Función cuadrática y parábola
Cuando Allan patea un tiro libre en el Estadio Nacional, la pelota sube, llega a un punto más alto y vuelve a bajar. ¿Cómo puede saber, sin ver la jugada, cuál fue la altura máxima y en qué momento se alcanzó? La curva que describe esa trayectoria es una parábola, y en este apartado aprenderá a leerla a partir de su criterio.
Función cuadrática: forma polinómica
El número $c$ es la intersección con el eje de las ordenadas, porque $f(0)=c$: es donde la parábola corta al eje $y$. La parábola es cóncava hacia arriba si $a>0$ y cóncava hacia abajo si $a<0$.
Mueva los deslizadores y observe qué hace cada coeficiente:
La función $d(t) = 5t^2$ describe la distancia en centímetros que recorre una canica al caer por un riel inclinado en función del tiempo $t$ en segundos. ¿Qué distancia…
La función $d(t) = 5t^2$ describe la distancia en centímetros que recorre una canica al caer por un riel inclinado en función del tiempo $t$ en segundos. ¿Qué distancia habrá recorrido a los $4$ segundos? ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer exactamente $125$ cm?
Determina, sustituyendo en la ecuación, si el punto $(-1, 4)$ y el punto $(2, 1)$ pertenecen a la gráfica de la parábola $y = 2x^2 - 3x - 1$.
Determina, sustituyendo en la ecuación, si el punto $(-1, 4)$ y el punto $(2, 1)$ pertenecen a la gráfica de la parábola $y = 2x^2 - 3x - 1$.
Indica hacia dónde se abren las ramas de la parábola $y = -3x^2 + 6x - 1$ justificando tu respuesta, y averigua si el vértice de esta función corresponde a un máximo o a…
Indica hacia dónde se abren las ramas de la parábola $y = -3x^2 + 6x - 1$ justificando tu respuesta, y averigua si el vértice de esta función corresponde a un máximo o a un mínimo absoluto. Calcula sus coordenadas.
El vértice, el eje de simetría y la imagen
El vértice no se encuentra por tanteo: se deduce completando cuadrado.
Dada la función cuadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$, determina las coordenadas exactas de su vértice y la ecuación de su eje de simetría.
Dada la función cuadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$, determina las coordenadas exactas de su vértice y la ecuación de su eje de simetría.
Durante un entrenamiento, una jugadora de voleibol lanza el balón hacia arriba. La altura $h$ (en metros) que alcanza el balón en función del tiempo $t$ (en segundos)…
Durante un entrenamiento, una jugadora de voleibol lanza el balón hacia arriba. La altura $h$ (en metros) que alcanza el balón en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el balón y en qué instante exacto se produce?
Ceros y discriminante: forma factorizada
La intersección con el eje de las ordenadas es siempre $(0, c)$. Para hallar las intersecciones con el eje de las abscisas (los ceros) se resuelve $ax^2+bx+c=0$ con la fórmula general. Cuántas soluciones hay lo dice el discriminante $\Delta=b^2-4ac$.
Considera la familia de parábolas dadas por la ecuación $y = x^2 - kx + 9$. Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales la parábola es tangente al eje de…
Considera la familia de parábolas dadas por la ecuación $y = x^2 - kx + 9$. Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales la parábola es tangente al eje de abscisas (es decir, tiene un único punto de corte con el eje X).
Graficar con puntos estratégicos
Para esbozar una parábola no hace falta una tabla de valores al azar. Bastan unos pocos puntos elegidos con criterio:
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El vértice $V(x_v, y_v)$ y el eje de simetría $x=x_v$.
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La intersección con el eje de las ordenadas $(0, c)$.
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Los ceros, si existen ($\Delta\ge 0$).
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El simétrico de ese punto respecto del eje: si $(0, c)$ está en la gráfica, también está $(2x_v, c)$.
Con esos puntos y sabiendo hacia dónde se abre, se traza la curva.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas (tanto con el eje de abscisas como con el eje de ordenadas) de la parábola $y = -x^2 + 2x + 8$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas (tanto con el eje de abscisas como con el eje de ordenadas) de la parábola $y = -x^2 + 2x + 8$.
Forma canónica y traslaciones
Los parámetros tienen un efecto claro: $a$ abre o cierra la parábola (y la invierte si es negativo); $h$ la mueve a la derecha si es positivo; $k$ la sube si es positivo. En $f(x)=(x+3)^2-2$ se lee $x-(-3)$: se traslada $3$ unidades a la izquierda y $2$ hacia abajo.
Expresa la función $y = (x + 3)^2 - 2$ como el resultado de aplicar una traslación a la parábola elemental $y = x^2$. Indica claramente la dirección y el número de…
Expresa la función $y = (x + 3)^2 - 2$ como el resultado de aplicar una traslación a la parábola elemental $y = x^2$. Indica claramente la dirección y el número de unidades desplazadas tanto en el eje horizontal como en el vertical.
Observa las tres parábolas representadas en la siguiente figura. Asocia cada una de las expresiones analíticas con su gráfica correspondiente (A, B o C). 1)…
Observa las tres parábolas representadas en la siguiente figura. Asocia cada una de las expresiones analíticas con su gráfica correspondiente (A, B o C).
1) $y = -x^2 + 2$
2) $y = x^2 - 4x + 4$
3) $y = x^2 - 4$
Hallar la fórmula de una parábola
Cada forma conviene según los datos que se tengan:
| Datos | Forma a usar |
|---|---|
| Vértice y otro punto | canónica $a(x-h)^2+k$ |
| Vértice y intersección con el eje $y$ | canónica $a(x-h)^2+k$, sustituyendo $x=0$ |
| Los dos ceros y otro dato | factorizada $a(x-x_1)(x-x_2)$ |
| Tres puntos cualesquiera | polinómica: sistema de $3\times 3$ |
Sabiendo que la gráfica de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + c$ pasa por los puntos $(0, 3)$ y $(2, 11)$, plantea un sistema de ecuaciones y calcula los valores de…
Sabiendo que la gráfica de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + c$ pasa por los puntos $(0, 3)$ y $(2, 11)$, plantea un sistema de ecuaciones y calcula los valores de los parámetros $a$ y $c$.
Determina la expresión algebraica desarrollada de una función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(2, -1)$ y que pasa por el punto…
Determina la expresión algebraica desarrollada de una función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(2, -1)$ y que pasa por el punto $P(4, 3)$.
Calcula los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $y = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, -5)$, $(1, -6)$ y $(-1, -2)$.
Calcula los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $y = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, -5)$, $(1, -6)$ y $(-1, -2)$.
Observa la gráfica de la parábola. Determina las coordenadas de su vértice y utiliza un punto adicional de la gráfica para deducir su expresión algebraica en la forma…
Observa la gráfica de la parábola. Determina las coordenadas de su vértice y utiliza un punto adicional de la gráfica para deducir su expresión algebraica en la forma $y = a(x-h)^2 + k$. Finalmente, desarróllala a la forma $y = ax^2 + bx + c$.
Un arco de un puente de piedra tiene forma de parábola. La base del arco (al nivel del agua) mide $12$ metros de ancho y la altura máxima en el centro es de $6$ metros.…
Un arco de un puente de piedra tiene forma de parábola. La base del arco (al nivel del agua) mide $12$ metros de ancho y la altura máxima en el centro es de $6$ metros. Si situamos el origen de coordenadas en el centro de la base del arco, halla la ecuación de la parábola que describe su perfil.
Un jugador de baloncesto lanza a la canasta desde una altura de $2$ metros. El balón sigue una trayectoria parabólica, alcanzando su altura máxima de $4$ metros a una…
Un jugador de baloncesto lanza a la canasta desde una altura de $2$ metros. El balón sigue una trayectoria parabólica, alcanzando su altura máxima de $4$ metros a una distancia horizontal de $2$ metros desde el punto de lanzamiento. Sabiendo que el aro de la canasta se encuentra a $3$ metros de altura y a una distancia horizontal de $4,5$ metros, deduzca la ecuación de la trayectoria y demuestre analíticamente si el balón entrará o no por el aro.
Halla la expresión analítica de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que corta al eje de abscisas en los puntos $x = -1$ y $x = 5$, y que el valor…
Halla la expresión analítica de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que corta al eje de abscisas en los puntos $x = -1$ y $x = 5$, y que el valor máximo que alcanza la función es $18$.
Problemas de máximos y mínimos
Si una situación se modeliza con una cuadrática, el máximo o mínimo está en el vértice. Ojo: $x_v$ dice cuándo o dónde ocurre, e $y_v$ dice cuánto vale. Lea qué pide el enunciado y, al final, verifique que el resultado sea razonable en el contexto.
La asociación de padres de familia del colegio vende boletos de una rifa para financiar el viaje de graduación. Si cada boleto se vende a $x$ colones, los ingresos…
La asociación de padres de familia del colegio vende boletos de una rifa para financiar el viaje de graduación. Si cada boleto se vende a $x$ colones, los ingresos estimados (en decenas de colones) vienen dados por la función cuadrática $I(x) = -2x^2 + 48x$. ¿A qué precio deben vender los boletos para maximizar los ingresos? ¿A cuánto ascienden dichos ingresos máximos?
Disponemos de $40$ metros de cuerda para delimitar una zona rectangular de juegos en un campamento. Si llamamos $x$ a la longitud de la base del rectángulo, escribe la…
Disponemos de $40$ metros de cuerda para delimitar una zona rectangular de juegos en un campamento. Si llamamos $x$ a la longitud de la base del rectángulo, escribe la función que determina el área del recinto en función de $x$. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo para que el área encerrada sea la máxima posible?
Un agricultor quiere construir un corral rectangular para sus gallinas aprovechando un largo muro de piedra ya existente, de modo que solo necesita vallar tres de los…
Un agricultor quiere construir un corral rectangular para sus gallinas aprovechando un largo muro de piedra ya existente, de modo que solo necesita vallar tres de los cuatro lados del rectángulo. Dispone de $100$ metros de valla metálica. Determina las dimensiones del corral para que su área sea la mayor posible y calcula dicha área máxima.
El club de robótica del colegio vende kits de sensores para financiar sus materiales. Tiene unos gastos fijos mensuales de $1\,000\,000$ colones y montar cada kit cuesta…
El club de robótica del colegio vende kits de sensores para financiar sus materiales. Tiene unos gastos fijos mensuales de $1\,000\,000$ colones y montar cada kit cuesta $7\,500$ colones adicionales. Los ingresos mensuales obtenidos por la venta de $x$ kits vienen dados por la función $I(x) = -50x^2 + 32\,500x$. Escriba la función que representa el beneficio mensual $B(x)$. ¿Cuántos kits deben montar y vender para obtener el beneficio máximo?
Un jugador de baloncesto lanza a la canasta desde una altura de $2$ metros. El balón sigue una trayectoria parabólica, alcanzando su altura máxima de $4$ metros a una…
Un jugador de baloncesto lanza a la canasta desde una altura de $2$ metros. El balón sigue una trayectoria parabólica, alcanzando su altura máxima de $4$ metros a una distancia horizontal de $2$ metros desde el punto de lanzamiento. Sabiendo que el aro de la canasta se encuentra a $3$ metros de altura y a una distancia horizontal de $4,5$ metros, deduzca la ecuación de la trayectoria y demuestre analíticamente si el balón entrará o no por el aro.
Parábola y recta, y funciones con valor absoluto o a trozos
Para hallar dónde se cortan dos gráficas se igualan los criterios y se resuelve la ecuación (por la propiedad transitiva de la igualdad, si $y=f(x)$ y $y=g(x)$, entonces $f(x)=g(x)$).
Con dos parábolas el procedimiento es el mismo, y después puede calcular la distancia entre dos puntos con Pitágoras: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
Halla analíticamente los puntos de intersección entre la parábola $y = x^2 - 4x + 3$ y la recta $y = -x + 3$.
Halla analíticamente los puntos de intersección entre la parábola $y = x^2 - 4x + 3$ y la recta $y = -x + 3$.
Dibuja un esbozo de la gráfica de la función $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Para ello, halla primero el vértice y los puntos de corte con los ejes de la parábola interior sin…
Dibuja un esbozo de la gráfica de la función $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Para ello, halla primero el vértice y los puntos de corte con los ejes de la parábola interior sin el valor absoluto, y explica analíticamente cómo afecta el valor absoluto a la representación final.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dadas las parábolas $y = x^2 - 2x - 3$ e $y = -x^2 + 4x + 5$, halla analíticamente los puntos exactos donde se cortan. Calcula después la distancia en línea recta entre…
Dadas las parábolas $y = x^2 - 2x - 3$ e $y = -x^2 + 4x + 5$, halla analíticamente los puntos exactos donde se cortan. Calcula después la distancia en línea recta entre los vértices de ambas parábolas.
Dada la siguiente función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x & \text{si } x \le 3 \\ mx + n & \text{si } x > 3 \end{cases}$ Determina los valores de los…
Dada la siguiente función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x & \text{si } x \le 3 \\ mx + n & \text{si } x > 3 \end{cases}$
Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que la función sea continua en el punto de ruptura $x = 3$ y, además, la semirrecta pase por el punto $(5, -1)$.
La parábola como lugar geométrico
Hay otra manera de definir la parábola, sin fórmulas. Marque en una hoja un punto $F$ (el foco) y trace una recta $d$ (la directriz). Doble la hoja haciendo coincidir $F$ con puntos de $d$: los pliegues dibujan la curva.
Para $y=x^2$: el foco es $F(0, \tfrac14)$ y la directriz es $y=-\tfrac14$.
Vuelva al principio: con el criterio de la trayectoria del tiro libre de Allan, el vértice da el momento y la altura del punto más alto.