Sistemas de ecuaciones lineales
En un taller de Heredia hay carros y motos: 35 vehículos en total y 110 llantas. Con una sola ecuación y dos incógnitas no alcanza para saber cuántos hay de cada uno, pero el enunciado le da dos datos independientes. Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, y con dos pistas sí hay una respuesta. Vamos a repasar cómo encontrarla.
Qué es un sistema y cómo se comprueba una solución
Para comprobar una solución se reemplaza en las dos ecuaciones: $20+15=35$ ✓ y $4\cdot20+2\cdot15=80+30=110$ ✓. Si cumple solo una, no es solución del sistema.
Comprueba si el par de valores $(x, y) = (2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales: $3x + 2y = 4$ $x - 4y = 6$
Comprueba si el par de valores $(x, y) = (2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$3x + 2y = 4$
$x - 4y = 6$
En un taller de reparación de vehículos hay entre carros y motos un total de $35$ vehículos. Si contamos las llantas de todos ellos (sin tomar en cuenta las de…
En un taller de reparación de vehículos hay entre carros y motos un total de $35$ vehículos. Si contamos las llantas de todos ellos (sin tomar en cuenta las de repuesto), hay un total de $110$ llantas. ¿Cuántos carros y cuántas motos hay en el taller?
Tres métodos para resolver
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución: $x = 2y + 5$ $3x - 4y = 11$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución:
$x = 2y + 5$
$3x - 4y = 11$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación: $y = 3x - 2$ $y = -x + 6$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación:
$y = 3x - 2$
$y = -x + 6$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción: $5x + 3y = 21$ $2x - 3y = 0$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción:
$5x + 3y = 21$
$2x - 3y = 0$
Sistemas que primero hay que ordenar
A veces el sistema trae paréntesis o denominadores. Antes de aplicar un método, se lleva a la forma $ax+by=c$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente para eliminar los paréntesis: $2(x - 3) + 3(y + 1) = 4$ $x - 4(y + 2) = -10$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente para eliminar los paréntesis:
$2(x - 3) + 3(y + 1) = 4$
$x - 4(y + 2) = -10$
Resuelve el siguiente sistema eliminando primero los denominadores: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$ $\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$
Resuelve el siguiente sistema eliminando primero los denominadores:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$
$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, simplificando previamente las expresiones con fracciones y paréntesis:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, simplificando previamente las expresiones con fracciones y paréntesis:
$\frac{3(x - 1)}{2} + \frac{y + 2}{4} = \frac{11}{4}$
$\frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{2} = \frac{3}{2}$
Significado gráfico: dos rectas
Cada ecuación lineal es una recta en el plano. La solución del sistema es el punto donde las rectas se cortan, si es que se cortan. Mueva los deslizadores y observe qué pasa con el punto de intersección.
Para graficar a mano, despeje $y$ en cada ecuación, haga una tabla con dos o tres puntos y trace las rectas. Lea las coordenadas del punto de corte y verifíquelas en ambas ecuaciones.
En el programa del MEP los tres casos se nombran así: solución única (las rectas se cortan), solución vacía (paralelas) e infinitas soluciones (coincidentes).
Observa la representación gráfica de dos rectas que forman un sistema de ecuaciones lineales. Indica cuál es la solución del sistema y clasifícalo según su número de…
Observa la representación gráfica de dos rectas que forman un sistema de ecuaciones lineales. Indica cuál es la solución del sistema y clasifícalo según su número de soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible).
Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales e indica su solución a partir de la gráfica: $x + y = 5$ $2x - y = 4$ Puedes hacerlo en papel y…
Representa gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales e indica su solución a partir de la gráfica:
$x + y = 5$
$2x - y = 4$
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Clasificar sin resolver
Mirando los coeficientes de $\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}$ puede saber cuántas soluciones tiene, sin resolverlo.
Observa la siguiente representación gráfica de un sistema formado por dos rectas, $r_1$ y $r_2$, cuyas ecuaciones son de la forma $ax+by=c$ y $a'x+b'y=c'$. A partir del…
Observa la siguiente representación gráfica de un sistema formado por dos rectas, $r_1$ y $r_2$, cuyas ecuaciones son de la forma $ax+by=c$ y $a'x+b'y=c'$. A partir del gráfico, clasifica el sistema según su número de soluciones y explica qué relación algebraica debe existir entre los coeficientes de ambas ecuaciones para que se dé esta situación.
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea incompatible (es decir, que las rectas que lo representan sean paralelas):…
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea incompatible (es decir, que las rectas que lo representan sean paralelas):
$kx + 3y = 5$
$4x - 2y = 7$
Determina el valor del parámetro $m$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones (sea un sistema compatible indeterminado): $3x - my = 12$ $-6x + 8y = -24$
Determina el valor del parámetro $m$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones (sea un sistema compatible indeterminado):
$3x - my = 12$
$-6x + 8y = -24$
Problemas con sistemas lineales
La suma de dos números es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el valor de ambos números.
La suma de dos números es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el valor de ambos números.
En una cafetería, por $3$ cafés y $2$ cruasanes nos han cobrado $3\,750$ colones. Si compramos $1$ café y $4$ cruasanes del mismo tipo, el precio es de $3\,250$ colones.…
En una cafetería, por $3$ cafés y $2$ cruasanes nos han cobrado $3\,750$ colones. Si compramos $1$ café y $4$ cruasanes del mismo tipo, el precio es de $3\,250$ colones. ¿Cuánto cuesta cada café y cada cruasán?
Un comerciante mezcla aceite de oliva de $2\,000$ colones/litro con aceite de girasol de $1\,000$ colones/litro para obtener $60$ litros de una mezcla que venderá a…
Un comerciante mezcla aceite de oliva de $2\,000$ colones/litro con aceite de girasol de $1\,000$ colones/litro para obtener $60$ litros de una mezcla que venderá a $1\,750$ colones/litro. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos litros de cada tipo de aceite ha utilizado.
Edades, perímetros y punto de equilibrio
Hay problemas donde las dos relaciones no se ven a primera vista: están escondidas en el tiempo, en una fórmula o en el dinero.
En un rectángulo de largo $x$ y ancho $y$, el perímetro da una ecuación, $2x+2y=P$, y la comparación entre largo y ancho da la otra.
Hace $5$ años, la edad de una madre era el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad de la madre será el doble que la del hijo. Plantea un sistema de…
Hace $5$ años, la edad de una madre era el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad de la madre será el doble que la del hijo. Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular las edades actuales de ambos.
El perímetro de una parcela rectangular mide $120$ metros. Si el largo de la parcela mide $10$ metros más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?
El perímetro de una parcela rectangular mide $120$ metros. Si el largo de la parcela mide $10$ metros más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?
En una alcancía hay $40$ monedas, algunas de $100$ colones y otras de $250$ colones. Si en total hay $6\,250$ colones, ¿cuántas monedas de cada tipo contiene la alcancía?
En una alcancía hay $40$ monedas, algunas de $100$ colones y otras de $250$ colones. Si en total hay $6\,250$ colones, ¿cuántas monedas de cada tipo contiene la alcancía?
Porcentajes y mezclas
Cuando aparece un porcentaje, una relación suma las cantidades y la otra suma lo que aporta cada una (interés, descuento o ácido puro).
Las mezclas de disoluciones se plantean igual: una ecuación para los litros totales y otra para los litros de sustancia pura (porcentaje por litros).
En una tienda de electrónica, una computadora portátil y una tableta cuestan juntos $750\,000$ colones. Durante la semana de ofertas, aplican un descuento del $15\,\%$ a…
En una tienda de electrónica, una computadora portátil y una tableta cuestan juntos $750\,000$ colones. Durante la semana de ofertas, aplican un descuento del $15\,\%$ a la computadora portátil y un $10\,\%$ a la tableta, por lo que el precio conjunto pasa a ser de $652\,500$ colones. Plantee un sistema de ecuaciones para averiguar el precio original de cada artículo.
En un laboratorio se dispone de dos disoluciones de un mismo ácido, una al $10\,\%$ de concentración y otra al $25\,\%$. Se desea obtener $45$ litros de una nueva…
En un laboratorio se dispone de dos disoluciones de un mismo ácido, una al $10\,\%$ de concentración y otra al $25\,\%$. Se desea obtener $45$ litros de una nueva disolución al $16\,\%$ de concentración. ¿Cuántos litros de cada disolución original se deben mezclar?
Una persona invierte un total de $12\,500\,000$ colones en dos fondos de inversión diferentes. El primer fondo le ofrece un interés anual del $4\,\%$, mientras que el…
Una persona invierte un total de $12\,500\,000$ colones en dos fondos de inversión diferentes. El primer fondo le ofrece un interés anual del $4\,\%$, mientras que el segundo le ofrece un $6\,\%$. Si al cabo de un año los beneficios totales obtenidos por ambos fondos ascienden a $660\,000$ colones, ¿qué cantidad de dinero invirtió en cada uno de ellos?
Encuentros y velocidades
Dos ciclistas salen al mismo tiempo de dos ciudades, A y B, separadas por $78$ km, y se dirigen el uno hacia el otro en línea recta. Tardan exactamente $3$ horas en…
Dos ciclistas salen al mismo tiempo de dos ciudades, A y B, separadas por $78$ km, y se dirigen el uno hacia el otro en línea recta. Tardan exactamente $3$ horas en encontrarse. Si la velocidad del primer ciclista es $4$ km/h mayor que la del segundo, ¿a qué velocidad circula cada uno?
Vuelva al principio: en el taller, con $x$ carros e $y$ motos, $x+y=35$ y $4x+2y=110$ dan $20$ carros y $15$ motos.