Números combinatorios

Calcula y simplifica el valor de las siguientes expresiones sin utilizar la calculadora, aplicando las propiedades de los factoriales:

1. a) $\frac{8!}{6!}$

1. b) $\binom{7}{2}$

1. c) $5! - 4!$

Para organizar la fiesta de graduación de 2.º de Bachillerato, se debe elegir una comisión de festejos formada por $3$ alumnos. Si en la clase hay $20$ estudiantes voluntarios, ¿de cuántas formas distintas se puede elegir este grupo? (El orden en que se elige a los alumnos no importa: solo cuenta quiénes forman la comisión.) Utiliza la fórmula de los números combinatorios:

En el apartado de números combinatorios, existe una propiedad de simetría que afirma que $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$.

Comprueba esta propiedad calculando los valores de $\binom{10}{8}$ y $\binom{10}{2}$. ¿Qué conclusión obtienes respecto al esfuerzo de cálculo cuando $r$ es un número cercano a $n$?

Resuelve las siguientes cuestiones relacionadas con la combinatoria y los factoriales:

1. a) Halla el valor de $n$ en la siguiente igualdad:

1. b) Simplifica la siguiente expresión dejando el resultado en función de $n$:

1. c) ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar utilizando únicamente los dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ si no se permite repetir ninguna cifra? ¿Cómo cambiaría el resultado si permitimos repeticiones?

Demuestra, utilizando la definición de número combinatorio mediante factoriales, la siguiente identidad (conocida como la fórmula de las tres variables o propiedad de Stifel):

Aplica este resultado para calcular el valor de $\displaystyle \binom{10}{4} + \binom{10}{3}$ sin calcular cada término por separado.

Antes de estudiar la distribución binomial, es fundamental distinguir el tipo de variable. Clasificá las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas:

1. El número de "likes" que recibe una publicación de Instagram en una hora.

2. El tiempo exacto que tarda un estudiante en llegar al colegio.

3. El número de personas que dan positivo en un test de antígenos en una muestra de $50$ individuos.

4. La estatura de los jugadores de la selección argentina de básquet.

Un estudio afirma que el $70\%$ de los adolescentes argentinos utiliza TikTok diariamente. Si seleccionamos al azar a un grupo de $8$ adolescentes de una escuela secundaria:

1. a) Identificá los parámetros $n$ y $p$ de la distribución binomial que sigue esta situación.
2. b) Definí la variable aleatoria $X$ asociada a este experimento.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente los $8$ adolescentes utilicen la aplicación? (Expresá solo el planteo de la fórmula).

Sabiendo que para una distribución binomial $B(n, p)$, la probabilidad de obtener $k$ éxitos es:

Calcula la probabilidad de obtener exactamente $2$ caras al lanzar una moneda equilibrada $4$ veces.

Un examen consta de $5$ preguntas con respuesta de verdadero o falso. Si un alumno responde al azar (es decir, $p=0,5$):

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna pregunta ($P(X=0)$)?
2. b) Utilizando el evento complementario, planteá cómo calcularías la probabilidad de que acierte al menos una pregunta.

En un centro de alto rendimiento deportivo, se quiere seleccionar a un grupo de 4 atletas para representar a Argentina en una competencia internacional de relevos. Si en el centro hay 12 atletas disponibles (7 hombres y 5 mujeres), calculá:

1. a) El número total de formas diferentes en las que se puede elegir el equipo de 4 personas.
2. b) ¿En cuántas de esas combinaciones el equipo estaría formado exactamente por 2 hombres y 2 mujeres?
3. c) Usá las propiedades de los números combinatorios para demostrar, sin calcular el valor numérico, que:

Una joven emprendedora ha lanzado una aplicación de moda sostenible. Según sus estudios de mercado, el $35\%$ de los usuarios que descargan la app acaban realizando una compra en la primera semana. Si hoy se han registrado 10 nuevos usuarios independientes:

1. a) Define la variable aleatoria $X$ y justifica si sigue una distribución binomial, indicando sus parámetros.
2. b) Calcula la probabilidad de que exactamente 4 de esos usuarios realicen una compra.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que, como máximo, 2 usuarios compren en la primera semana?

Se sabe que el $15\%$ de los envases producidos por una planta de reciclaje de plástico no cumplen con los estándares de pureza requeridos. Un inspector de calidad selecciona al azar 8 envases para su análisis. Considera que los envases se eligen de forma independiente y que la probabilidad de que cada uno sea defectuoso es siempre $0,15$.

1. a) Calcula la probabilidad de que todos los envases seleccionados sean aptos (cumplan los estándares).
2. b) Calcula la probabilidad de que al menos uno de los envases sea defectuoso.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 6 envases aptos en la muestra?

Un creador de contenido en TikTok sabe que la probabilidad de que uno de sus videos se vuelva "viral" (supere las 100.000 visitas) es de 0,05. Si decide publicar un video al día durante una semana (7 días):

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se vuelva viral ninguno de sus videos?
2. b) Calculá la probabilidad de que al menos 2 videos sean virales.
3. c) Representá gráficamente mediante un diagrama de árbol las posibilidades de éxito (V) y fracaso (N) para los primeros 3 días y asigná las probabilidades a cada rama.

Una aplicación de delivery tiene una probabilidad de retraso en la entrega de $p = 0,15$. Un repartidor realiza $20$ entregas en un turno de noche.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga exactamente $3$ retrasos? Expresá el número combinatorio como un producto de fracciones antes de operar.

1. b) Si el repartidor recibe una penalización si tiene más de $4$ retrasos, ¿cuál es la probabilidad de ser penalizado? (Planteá la operación utilizando el evento contrario y justificá por qué es más eficiente en este caso).

En una distribución binomial $X \sim B(100; 0,2)$, calcula:

1. a) La media o esperanza matemática ($\mu = n \cdot p$).
2. b) La varianza ($\sigma^2 = n \cdot p \cdot q$).
3. c) La desviación típica ($\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$).

Explica brevemente qué significa el valor de la media en este contexto.

Un examen de tipo test consta de 12 preguntas, cada una con 4 opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado nada decide responder a todas las preguntas al azar.

1. a) Calcula el número esperado de respuestas correctas (media) y la desviación típica de esta distribución.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno apruebe el examen (obtenga al menos 6 aciertos)?
3. c) Si el examen tuviera 100 preguntas, ¿qué parámetros tendría la distribución binomial resultante? (No realices los cálculos de probabilidad).

En una campaña de vacunación en un colegio secundario, se observó que el $10\%$ de los alumnos experimenta algún efecto secundario leve (como dolor en el brazo). Si se selecciona un curso con 25 alumnos vacunados:

1. a) ¿Cuál es el número medio de alumnos que se espera que tengan efectos secundarios?
2. b) Calculá la probabilidad de que el número de alumnos con efectos secundarios sea inferior a la media.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 alumnos tengan efectos secundarios?

Una conocida red social está analizando el comportamiento de sus "stories". Se ha comprobado que la distribución del número de usuarios que interactúan con un anuncio sigue un modelo binomial. En una muestra de usuarios, se sabe que la media de interacciones es de $\mu = 12$ y la varianza es de $\sigma^2 = 7,2$.

1. a) Calcula el tamaño de la muestra $n$ y la probabilidad de interacción $p$ de cada usuario.

1. b) Una vez obtenidos $n$ y $p$, determina la probabilidad de que, en una nueva muestra del mismo tamaño, el número de interacciones sea superior a $2$ pero inferior o igual a $4$.