Integrales definidas. Regla de Barrow

Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando la Regla de Barrow, la cual representa el área bajo la parábola $f(x) = x^2 + 2$ en el intervalo $[0, 3]$:

Una empresa de mensajería comprobó que el costo marginal de procesar sus paquetes (en pesos por paquete) viene dado por la función $C'(x) = 60x + 2\,000$, donde $x$ es el número de paquetes. Calculá el incremento del costo total si el número de paquetes procesados pasa de 10 a 20 mediante la integral:

Halla el valor de la integral definida de la función exponencial básica entre los valores 0 y 1:

Nota: Expresa el resultado en función del número $e$.

Calcula el valor de la siguiente integral definida de una función racional sencilla:

Recuerda que $\ln(e) = 1$ y $\ln(1) = 0$.

Halla el área del recinto finito limitado por la curva $y = \frac{1}{x}$, el eje de abscisas y las rectas $x = 1$ y $x = e^2$. Expresa el resultado en unidades cuadradas de forma exacta utilizando logaritmos.

Dada una función continua $f(x)$, se conocen los siguientes valores de sus integrales definidas:

• $\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12$

• $\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4$

Utilizando las propiedades de la integral definida, calcula el valor de $\int_{3}^{5} f(x) \, dx$.

Considera la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x < 1 \\ x^2 + 5 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Calcula el valor de la integral definida $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$ aplicando la propiedad de aditividad de la integral respecto al intervalo de integración.

El flujo de clientes que entra en un centro comercial un sábado por la mañana se puede modelizar mediante la función $f(t) = 100 + 20t$ (clientes por hora), donde $t$ es el tiempo en horas desde la apertura ($t=0$). Calcula el número total de clientes que han entrado desde la segunda hasta la cuarta hora tras la apertura:

Una empresa de mensajería estimó que su tasa de variación de ingresos diarios (en cientos de pesos) está dada por la función $I'(t) = 300t^2 - 2\,000t + 10\,000$, donde $t$ es el tiempo en horas desde la apertura ($0 \le t \le 8$). Usá la regla de Barrow para calcular el incremento total de los ingresos entre la tercera hora ($t=3$) y la sexta hora ($t=6$) de su jornada.

La tasa de variación del beneficio neto de una startup tecnológica (en miles de pesos por mes) está dada por la función $B'(t) = 20\,000 - 10\,000e^{-0,2t}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde el lanzamiento de su producto estrella.

1. a) Si en el momento del lanzamiento ($t=0$) el beneficio acumulado era de $0$ pesos, obtené la expresión de la función de beneficio acumulado $B(t)$.
2. b) Calculá, mediante la regla de Barrow, el beneficio neto total obtenido por la empresa entre el mes 5 y el mes 10. Expresá el resultado en pesos redondeando a la unidad.

Calcula el área de la región plana limitada por la recta $f(x) = 2x - 4$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 2$ y $x = 5$. Ten en cuenta que en este intervalo la función es siempre positiva o nula.

Calcula el área encerrada por la curva $f(x) = 4 - x^2$ y el eje de abscisas ($OX$).

Un diseñador gráfico está creando un nuevo logo cuya silueta superior está definida por la función $f(x) = 4 - \frac{x^2}{4}$ y su base inferior por el eje $OX$. Si el logo se sitúa entre $x = -2$ y $x = 2$, calcula el área total de la superficie del logo utilizando la integral definida.

Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 2$. Ten en cuenta la posición de la curva respecto al eje en el intervalo dado para realizar el cálculo correctamente.

Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función $f(x) = x^3 - x$ y el eje $OX$. Nota que la función cambia de signo en el intervalo natural definido por sus raíces, por lo que deberás identificar dichas raíces para plantear las integrales necesarias.

Una empresa de logística ha modelizado el flujo de entrada de paquetes a su almacén central mediante la función $f(x) = |x^2 - 4x|$, donde $x$ representa las horas transcurridas desde la apertura ($x=0$) hasta el cierre ($x=5$).

1. a) Expresa la función $f(x)$ como una función definida a trozos.

1. b) Calcula el volumen total de paquetes recibidos durante las 5 horas, sabiendo que este valor coincide con la integral definida de $f(x)$ en el intervalo $[0, 5]$.

1. c) Representa gráficamente la función $f(x)$ en el intervalo $[0, 5]$ y sombrea el área asociada al cálculo del apartado b).

Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 4x$ y $g(x) = x$. Para ello, determina primero los puntos de intersección de ambas curvas y esboza el recinto para identificar cuál de las funciones queda por encima en el intervalo de integración.

Considera las funciones $f(x) = x^3 - 3x$ y $g(x) = x$. En la figura se muestran sus gráficas.

1. a) Halla todos los puntos de corte entre ambas funciones.

1. b) Calcula el área total de los recintos finitos limitados por las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$. Ten en cuenta que las funciones pueden cambiar su posición relativa (cuál está por encima) en los diferentes intervalos encontrados.

Calcula el área del recinto sombreado de la figura, que representa el logotipo de una nueva marca de moda. El logotipo está delimitado por la función $f(x) = \sqrt{x+4}$, el eje de ordenadas $OY$ y la recta $y = \frac{1}{2}x + 1$.

Nota: Debes encontrar primero el punto de intersección de ambas funciones en el primer cuadrante para establecer los límites de integración correctamente.

Determina el valor del parámetro positivo $k$ para que el área encerrada por la función $f(x) = kx^2$ y el eje $OX$ entre las rectas $x = 0$ y $x = 3$ sea exactamente de $18$ unidades cuadradas.

Sea la función $f(x) = \frac{k}{x^2}$ definida para $x > 0$. Se sabe que el área del recinto limitado por la gráfica de esta función, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 1$ y $x = k$ (con $k > 1$) es igual a $0,75$ unidades cuadradas.

1. a) Calcula razonadamente el valor del parámetro positivo $k$.
2. b) Para el valor de $k$ hallado, determina la ecuación de la recta tangente a la curva en $x = 2$.

Sea la función polinómica de segundo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$. Se sabe que tiene un extremo relativo en el punto $P(1, -4)$ y que la integral definida de la función en el intervalo $[0, 3]$ es igual a $0$.

1. a) Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$.
2. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje de abscisas $OX$.

Se desea diseñar el perfil de una rampa para un skatepark. El borde superior sigue la curva $f(x) = e^{x/2}$ y el borde inferior está delimitado por la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa $x = 0$. El recinto se cierra con la recta vertical $x = 2$.

1. a) Halla la ecuación de la recta tangente mencionada.
2. b) Calcula el área de la sección transversal de la rampa (el recinto limitado por la curva, la tangente y la recta vertical).

Dada la función integral $F(x) = \int_{1}^{x^2} \ln(t) \, dt$, definida para $x \geq 1$:

1. a) Utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo y la Regla de la Cadena para hallar la función derivada $F'(x)$.
2. b) Sin necesidad de calcular la integral de forma explícita, determina si la función $F(x)$ es creciente o decreciente en su dominio y justifica si posee algún punto de inflexión.
3. c) Calcula el valor exacto de $F(e)$ integrando por partes.