Función lineal y función afín. Polinomio de primer grado
Un taxi en San José cobra una tarifa inicial y después una cantidad fija por cada kilómetro. ¿Cómo se escribe esa regla con una fórmula y qué dice cada número de ella? En esta página usted verá que una sola expresión, $mx + n$, describe todas las situaciones de este tipo.
El polinomio de primer grado como función
Según los valores de $m$ y $n$ hay tres casos:
Mueva $m$ y $n$ y fíjese en qué cambia: $m$ inclina la recta y $n$ la sube o la baja.
Identifique la pendiente $m$ y la ordenada en el origen $n$ de las siguientes funciones lineales: a) $y = -4x + 7$ b) $y = \frac{2}{5}x$ c) $y = -3$
Identifique la pendiente $m$ y la ordenada en el origen $n$ de las siguientes funciones lineales:
- a) $y = -4x + 7$
- b) $y = \frac{2}{5}x$
- c) $y = -3$
Escriba la ecuación de la recta que tiene una pendiente de $5$ y cuya ordenada en el origen es $-2$.
Escriba la ecuación de la recta que tiene una pendiente de $5$ y cuya ordenada en el origen es $-2$.
Clasifique las siguientes funciones en función de proporcionalidad directa (lineal estricta), función afín o función constante: a) $f(x) = 3x - 1$ b)…
Clasifique las siguientes funciones en función de proporcionalidad directa (lineal estricta), función afín o función constante:
- a) $f(x) = 3x - 1$
- b) $g(x) = \frac{x}{4}$
- c) $h(x) = 8$
Imágenes y antiimágenes
Calcular la imagen de $a$ es hallar $f(a)$: se reemplaza $x$ por $a$. Calcular la preimagen de $b$ es hallar los $x$ tales que $f(x) = b$: hay que resolver la ecuación $mx + n = b$.
Esto sirve para hallar las intersecciones con los ejes. La ordenada en el origen es $f(0) = n$: el punto $(0, n)$. El cero de la función es la preimagen de $0$ (intersección con el eje de las abscisas): se resuelve $mx + n = 0$, o sea $x = -\dfrac{n}{m}$.
La tarifa de un taxi está dada por la función $C(x) = 750x + 1\,500$, donde $C(x)$ es el costo en colones y $x$ es la distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuánto costará…
La tarifa de un taxi está dada por la función $C(x) = 750x + 1\,500$, donde $C(x)$ es el costo en colones y $x$ es la distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuánto costará un viaje de $8$ kilómetros?
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas (eje X y eje Y) de la recta $y = 3x - 12$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas (eje X y eje Y) de la recta $y = 3x - 12$.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ al cortarse con los ejes de coordenadas en el primer cuadrante.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ al cortarse con los ejes de coordenadas en el primer cuadrante.
Pertenencia de un punto a la gráfica
Un punto $P(a, b)$ pertenece a la gráfica de $f$ si y solo si $f(a) = b$. Se reemplaza y se compara.
Comprueba analíticamente si los puntos $A(2, 5)$ y $B(-1, -3)$ pertenecen a la gráfica de la función $y = 2x + 1$.
Comprueba analíticamente si los puntos $A(2, 5)$ y $B(-1, -3)$ pertenecen a la gráfica de la función $y = 2x + 1$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y = kx + 5$ pase por el punto $(3, -4)$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y = kx + 5$ pase por el punto $(3, -4)$.
Hallar la ecuación de la recta
Para escribir $y = mx + n$ se necesitan dos datos. Los casos más comunes:
Pendiente y ordenada en el origen: se escribe directo.
Pendiente y un punto $(x_0, y_0)$: se reemplaza en $y = mx + n$ y se despeja $n$.
Dos puntos: primero la pendiente, $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, y después $n$ como en el caso anterior.
¿Por qué? La pendiente mide cuánto sube $y$ por cada unidad que avanza $x$; en una recta ese cociente es el mismo entre cualquier par de puntos.
También se puede leer la recta de una gráfica: la ordenada en el origen es donde corta al eje $y$, y la pendiente se obtiene con dos puntos claros de la recta.
Rectas paralelas: tienen la misma pendiente. Rectas coincidentes: misma pendiente y misma ordenada en el origen. Para saber dónde se cortan dos rectas, se igualan sus criterios y se resuelve.
Encuentra la ecuación de la recta que tiene pendiente $m = -2$ y que pasa por el punto $(1, 4)$.
Encuentra la ecuación de la recta que tiene pendiente $m = -2$ y que pasa por el punto $(1, 4)$.
A partir de la siguiente representación gráfica, determine la pendiente, la ordenada en el origen y la ecuación de la recta.
A partir de la siguiente representación gráfica, determine la pendiente, la ordenada en el origen y la ecuación de la recta.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, -7)$.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, -7)$.
Halla la ecuación de la recta que es paralela a $y = 3x - 2$ y que pasa por el punto $(-1, 4)$.
Halla la ecuación de la recta que es paralela a $y = 3x - 2$ y que pasa por el punto $(-1, 4)$.
Halla analíticamente el punto de intersección de las rectas $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Comprueba que tu resultado coincide con el punto señalado en la siguiente…
Halla analíticamente el punto de intersección de las rectas $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Comprueba que tu resultado coincide con el punto señalado en la siguiente gráfica.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ al cortarse con los ejes de coordenadas en el primer cuadrante.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ al cortarse con los ejes de coordenadas en el primer cuadrante.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto $(0, 5)$ y que forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de área $10$ unidades cuadradas en el…
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto $(0, 5)$ y que forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de área $10$ unidades cuadradas en el primer cuadrante.
La recta $r$ pasa por los puntos $(1, 2)$ y $(3, 8)$. La recta $s$ es paralela a $r$ y su ordenada en el origen es la mitad de la ordenada en el origen de $r$. Determine…
La recta $r$ pasa por los puntos $(1, 2)$ y $(3, 8)$. La recta $s$ es paralela a $r$ y su ordenada en el origen es la mitad de la ordenada en el origen de $r$. Determine la ecuación de la recta $s$.
Dadas las rectas $y = (2m - 1)x + 5$ e $y = 3x - n$, determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que ambas ecuaciones representen exactamente la misma recta…
Dadas las rectas $y = (2m - 1)x + 5$ e $y = 3x - n$, determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que ambas ecuaciones representen exactamente la misma recta (rectas coincidentes).
Halla los valores de $a$ y $b$ para que la recta $y = ax + b$ cumpla simultáneamente dos condiciones: ser paralela a la recta $y = \frac{1}{2}x$ y pasar por el punto de…
Halla los valores de $a$ y $b$ para que la recta $y = ax + b$ cumpla simultáneamente dos condiciones: ser paralela a la recta $y = \frac{1}{2}x$ y pasar por el punto de intersección de las rectas $y = 2x - 4$ e $y = -x + 5$.
Modelizar con funciones de primer grado
Al leer un enunciado, busque primero si hay un valor fijo que no depende de $x$ (eso es $n$) y después cuánto cambia $y$ por cada unidad de $x$ (eso es $m$). Si hay valor fijo distinto de cero, la función es afín. Si el valor disminuye con el tiempo, $m$ es negativa.
(La gráfica está en miles de colones.)
Cuando hay costos e ingresos, se arman dos funciones y se estudia su diferencia (la ganancia). Si una condición dice "al menos", se resuelve una inecuación de primer grado: $G(x) \geq$ valor pedido.
El punto de equilibrio es la cantidad $x$ en la que el ingreso iguala al costo, es decir, $R(x) = C(x)$ o, lo que es lo mismo, $G(x) = 0$. Ahí no hay ganancia ni pérdida: el costo inicial más el costo por unidad es igual al ingreso.
Si dos magnitudes se relacionan linealmente, dos pares de valores alcanzan para hallar la fórmula (como en la conversión de grados Celsius a Fahrenheit).
Si $y = mx + n$ con $m \neq 0$, se puede despejar $x$ y obtener la función inversa.
Las tarifas que cambian de regla después de cierto tiempo (como un parqueo) usan una función definida por partes: un criterio afín para cada tramo, con la condición sobre $t$ al lado.
Cuando la gráfica son segmentos de recta, cada tramo se obtiene con dos de sus puntos. Si la gráfica es distancia-tiempo, la pendiente de un tramo es la velocidad.
Un fontanero cobra $15\,000$ colones por el desplazamiento a domicilio, más $7\,500$ colones por cada hora de trabajo. Escriba la expresión algebraica de la función que…
Un fontanero cobra $15\,000$ colones por el desplazamiento a domicilio, más $7\,500$ colones por cada hora de trabajo. Escriba la expresión algebraica de la función que relaciona el costo con el tiempo trabajado y calcule cuánto cobrará por una reparación que le toma $3,5$ horas.
Un depósito de agua contiene inicialmente $800$ litros y se está vaciando a un ritmo constante de $20$ litros por minuto. Escribe la función que relaciona el volumen de…
Un depósito de agua contiene inicialmente $800$ litros y se está vaciando a un ritmo constante de $20$ litros por minuto. Escribe la función que relaciona el volumen de agua en el depósito con el tiempo transcurrido y calcula en qué minuto el depósito se vaciará por completo.
La relación entre la temperatura en grados Celsius ($^\circ C$) y grados Fahrenheit ($^\circ F$) es lineal. Sabemos que el agua se congela a $0^\circ C$, que equivale a…
La relación entre la temperatura en grados Celsius ($^\circ C$) y grados Fahrenheit ($^\circ F$) es lineal. Sabemos que el agua se congela a $0^\circ C$, que equivale a $32^\circ F$, y hierve a $100^\circ C$, que equivale a $212^\circ F$. Encuentra la función lineal que permite convertir grados Celsius ($x$) a grados Fahrenheit ($y$).
Una fábrica de tenis tiene unos costos fijos mensuales de $2\,500\,000$ colones. Además, producir cada par de tenis cuesta $7\,500$ colones. Si la empresa vende cada par…
Una fábrica de tenis tiene unos costos fijos mensuales de $2\,500\,000$ colones. Además, producir cada par de tenis cuesta $7\,500$ colones. Si la empresa vende cada par a $20\,000$ colones, escriba las funciones de costo $C(x)$ e ingresos $R(x)$. ¿Cuántos pares de tenis deben vender al mes para obtener una ganancia de al menos $1\,000\,000$ colones?
Un parqueo cobra $1\,250$ colones por la primera hora (o fracción de hora). A partir de la primera hora, cobra $25$ colones por cada minuto adicional. Escriba la función…
Un parqueo cobra $1\,250$ colones por la primera hora (o fracción de hora). A partir de la primera hora, cobra $25$ colones por cada minuto adicional. Escriba la función definida por partes $C(t)$ que representa el costo total en colones en función del tiempo $t$ en minutos que un vehículo está parqueado.
La longitud $L$ de un muelle elástico, medida en centímetros, viene dada por la función $L(p) = 15 + 0,2p$, donde $p$ es el peso colgado en gramos. Halla la expresión de…
La longitud $L$ de un muelle elástico, medida en centímetros, viene dada por la función $L(p) = 15 + 0,2p$, donde $p$ es el peso colgado en gramos. Halla la expresión de la función inversa $p(L)$ y utilízala para calcular qué peso se ha colgado si el muelle mide exactamente $22$ cm.
La siguiente gráfica muestra la distancia a la que se encuentra un ciclista de su casa en función del tiempo. Determina la expresión analítica definida a trozos de la…
La siguiente gráfica muestra la distancia a la que se encuentra un ciclista de su casa en función del tiempo. Determina la expresión analítica definida a trozos de la función $d(t)$ y calcula cuál fue la velocidad constante del ciclista durante el viaje de regreso.
Vuelva al principio: la tarifa inicial del taxi es la ordenada en el origen $n$ y el precio por kilómetro es la pendiente $m$. Con $C(x) = 750\,x + 1.500$, un viaje de $8$ km cuesta $750 \cdot 8 + 1.500 = 7.500$, es decir, ₡7.500.