Funciones radicales
Si usted suelta una pelota desde una altura $h$ (en metros), por ejemplo desde un puente sobre el río Tárcoles, tarda $t(h) = \sqrt{h/5}$ segundos en llegar al agua. Esta función tiene algo que no tenían las rectas ni las parábolas: no está definida para cualquier valor de $h$. No existen alturas negativas, y tampoco existe la raíz cuadrada de un número negativo. Antes de usar una función radical hay que averiguar, siempre, dónde está definida. Llamaremos criterio a la fórmula de la función y ámbito al conjunto de sus imágenes.
El dominio: el radicando no puede ser negativo
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x - 8}$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x - 8}$.
Halla el dominio de la función $g(x) = \sqrt{-3x + 12}$.
Halla el dominio de la función $g(x) = \sqrt{-3x + 12}$.
Determina el dominio de la función $f(x) = 3 - \sqrt{x + 5}$.
Determina el dominio de la función $f(x) = 3 - \sqrt{x + 5}$.
Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 16}$.
Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 16}$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 8}$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 8}$.
Calcular imágenes
Para hallar $f(a)$ se reemplaza $x=a$ en el radicando y se calcula la raíz. Si el radicando da negativo, $a$ no pertenece al dominio y la imagen no existe.
Como $\sqrt{\ }$ nunca da un número negativo, el ámbito de $f(x)=\sqrt{g(x)}$ siempre es parte de $[0, +\infty[$. Si además le suma una constante, como en $f(x) = -2 + \sqrt{3x-6}$, el ámbito se corre: va desde $-2$ hacia arriba, es decir $\mathrm{Ámbito}\,f = [-2, +\infty[$.
También puede pedirse la preimagen: para qué $x$ la función vale un número dado $k$. Se plantea $f(x)=k$, se aísla la raíz y se eleva al cuadrado (con $k \geq 0$ para una raíz sola).
Dada la función $f(x) = \sqrt{2x - 1}$, calcula el valor de sus imágenes para $x = 5$ y $x = 13$.
Dada la función $f(x) = \sqrt{2x - 1}$, calcula el valor de sus imágenes para $x = 5$ y $x = 13$.
Calcula el valor de $x$ para el cual la función $f(x) = \sqrt{5x + 1}$ toma el valor $4$.
Calcula el valor de $x$ para el cual la función $f(x) = \sqrt{5x + 1}$ toma el valor $4$.
Determina el dominio y el recorrido de la función $f(x) = -2 + \sqrt{3x - 6}$. Justifica tu respuesta analizando las características de la función radical.
Determina el dominio y el recorrido de la función $f(x) = -2 + \sqrt{3x - 6}$. Justifica tu respuesta analizando las características de la función radical.
Traslaciones de $y=\sqrt{x}$
Para escribir un criterio a partir de un desplazamiento, haga el camino inverso. Si $f(x)=\sqrt{x}$ se corre $3$ a la derecha y $2$ hacia arriba, queda $g(x)=\sqrt{x-3}+2$.
Algo parecido sirve para hallar parámetros: el dominio da el punto donde el radicando se anula y un punto de la curva da otra ecuación.
Observa las tres funciones representadas en la siguiente gráfica. Identifica cuál de ellas corresponde a la expresión $f(x) = \sqrt{x - 2}$ y justifica tu respuesta…
Observa las tres funciones representadas en la siguiente gráfica. Identifica cuál de ellas corresponde a la expresión $f(x) = \sqrt{x - 2}$ y justifica tu respuesta indicando su dominio.
Dada la función $f(x) = \sqrt{x}$, escribe la expresión analítica de la función $g(x)$ que resulta al desplazar la gráfica de $f(x)$ tres unidades hacia la derecha y dos…
Dada la función $f(x) = \sqrt{x}$, escribe la expresión analítica de la función $g(x)$ que resulta al desplazar la gráfica de $f(x)$ tres unidades hacia la derecha y dos unidades hacia arriba.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \sqrt{ax + b}$ tenga como dominio el intervalo $[-2, +\infty)$ y pase por el punto $(2, 4)$.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \sqrt{ax + b}$ tenga como dominio el intervalo $[-2, +\infty)$ y pase por el punto $(2, 4)$.
Observa las gráficas de las funciones $f(x) = \sqrt{x + 1}$ y $g(x) = \sqrt{-x + 1}$. Determina el dominio de cada una de ellas y calcula el punto exacto donde se…
Observa las gráficas de las funciones $f(x) = \sqrt{x + 1}$ y $g(x) = \sqrt{-x + 1}$. Determina el dominio de cada una de ellas y calcula el punto exacto donde se intersecan.
Intersecciones con los ejes y ecuaciones con raíz
Con el eje de las ordenadas: se calcula $f(0)$, si $0$ está en el dominio. Con el eje de las abscisas (ceros): se resuelve $f(x)=0$, aislando la raíz y elevando al cuadrado para eliminarla.
Para dos funciones radicales se iguala igual, pero además el punto debe estar en ambos dominios.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $h(x) = \sqrt{x + 4} - 2$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $h(x) = \sqrt{x + 4} - 2$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $f(x) = \sqrt{2x + 3} - 3$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $f(x) = \sqrt{2x + 3} - 3$.
Halla los puntos de intersección entre la recta $y = x - 2$ y la función radical $y = \sqrt{x + 4}$. Comprueba que la solución obtenida pertenece al dominio de ambas…
Halla los puntos de intersección entre la recta $y = x - 2$ y la función radical $y = \sqrt{x + 4}$. Comprueba que la solución obtenida pertenece al dominio de ambas funciones y satisface la ecuación original.
Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, determina los valores de $x$ para los cuales la función está definida. A continuación, calcula los puntos exactos donde la…
Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, determina los valores de $x$ para los cuales la función está definida. A continuación, calcula los puntos exactos donde la función toma el valor $\sqrt{5}$.
Radicales en contexto y a trozos
La raíz cuadrada aparece cuando una magnitud depende del cuadrado de otra y queremos despejar la segunda: periodos de péndulos, velocidad de un tsunami, distancia al horizonte, el lado de un cuadrado a partir de su área, o el costo de producir lotes en una fábrica. Siempre conviene distinguir el dominio del criterio del dominio de la situación (una longitud o una cantidad de unidades no puede ser negativa).
Cuando la función depende de la raíz con un coeficiente, se despeja la raíz y luego se eleva al cuadrado. Además, si una variable está bajo la raíz, para multiplicar la imagen por $k$ hay que multiplicar la variable por $k^2$.
También puede pedirse expresar una variable en función de otra: si $A=a^2$ con $a>0$, entonces $a=\sqrt{A}$, y de ahí se sustituye en otras fórmulas, como $V=a^3=(\sqrt{A})^3$.
Tasa de variación media
Una función radical no crece a ritmo constante, pero podemos medir cuánto cambia, en promedio, entre dos valores de la variable. Esto es ampliación; se usa solo la fórmula de la pendiente.
También se pueden armar funciones a trozos con raíces. Por ejemplo, $f(x)=\sqrt{-x}$ si $x\le 0$ y $f(x)=\sqrt{x}$ si $x>0$ está definida en todo $\mathbb{R}$. Es simétrica respecto del eje de las ordenadas porque $f(-x)=f(x)$ (función par), y se une sin saltos en $x=0$ porque ambos trozos valen $0$ ahí.
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer desde una altura $h$ (en metros) se puede aproximar mediante la función $t(h) = \sqrt{\frac{h}{5}}$. ¿Cuánto…
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer desde una altura $h$ (en metros) se puede aproximar mediante la función $t(h) = \sqrt{\frac{h}{5}}$. ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo una pelota que se deja caer desde un puente de $45$ metros de altura?
El periodo $T$ (en segundos) de un péndulo simple viene dado por la función $T(L) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{10}}$, donde $L$ es la longitud del hilo en metros. Si queremos…
El periodo $T$ (en segundos) de un péndulo simple viene dado por la función $T(L) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{10}}$, donde $L$ es la longitud del hilo en metros. Si queremos construir un péndulo que tenga un periodo de exactamente $2$ segundos, ¿qué longitud debe tener el hilo? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).
La velocidad $v$ (en km/h) a la que se propaga un tsunami en el océano depende de la profundidad $d$ (en metros) del agua, según la función $v(d) = 11,2 \sqrt{d}$. Si se…
La velocidad $v$ (en km/h) a la que se propaga un tsunami en el océano depende de la profundidad $d$ (en metros) del agua, según la función $v(d) = 11,2 \sqrt{d}$. Si se ha detectado que un tsunami avanza a una velocidad de $336$ km/h, ¿a qué profundidad se encuentra el océano en ese punto?
El radio $r$ de un círculo en función de su área $A$ viene dado por $r(A) = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$. Calcula la tasa de variación media del radio cuando el área pasa de…
El radio $r$ de un círculo en función de su área $A$ viene dado por $r(A) = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$. Calcula la tasa de variación media del radio cuando el área pasa de $100\pi$ a $400\pi$ unidades cuadradas.
La distancia $d$ (en km) a la que se encuentra el horizonte para un observador situado a una altura $h$ (en metros) sobre el nivel del mar se puede aproximar mediante la…
La distancia $d$ (en km) a la que se encuentra el horizonte para un observador situado a una altura $h$ (en metros) sobre el nivel del mar se puede aproximar mediante la función $d(h) = 3,57 \sqrt{h}$. Si te encuentras en la parte superior de un faro a $10$ metros de altura, ¿cuántos metros adicionales tendrías que subir para que la distancia al horizonte visible se duplique?
El costo de producción $C$ (en colones) de una fábrica de componentes electrónicos depende del número de unidades producidas $x$ según la función…
El costo de producción $C$ (en colones) de una fábrica de componentes electrónicos depende del número de unidades producidas $x$ según la función $C(x) = 100\,000 + 5\,000\sqrt{x - 100}$. Determine el dominio de la función en este contexto. Si el costo de un lote fue de $175\,000$ colones, ¿cuántas unidades se produjeron?
La relación entre el volumen $V$ de un cubo y su arista $a$ es $V = a^3$. Sin embargo, si consideramos el área de una de sus caras $A = a^2$, expresa la arista $a$ en…
La relación entre el volumen $V$ de un cubo y su arista $a$ es $V = a^3$. Sin embargo, si consideramos el área de una de sus caras $A = a^2$, expresa la arista $a$ en función del área $A$. Luego, expresa el volumen $V$ en función del área $A$ usando una función radical y calcula el volumen si el área de una cara es $25 \text{ cm}^2$.
Observa la siguiente función definida a trozos y su representación gráfica:…
Observa la siguiente función definida a trozos y su representación gráfica:
$f(x) = \begin{cases} \sqrt{-x} & \text{si } x \le 0 \\ \sqrt{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$
Estudia su dominio, razona si es una función continua en $x=0$ y demuestra algebraicamente si posee algún tipo de simetría (par o impar).
Vuelva al principio: en $t(h) = \sqrt{h/5}$ la condición $h/5 \geq 0$ exige $h \geq 0$: el dominio es $[0, +\infty[$, y coincide con el de la situación física, porque no tiene sentido hablar de alturas negativas.