Sistemas dependientes de un parámetro
Valentina maneja una panadería y arma un modelo de precios con tres productos. Hay un pedido que todavía no definió: lleva $k$ budines. Quiere saber para qué valores de $k$ los precios quedan determinados de manera única, para cuáles hay infinitas posibilidades y para cuáles el modelo es imposible. Eso es discutir un sistema. Ya sabés clasificar un sistema con Rouché-Frobenius y resolverlo con Cramer. Acá las dos herramientas trabajan juntas: el determinante te dice dónde buscar los valores «especiales» del parámetro, y los rangos te dicen qué pasa en cada uno.
El plan de discusión
Ahora, con plata de por medio. Es el caso de Valentina.
Considera el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, donde $k$ es un número real: $$\begin{cases} kx + y = 3 \\ 4x + y = 2 \end{cases}$$ a) Determina…
Considera el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, donde $k$ es un número real:
$$\begin{cases} kx + y = 3 \\ 4x + y = 2 \end{cases}$$- a) Determina para qué valor de $k$ el sistema no tiene una solución única.
- b) Si elegimos $k = 5$, ¿qué podemos decir sobre la posición relativa de las dos rectas que representan las ecuaciones?
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real $a$: $$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2…
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real $a$:
$$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}$$- a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro $a$ utilizando el Teorema de Rouché-Fröbenius.
- b) Resuelve el sistema para el caso en el que sea compatible indeterminado y escribe la solución en forma paramétrica.
- c) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual el sistema sea incompatible? Justifica tu respuesta.
Una empresa de marketing* digital analiza el impacto de tres campañas publicitarias ($x, y, z$). Los costos de gestión y el retorno de inversión están vinculados por un…
Una empresa de marketing digital analiza el impacto de tres campañas publicitarias ($x, y, z$). Los costos de gestión y el retorno de inversión están vinculados por un factor de eficiencia tecnológica $k$ según el siguiente modelo:
$$ \begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases} $$- a) Discutí la viabilidad del modelo (compatibilidad del sistema) en función del factor $k$.
- b) ¿Existe algún valor de $k$ para el cual el sistema no tenga solución? En caso afirmativo, interpretá qué significaría para la empresa.
- c) Determiná los valores de $k$ para los cuales la inversión en las tres campañas es la misma ($x = y = z$).
Valores especiales: SCI o SI, nunca los dos
Cuando reemplazás un valor concreto del parámetro, los rangos $\operatorname{rg}(A)$ y $\operatorname{rg}(A^*)$ quedan fijos. Por eso cada valor especial da una sola clasificación.
Una pequeña empresa de desarrollo de apps cobra por dos tipos de servicios: mantenimiento ($x$) y consultoría ($y$). El sistema que relaciona los ingresos de dos meses…
Una pequeña empresa de desarrollo de apps cobra por dos tipos de servicios: mantenimiento ($x$) y consultoría ($y$). El sistema que relaciona los ingresos de dos meses es:
$$\begin{cases} x + 2y = 500 \\ 2x + ay = 1000 \end{cases}$$- a) Escribe la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema.
- b) ¿Para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones? ¿Qué significa esto en el contexto de los servicios prestados?
Dado el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} 2x + y - z = 4 \\ x - y + 2z = 2 \\ x + 2y - 3z = a \end{cases}$$ a) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual el…
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
$$\begin{cases} 2x + y - z = 4 \\ x - y + 2z = 2 \\ x + 2y - 3z = a \end{cases}$$- a) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual el sistema sea compatible determinado? Justifica la respuesta basándote en el rango de la matriz de coeficientes.
- b) Encuentra el valor de $a$ que hace que el sistema sea compatible indeterminado.
- c) Para el valor de $a$ hallado en el apartado anterior, da una solución particular en la que $z = 0$.
Un equipo de investigadores estudia la evolución de tres poblaciones de microorganismos en un entorno controlado. Las relaciones de crecimiento dependen de la…
Un equipo de investigadores estudia la evolución de tres poblaciones de microorganismos en un entorno controlado. Las relaciones de crecimiento dependen de la temperatura $T$ (medida en una escala normalizada como parámetro $t$):
$$ \begin{cases} x + y + tz = t \\ tx + y + z = t \\ x + ty + z = t \end{cases} $$- a) Discute el sistema para los distintos valores de $t$.
- b) Interpreta geométricamente qué ocurre cuando $t = 1$ y cuando $t = -2$.
- c) Si se sabe que la suma de las tres poblaciones es constante e igual a 1, ¿qué valores puede tomar $t$?
Cuando no hay determinante: Gauss
Si el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas (o al revés), $A$ no es cuadrada y no hay $|A|$. También podés triangular por Gauss aunque sí sea cuadrada. En ambos casos escalonás la matriz ampliada y mirás qué pasa en la última fila, donde aparece el parámetro.
Dado el sistema dependiente del parámetro real $m$: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y + z = m \\ 2x + 2z = 2 \end{cases}$$ Utiliza el método de Gauss para demostrar…
Dado el sistema dependiente del parámetro real $m$:
$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y + z = m \\ 2x + 2z = 2 \end{cases}$$Utiliza el método de Gauss para demostrar que, para cualquier valor de $m \neq 1$, el sistema es incompatible. ¿Qué ocurre si $m = 1$?
Estudia la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro $t$ y resuélvelo cuando sea posible: $$\begin{cases} x + y + tz = t \\ tx + y + z = 1 \\ x + ty + z…
Estudia la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro $t$ y resuélvelo cuando sea posible:
$$\begin{cases} x + y + tz = t \\ tx + y + z = 1 \\ x + ty + z = 1 \end{cases}$$En tu análisis, presta especial atención al caso $t = -2$ y explica razonadamente qué ocurre con los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada.
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas según los valores de $m$: $$ \begin{cases} x + y + z = m \\ x + my + z = 1 \\ x…
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas según los valores de $m$:
$$ \begin{cases} x + y + z = m \\ x + my + z = 1 \\ x + y + mz = 1 \\ mx + y + z = 1 \end{cases} $$¿Para qué valor de $m$ el sistema tiene una única solución? Calcúlala en ese caso.
Forma matricial y matriz inversa
Un sistema $n\times n$ se escribe $A\cdot X=B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes, $X$ la columna de incógnitas y $B$ la columna de términos independientes. El producto es fila por columna: cada ecuación sale de multiplicar una fila de $A$ por la columna $X$.
Para una matriz $2\times 2$, $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ con $|A|=ad-bc\neq 0$: $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ (se intercambian los elementos de la diagonal, se cambia el signo de los otros dos y se divide por el determinante). Para una $3\times 3$, la inversa es $\dfrac{1}{|A|}$ por la traspuesta de la matriz de cofactores (adjuntos), o se obtiene con la calculadora científica.
Se sabe que el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para un valor específico del parámetro $t$: $$\begin{cases} t x + y = 1 \\ x + t y = 1…
Se sabe que el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para un valor específico del parámetro $t$:
$$\begin{cases} t x + y = 1 \\ x + t y = 1 \end{cases}$$- a) Calcula el determinante de la matriz de coeficientes en función de $t$.
- b) Indica para qué valores de $t$ el sistema es Compatible Determinado.
- c) Estudia qué sucede si $t = -1$.
Sea la matriz de coeficientes $A$ y la matriz de términos independientes $B$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ 2 & -k & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B =…
Sea la matriz de coeficientes $A$ y la matriz de términos independientes $B$:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ 2 & -k & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$- a) Determina los valores de $k$ para los cuales la matriz $A$ no tiene inversa.
- b) Discute el sistema de ecuaciones $A \cdot X = B$ según los valores de $k$.
- c) Resuelve el sistema para $k = 3$.
Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & a & 3 \\ 4 & 1 & -a \end{pmatrix}$. a) Halla los valores de $a$ para los cuales el sistema…
Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & a & 3 \\ 4 & 1 & -a \end{pmatrix}$.
- a) Halla los valores de $a$ para los cuales el sistema $A \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ tiene infinitas soluciones.
- b) Para $a = 2$, resuelve la ecuación matricial $A \cdot X = B$, siendo $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, utilizando la matriz inversa.
Discusión con dos parámetros
Si hay dos parámetros, $a$ y $b$, el procedimiento es el mismo. Primero se estudia $|A|$, que suele depender de uno solo. Después, en cada valor de ese parámetro que lo anula, el otro decide entre SCI y SI.
Una empresa de mensajería utiliza tres tipos de vehículos (camionetas, motos y drones) para realizar sus entregas. Se sabe que el costo operativo diario de cada vehículo…
Una empresa de mensajería utiliza tres tipos de vehículos (camionetas, motos y drones) para realizar sus entregas. Se sabe que el costo operativo diario de cada vehículo depende de un factor de mantenimiento variable $k$. El gasto total en tres rutas distintas está dado por el siguiente sistema:
$$\begin{cases} x + 2y + kz = 3 \\ 3x + ky = 6 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$Donde $x, y, z$ representan la cantidad de camionetas, motos y drones operativos, respectivamente.
- a) Analizá la compatibilidad del sistema para los distintos valores de $k$.
- b) Para $k = 4$, determiná si el sistema tiene solución única. En caso afirmativo, calculala utilizando la regla de Cramer.
Dado el sistema de ecuaciones con dos parámetros reales $a$ y $b$: $$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + 2y + 3z = 2 \\ x + ay + 3z = b \end{cases} $$ a) Discute el…
Dado el sistema de ecuaciones con dos parámetros reales $a$ y $b$:
$$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + 2y + 3z = 2 \\ x + ay + 3z = b \end{cases} $$- a) Discute el sistema en función de los valores de $a$ y $b$.
- b) Para los valores que hacen que el sistema sea compatible indeterminado, halla la solución general expresándola en función de un parámetro $\lambda$.
Se sabe que el sistema de ecuaciones: $$ \begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ ay + z = 1 \\ 2x + ay = b \end{cases} $$ es compatible indeterminado. a) Encuentra los valores…
Se sabe que el sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ ay + z = 1 \\ 2x + ay = b \end{cases} $$es compatible indeterminado.
- a) Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$.
- b) Para los valores hallados, escribe la solución general del sistema.
- c) Si añadimos una cuarta ecuación $x + y + z = 2$, ¿cambia la compatibilidad del sistema? Razona la respuesta.
Sistemas homogéneos con parámetro
Discutí el siguiente sistema homogéneo en función del parámetro $a$: $$\begin{cases} x + ay = 0 \\ ax + 9y = 0 \end{cases}$$ Recordá que los sistemas homogéneos siempre…
Discutí el siguiente sistema homogéneo en función del parámetro $a$:
$$\begin{cases} x + ay = 0 \\ ax + 9y = 0 \end{cases}$$Recordá que los sistemas homogéneos siempre son compatibles. Indicá para qué valores de $a$ el sistema tiene solo la solución trivial $(0,0)$ y para cuáles tiene infinitas soluciones.
Sea el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + 2z = 0 \\ x + y + (b^2-3)z = 0 \end{cases}$$ a) Clasifica el sistema en…
Sea el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
$$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + 2z = 0 \\ x + y + (b^2-3)z = 0 \end{cases}$$- a) Clasifica el sistema en función del parámetro $b$.
- b) ¿Existe algún valor de $b$ para el cual el sistema sea Incompatible? Justifica tu respuesta basándote en la teoría de sistemas homogéneos.
Interpretación geométrica: tres planos
Una ecuación $ax+by+cz=d$ es un plano en el espacio. Resolver un sistema $3\times 3$ es buscar los puntos que están en los tres planos a la vez. Por eso la clasificación del sistema dice cómo están ubicados los planos entre sí.
| Rangos | Clasificación | Posición de los tres planos |
|---|---|---|
| $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3$ | SCD | Se cortan en un solo punto |
| $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2$ | SCI (1 parámetro) | Se cortan en una recta común (o dos coinciden y el tercero los corta en una recta) |
| $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=1$ | SCI (2 parámetros) | Los tres son el mismo plano |
| $\operatorname{rg}(A)=2$, $\operatorname{rg}(A^*)=3$ | SI | No hay punto común: se cortan de a dos formando un «prisma», o dos son paralelos y el tercero los corta |
| $\operatorname{rg}(A)=1$, $\operatorname{rg}(A^*)=2$ | SI | Planos paralelos (o dos coincidentes y el tercero paralelo) |
¿Por qué? El rango de $A$ cuenta cuántas direcciones de plano distintas e independientes hay. Con rango 3 las tres orientaciones son independientes y los planos se cruzan en un punto. Con rango menor, las orientaciones se «repiten» y el corte es una recta o un plano, o directamente no existe.
En un sistema homogéneo los tres planos pasan por el origen, así que nunca puede haber «sin punto común»: o se cortan solo en $(0;0;0)$, o comparten una recta que pasa por el origen, o coinciden.
Se dan los tres planos siguientes en el espacio tridimensional, cuyas ecuaciones dependen del parámetro $m$: $$\pi_1: mx + y + z = 0$$ $$\pi_2: x + my + z = 0$$ $$\pi_3:…
Se dan los tres planos siguientes en el espacio tridimensional, cuyas ecuaciones dependen del parámetro $m$:
$$\pi_1: mx + y + z = 0$$ $$\pi_2: x + my + z = 0$$ $$\pi_3: x + y + mz = 0$$- a) Determina para qué valores de $m$ los tres planos se cortan únicamente en el origen de coordenadas $(0, 0, 0)$.
- b) Halla los valores de $m$ para los cuales el sistema formado por las tres ecuaciones es compatible indeterminado. Para cada uno de esos valores, indica la interpretación geométrica de la posición relativa de los tres planos.
Considera el siguiente sistema homogéneo: $$ \begin{cases} (m+1)x + y + z = 0 \\ x + (m+1)y + z = 0 \\ x + y + (m+1)z = 0 \end{cases} $$ a) Determina los valores del…
Considera el siguiente sistema homogéneo:
$$ \begin{cases} (m+1)x + y + z = 0 \\ x + (m+1)y + z = 0 \\ x + y + (m+1)z = 0 \end{cases} $$- a) Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales el sistema admite soluciones distintas de la trivial $(0, 0, 0)$.
- b) Para los valores hallados en el apartado anterior, describe la posición relativa de los tres planos que representan las ecuaciones del sistema.
Resolver el caso compatible indeterminado
Cuando el sistema es SCI, la solución general tiene $n-\operatorname{rg}(A)$ parámetros libres. Muchos problemas piden además una solución particular que cumpla una condición extra, por ejemplo que las componentes sumen un valor dado.
Volvé al principio: Valentina ya puede contestar. Calcula $|A(k)|=k-5$. Si el tercer pedido no lleva 5 budines, los precios quedan determinados. Con 5 budines hay infinitas posibilidades o ninguna, según lo que cueste ese pedido.
Un nutricionista diseña una dieta con dos alimentos. El contenido de proteínas y carbohidratos depende de un factor de enriquecimiento $k$ según el sistema:…
Un nutricionista diseña una dieta con dos alimentos. El contenido de proteínas y carbohidratos depende de un factor de enriquecimiento $k$ según el sistema:
$$\begin{cases} 2x + ky = 10 \\ x + y = 5 \end{cases}$$- a) Encuentra el valor de $k$ que hace que el sistema sea Compatible Indeterminado.
- b) Para ese valor de $k$, ¿existe alguna solución donde las cantidades de alimentos $(x, y)$ sean negativas? Justifica tu respuesta brevemente.
Una cooperativa agrícola produce tres tipos de aceite de oliva (Virgen Extra, Virgen y Lampante). Las cantidades producidas en toneladas ($x, y, z$) están limitadas por…
Una cooperativa agrícola produce tres tipos de aceite de oliva (Virgen Extra, Virgen y Lampante). Las cantidades producidas en toneladas ($x, y, z$) están limitadas por la disponibilidad de aceituna y el tiempo de prensado, siguiendo este modelo que depende de un parámetro $p$ relacionado con la lluvia anual:
$$\begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + py + 2z = 200 \\ px + 2y + 2z = 150 \end{cases}$$- a) Discute la viabilidad de la producción (compatibilidad del sistema) en función de $p$.
- b) Si un año de sequía extrema el parámetro es $p = 2$, ¿qué puedes afirmar sobre la producción de la cooperativa basándote en el análisis del sistema?
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$: $$ \begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases} $$…
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$:
$$ \begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases} $$- a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro $a$.
- b) Resuelve el sistema, si es posible, para el caso en el que sea compatible indeterminado y para el caso $a = 0$.