Determinantes de orden 2
Una panadería de Rosario controla sus costos con una tabla de dos filas y dos columnas. Antes de seguir con cualquier cálculo, necesita saber si esa tabla (una matriz) se puede "deshacer", es decir, si tiene inversa. ¿Hay manera de averiguarlo sin calcular la inversa entera? Sí: a cada matriz cuadrada se le asocia un número, el determinante, que lo dice de un vistazo. Para matrices de $2\times 2$ la cuenta es muy corta.
El determinante de una matriz 2×2
El producto de la diagonal principal (línea continua) se suma; el de la diagonal secundaria (línea discontinua) se resta. Se escribe $|A|$ o $\det(A)$, y la matriz se dibuja entre barras verticales en lugar de paréntesis.
Calcula el valor de los siguientes determinantes de orden 2, prestando especial atención al uso de los signos negativos: a)…
Calcula el valor de los siguientes determinantes de orden 2, prestando especial atención al uso de los signos negativos:
- a) $\begin{vmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$
- b) $\begin{vmatrix} -1 & -6 \\ 0 & 7 \end{vmatrix}$
- c) $\begin{vmatrix} 10 & 15 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}$
Halla el valor del determinante de la matriz $A$ cuando esta contiene fracciones simples. Este tipo de cálculos es común al trabajar con coeficientes de reparto en…
Halla el valor del determinante de la matriz $A$ cuando esta contiene fracciones simples. Este tipo de cálculos es común al trabajar con coeficientes de reparto en problemas de economía:
$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 4 \\ \frac{1}{4} & 6 \end{pmatrix}$
Determinantes con una incógnita
El determinante también puede tener una letra en lugar de un número. Si igualás el resultado a un valor, queda una ecuación (de primer o de segundo grado) que resolvés como siempre.
También puede haber varios determinantes en una misma ecuación: calculás cada uno y sumás o restás los resultados.
Determina el valor de la incógnita $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad, donde el resultado del determinante es un valor entero conocido:…
Determina el valor de la incógnita $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad, donde el resultado del determinante es un valor entero conocido:
$\begin{vmatrix} x & 5 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} = 14$
Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} x+1 & 2 \\ x & x-1 \end{pmatrix}$. Determina los valores reales de $x$ para los cuales el determinante de la matriz es igual…
Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} x+1 & 2 \\ x & x-1 \end{pmatrix}$. Determina los valores reales de $x$ para los cuales el determinante de la matriz es igual a $6$.
Resuelve la siguiente ecuación donde intervienen determinantes de orden 2: $$\begin{vmatrix} x & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & x \\ 2 & x \end{vmatrix}…
Resuelve la siguiente ecuación donde intervienen determinantes de orden 2:
$$\begin{vmatrix} x & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & x \\ 2 & x \end{vmatrix} = 5$$Con funciones trigonométricas y logaritmos
Los elementos de la matriz pueden ser expresiones con $\operatorname{sen}$, $\cos$ o $\log$. El procedimiento no cambia: se arma $ad - bc$ y después se simplifica con lo que sabés de esas funciones. La identidad que más aparece es
$$\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$$En los problemas con logaritmos, el determinante suele dar una ecuación en $\log_2 x$. Conviene llamar $t=\log_2 x$, resolver la ecuación en $t$ y después volver a $x$ con $x = 2^t$.
Demuestra, sin calcular el valor numérico final, que el siguiente determinante es nulo para cualquier valor del ángulo $\alpha$, utilizando las identidades…
Demuestra, sin calcular el valor numérico final, que el siguiente determinante es nulo para cualquier valor del ángulo $\alpha$, utilizando las identidades trigonométricas básicas:
$$\begin{vmatrix} \sin^2 \alpha & \cos^2 \alpha \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 1$$En un estudio de mercado sobre la elasticidad de dos productos competitivos, se ha obtenido una matriz de coeficientes $M$ que depende de una variable de inversión $x$:…
En un estudio de mercado sobre la elasticidad de dos productos competitivos, se ha obtenido una matriz de coeficientes $M$ que depende de una variable de inversión $x$:
$$M = \begin{pmatrix} \log_{2}(x) & 1 \\ 4 & \log_{2}(x) \end{pmatrix}$$Determina para qué valores de la inversión $x$ el determinante de la matriz es nulo, lo que indicaría un punto crítico de inestabilidad en el modelo. Recuerda que, por la naturaleza del estudio, $x$ debe ser un número real positivo.
Un diseñador gráfico está trabajando con un software de edición vectorial. Para transformar una figura en el plano, el programa utiliza matrices de transformación de…
Un diseñador gráfico está trabajando con un software de edición vectorial. Para transformar una figura en el plano, el programa utiliza matrices de transformación de orden 2. La matriz de deformación viene dada por:
$$A = \begin{pmatrix} \sin(x) & \cos(x) \\ -\cos(x) & \sin(x) \end{pmatrix}$$Demuestra, utilizando identidades trigonométricas, que el determinante de esta matriz es constante e independiente del valor del ángulo $x$. ¿Qué interpretación geométrica tiene el hecho de que $|A| = 1$ en términos del área de la figura transformada?
Matriz singular y matriz regular
Fijate en el dibujo: si el determinante no es $0$, las dos filas de $A$ generan un paralelogramo con área. Si es $0$, las dos filas son proporcionales y el paralelogramo se aplasta en una recta, sin área. Una transformación que aplasta el plano en una línea no se puede "deshacer", y por eso no hay matriz inversa.
El determinante de la inversa
Si $A$ es regular, existe $A^{-1}$ y cumple $A\cdot A^{-1} = I$. Una propiedad que vas a ver en el apartado de propiedades dice que el determinante de un producto es el producto de los determinantes: $|A\cdot B| = |A|\cdot|B|$. Como $|I| = 1$, resulta $|A|\cdot|A^{-1}| = 1$, o sea
$$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$$Así podés conocer el determinante de la inversa sin calcular la inversa.
Dada la matriz dependiente del parámetro real $m$: $$A(m) = \begin{pmatrix} m^2 - 9 & m + 3 \\ m - 3 & 2 \end{pmatrix}$$ a) Calcula el valor de su determinante en…
Dada la matriz dependiente del parámetro real $m$:
$$A(m) = \begin{pmatrix} m^2 - 9 & m + 3 \\ m - 3 & 2 \end{pmatrix}$$- a) Calcula el valor de su determinante en función de $m$.
- b) Determina todos los valores de $m$ para los cuales la matriz no tiene inversa (matriz singular).
- c) Si $m = 0$, calcula el determinante de la matriz inversa $A^{-1}$ utilizando las propiedades de los determinantes, sin hallar la matriz inversa explícitamente.
En un sistema de cifrado matricial, se utiliza una matriz clave $K$ de orden 2. Para que el sistema sea seguro y permita el descifrado, la matriz $K$ debe ser…
En un sistema de cifrado matricial, se utiliza una matriz clave $K$ de orden 2. Para que el sistema sea seguro y permita el descifrado, la matriz $K$ debe ser inversible. Se propone la siguiente matriz:
$$K = \begin{pmatrix} k-2 & -3 \\ -2 & k \end{pmatrix}$$- a) Calcula los valores de $k$ que hacen que el sistema sea inseguro (es decir, que $K$ no tenga inversa).
- b) Si se sabe que el determinante de la matriz clave debe ser igual a $10$ para cumplir con un estándar de seguridad específico, calcula los posibles valores de $k$.
El determinante como área de un paralelogramo
Y esto explica lo anterior: si $\vec u$ y $\vec v$ son proporcionales, el paralelogramo no tiene área y el determinante es $0$.
Si te dan el área y un parámetro en los vectores, planteás $|\det| = \text{área}$. Eso da dos ecuaciones: determinante igual al área o igual a su opuesto.
Un determinante de orden 2 puede representar el área de un paralelogramo definido por dos vectores en el plano. Calcula el valor absoluto del determinante formado por…
Un determinante de orden 2 puede representar el área de un paralelogramo definido por dos vectores en el plano. Calcula el valor absoluto del determinante formado por los vectores $\vec{u} = (4, 1)$ y $\vec{v} = (2, 5)$ para hallar dicha área:
$Área = \left| \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \right|$
En el diseño de un logotipo para una nueva startup* tecnológica, un diseñador utiliza un paralelogramo definido por los vectores $\vec{u} = (a, 1)$ y $\vec{v} = (2, a)$.…
En el diseño de un logotipo para una nueva startup tecnológica, un diseñador utiliza un paralelogramo definido por los vectores $\vec{u} = (a, 1)$ y $\vec{v} = (2, a)$. Se sabe que el área de dicho paralelogramo viene dada por el valor absoluto del determinante de la matriz formada por ambos vectores.
Calcula el valor del parámetro $a$ para que el área del logotipo sea de $3$ unidades cuadradas.
Volvé al principio: la panadería puede saber si su matriz tiene inversa mirando solo $ad - bc$. Si da distinto de cero, se puede "deshacer"; si da cero, no.