un solo punto: tiene el signo de $a$ en todas partes, salvo en ese cero, donde vale $0$.
¿Por qué? La parábola corta el eje $x$ solo en las raíces. Entre una raíz y la siguiente no puede cambiar de signo sin cruzar el eje.
Encuentra los valores de $x$ que verifican la inecuación de segundo grado, la cual ya se presenta factorizada: $(x - 4)(x + 2) < 0$.
Encuentra los valores de $x$ que verifican la inecuación de segundo grado, la cual ya se presenta factorizada: $(x - 4)(x + 2) < 0$.
Resuelve la siguiente inecuación incompleta de segundo grado y representa su solución en la recta real: $2x^2 - 18 \geq 0$.
Resuelve la siguiente inecuación incompleta de segundo grado y representa su solución en la recta real: $2x^2 - 18 \geq 0$.
Halla el intervalo solución de la inecuación de segundo grado: $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.
Halla el intervalo solución de la inecuación de segundo grado: $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.
Sistemas de inecuaciones
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita y expresa la solución como un único intervalo: $2x - 3 < 5$ $3x + 1 \geq -2$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita y expresa la solución como un único intervalo:
$2x - 3 < 5$
$3x + 1 \geq -2$
Estudia y resuelve el siguiente sistema formado por una inecuación de primer grado y otra de segundo grado: $3x - 5 \leq x + 1$ $x^2 - 7x + 10 > 0$
Estudia y resuelve el siguiente sistema formado por una inecuación de primer grado y otra de segundo grado:
$3x - 5 \leq x + 1$
$x^2 - 7x + 10 > 0$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y explica qué particularidad tiene su conjunto solución: $x^2 - 4x + 4 \leq 0$ $2x - 1 > 0$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y explica qué particularidad tiene su conjunto solución:
$x^2 - 4x + 4 \leq 0$
$2x - 1 > 0$
Grado superior: factorizando antes de estudiar el signo
Resuelve la inecuación polinómica de grado superior sacando factor común previamente: $x^3 - 4x^2 - 5x \leq 0$.
Resuelve la inecuación polinómica de grado superior sacando factor común previamente: $x^3 - 4x^2 - 5x \leq 0$.
Las ganancias mensuales de una fábrica de patinetas eléctricas, expresadas en miles de colones, vienen dadas por la función $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x$, donde $x$…
Las ganancias mensuales de una fábrica de patinetas eléctricas, expresadas en miles de colones, vienen dadas por la función $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x$, donde $x$ representa el número de cientos de patinetas fabricadas. ¿Cuántas patinetas deben fabricarse para que la empresa no tenga pérdidas (es decir, para que $B(x) \geq 0$)?
Racionales: signo del numerador y del denominador
Resuelve la inecuación racional sencilla estudiando el signo del numerador y del denominador: $\frac{x-3}{x+1} \leq 0$.
Resuelve la inecuación racional sencilla estudiando el signo del numerador y del denominador: $\frac{x-3}{x+1} \leq 0$.
Resuelve la inecuación racional: $\frac{2x + 1}{x - 2} > 3$. Recuerda pasar todos los términos a un miembro y operar para obtener un único cociente antes de estudiar los…
Resuelve la inecuación racional: $\frac{2x + 1}{x - 2} > 3$. Recuerda pasar todos los términos a un miembro y operar para obtener un único cociente antes de estudiar los signos.
Resuelve la inecuación racional en la que el numerador y el denominador son polinomios de segundo grado: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \leq 0$.
Resuelve la inecuación racional en la que el numerador y el denominador son polinomios de segundo grado: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \leq 0$.
Racionales con sumas de fracciones
Cuando hay varias fracciones, lo primero es el común denominador. Después se sigue igual: un único cociente, raíces de numerador y denominador, tabla de signos.
Resuelve la siguiente inecuación racional, realizando las sumas algebraicas necesarias para expresarla como un único cociente antes de estudiar los signos:…
Resuelve la siguiente inecuación racional, realizando las sumas algebraicas necesarias para expresarla como un único cociente antes de estudiar los signos: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} \geq \frac{3}{4}$.
Inecuaciones con valor absoluto
El valor absoluto (o módulo) $|A|$ es la distancia de $A$ a cero. Por eso:
-
$|A| \leq k$ significa $-k \leq A \leq k$ (un único tramo);
-
$|A| \geq k$ significa $A \leq -k$ o $A \geq k$ (dos semirrectas).
Lo mismo vale con $<$ y $>$.
Resuelve la inecuación con valor absoluto y expresa su solución como unión de intervalos: $|2x - 5| \geq 7$.
Resuelve la inecuación con valor absoluto y expresa su solución como unión de intervalos: $|2x - 5| \geq 7$.
Resuelve la inecuación con valor absoluto que incluye expresiones fraccionarias: $\left| \frac{3x - 1}{2} \right| < 4$.
Resuelve la inecuación con valor absoluto que incluye expresiones fraccionarias: $\left| \frac{3x - 1}{2} \right| < 4$.
Problemas con inecuaciones lineales
Para resolver un problema: elija la incógnita, traduzca la condición («como máximo» es $\leq$, «más de» es $>$, «como mínimo» es $\geq$), resuelva y verifique que la solución tenga sentido en el contexto (por ejemplo, si cuenta objetos, tiene que ser un número natural).
La suma del doble de un número natural y $5$ es estrictamente menor que $17$. Plantea la inecuación correspondiente y halla todos los números naturales que la cumplen.
La suma del doble de un número natural y $5$ es estrictamente menor que $17$. Plantea la inecuación correspondiente y halla todos los números naturales que la cumplen.
Una pequeña empresa de artesanía tiene unos gastos fijos mensuales de $150\,000$ colones y producir cada pulsera de cuero le cuesta $1\,000$ colones. Si vende cada…
Una pequeña empresa de artesanía tiene unos gastos fijos mensuales de $150\,000$ colones y producir cada pulsera de cuero le cuesta $1\,000$ colones. Si vende cada pulsera a $2\,500$ colones, ¿cuántas pulseras debe vender como mínimo al mes para empezar a obtener ganancias? Plantee y resuelva la inecuación.
Un furgón de reparto consume $8$ litros de combustible cada $100 \text{ km}$ en carretera y $12$ litros cada $100 \text{ km}$ en ciudad. Si en un trayecto de…
Un furgón de reparto consume $8$ litros de combustible cada $100 \text{ km}$ en carretera y $12$ litros cada $100 \text{ km}$ en ciudad. Si en un trayecto de $500 \text{ km}$ en total ha consumido menos de $45$ litros, ¿cuántos kilómetros como máximo ha podido recorrer por ciudad?
Problemas que llevan a segundo grado
Se quiere construir un jardín rectangular de modo que su largo sea $4$ metros mayor que su ancho $x$. Si se dispone de suficiente abono para cubrir como máximo…
Se quiere construir un jardín rectangular de modo que su largo sea $4$ metros mayor que su ancho $x$. Si se dispone de suficiente abono para cubrir como máximo $45 \text{ m}^2$, plantea una inecuación y determina los posibles valores que puede tomar el ancho $x$.
Se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba en un experimento escolar. Su altura $h$ en metros en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la…
Se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba en un experimento escolar. Su altura $h$ en metros en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina algebraicamente durante qué intervalo de tiempo el cohete estará por encima de los $17 \text{ m}$ de altura.
En un triángulo isósceles, los lados iguales miden $x \text{ cm}$ y el lado desigual mide $10 \text{ cm}$. Para que el triángulo pueda construirse, la suma de las…
En un triángulo isósceles, los lados iguales miden $x \text{ cm}$ y el lado desigual mide $10 \text{ cm}$. Para que el triángulo pueda construirse, la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera debe ser estrictamente mayor que la longitud del tercer lado. Además, se desea que su perímetro no supere los $36 \text{ cm}$. Plantea un sistema de inecuaciones y halla los posibles valores de $x$.
Parámetros y discriminante
Cuando el problema pregunta «¿para qué valores de $k$...?», casi siempre la condición se traduce al discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ de una ecuación de segundo grado:
-
$\Delta < 0$: sin soluciones reales;
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$\Delta = 0$: una solución doble;
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$\Delta > 0$: dos soluciones reales distintas.
Eso da una inecuación en $k$.
Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación de segundo grado $x^2 - kx + 9 = 0$ carece de soluciones reales. Plantea la inecuación correspondiente…
Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación de segundo grado $x^2 - kx + 9 = 0$ carece de soluciones reales. Plantea la inecuación correspondiente utilizando el discriminante y resuélvela.