El método de Gauss

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. Observa que la primera incógnita ya tiene coeficiente $1$, lo que facilita su uso como pivote:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + 2z = 5 \\ x - y - z = -1 \end{cases}$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción de Gauss:

$$ \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x - 5y + 6z = 29 \end{cases} $$

1. a) Escribe la matriz ampliada del sistema y transfórmala, mediante operaciones entre filas, en una matriz escalonada.

1. b) A partir de la matriz escalonada, clasifica el sistema (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) y justifica tu respuesta.

1. c) Si el sistema es compatible, halla su solución.

Dada la siguiente matriz ampliada, que ya ha sido parcialmente transformada mediante el método de Gauss, indica qué operación elemental entre filas realizarías para obtener un cero en la posición marcada con el círculo naranja y escribe cómo quedaría la nueva fila $F_3$.

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & 3 & | & 5 \\ 0 & 2 & 4 & | & 8 \end{pmatrix}$

Para resolver el siguiente sistema, el primer paso del método de Gauss suele ser conseguir que el coeficiente de la $x$ en la primera ecuación sea $1$ o $-1$. ¿Qué transformación elemental realizarías primero para que el cálculo sea más sencillo? Justifica tu respuesta.

$\begin{cases} 3x - 2y + z = 10 \\ x + y - z = 2 \\ 2x + 3y + 2z = 15 \end{cases}$

Un estudiante ha aplicado el método de Gauss a un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y ha llegado a la siguiente matriz escalonada:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 3 & | & 6 \end{pmatrix}$

Finaliza la resolución del sistema calculando los valores de $x$, $y$ y $z$ mediante la sustitución hacia atrás.

Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones según el número de soluciones que presentan tras observar el resultado final de aplicar el método de Gauss en su forma matricial:

1. a) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \\ 0 & 1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$

1. b) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & | & 4 \\ 0 & 2 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 7 \end{pmatrix}$

Aplica el método de Gauss para discutir y resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema resulta ser compatible indeterminado, escribe la solución general en función de un parámetro $\lambda$:

$$ \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + y - z = 2 \\ 4x - y + 3z = 10 \end{cases} $$

Analiza mediante el método de Gauss el siguiente sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas:

$\begin{cases} x - 2y + z = 3 \\ 2x + y - z = 1 \\ x + 3y - 2z = -2 \\ 4x + 2y - 2z = 2 \end{cases}$

La figura muestra la matriz ampliada del sistema, con las columnas de $x$, $y$, $z$ y la de los términos independientes $b$.

Determina razonadamente si el sistema tiene solución. Si es compatible, halla todas sus soluciones. En caso de ser incompatible, identifica qué ecuación o ecuaciones provocan la inconsistencia.

En una tienda de tecnología se están preparando tres tipos de packs de bienvenida para nuevos clientes. El primer pack incluye 1 ratón, 1 teclado y 1 alfombrilla por $35$ pesos. El segundo pack tiene 2 ratones y 1 teclado por $45$ pesos. El tercero incluye 1 ratón, 2 teclados y 1 alfombrilla por $55$ pesos.

Sea $x$ el precio del ratón, $y$ el del teclado y $z$ el de la alfombrilla.

1. a) Escribe el sistema de ecuaciones que representa la situación.

1. b) Escribe la matriz ampliada $(A|B)$ de ese sistema.

Tres amigos van a una cafetería. Luis paga $7\,000$ pesos por $2$ cafés y $1$ tostada. María paga $10\,000$ pesos por $1$ café, $1$ tostada y $1$ jugo. Por último, Juan paga $11\,000$ pesos por $2$ tostadas y $1$ jugo.

Utilizá el método de Gauss para determinar el precio de cada producto (café, tostada y jugo).

En una tienda de deportes se venden tres tipos de pelotas: de fútbol, de básquet y de vóley. Un club realizó tres compras diferentes:

• La primera compra fue de $2$ pelotas de fútbol, $1$ de básquet y $1$ de vóley por $90\,000$ pesos.

• La segunda compra fue de $1$ pelota de fútbol, $2$ de básquet y $3$ de vóley por $120\,000$ pesos.

• La tercera compra fue de $3$ pelotas de fútbol y $3$ de básquet por $150\,000$ pesos.

Utilizá el método de Gauss sobre la matriz ampliada para determinar el precio de cada tipo de pelota.

Resuelve el siguiente sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas aplicando el método de Gauss. Recuerda que debes eliminar las filas que resulten ser combinación lineal de las anteriores durante el proceso de escalonamiento:

$$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + 2z = 8 \\ 3x + y + 3z = 14 \end{cases} $$

Dado el sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} x + y - z = 2 \\ 3x - 2y + 2z = 1 \end{cases}$

1. a) Añade una tercera ecuación de la forma $ax + by + cz = d$ para que el sistema resultante sea compatible determinado con solución $(1, 2, 1)$.
2. b) Añade una tercera ecuación para que el sistema sea incompatible.
3. c) Añade una tercera ecuación para que sea compatible indeterminado.

Explica en cada caso el razonamiento seguido basándote en la estructura de las filas de la matriz aumentada.

Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas:

$\begin{cases} x + y + z + t = 10 \\ 2x - y + z - 2t = -5 \\ x - 2y - z + t = -3 \\ x + y - 2z - 2t = -2 \end{cases}$

Describe paso a paso las operaciones elementales entre filas que utilizas para triangular la matriz.

Aplica el método de Gauss para resolver el siguiente sistema homogéneo. Recuerda que este tipo de sistemas siempre tienen, al menos, la solución trivial:

$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x - y + 3z = 0 \\ 3x + 4z = 0 \end{cases}$

Dado el siguiente sistema dependiente de un valor constante $k$, aplica el método de Gauss para transformarlo en un sistema escalonado. Determina para qué valor de $k$ el sistema es incompatible:

$$ \begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + 3z = 2 \\ 5x + 2y + kz = 5 \end{cases} $$

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$

Utiliza el método de Gauss para discutir la compatibilidad del sistema según los diferentes valores de $k$. En los casos en los que el sistema sea compatible indeterminado, obtén la solución general.

Discute y resuelve el siguiente sistema homogéneo en función del parámetro $a$:

$\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x - ay + z = 0 \\ 2x + y + az = 0 \end{cases}$

Indica para qué valores de $a$ el sistema admite soluciones distintas de la trivial ($x=0, y=0, z=0$) y calcúlalas para dichos valores usando el método de Gauss.

Analiza mediante el método de Gauss la posición relativa de los tres planos representados por las siguientes ecuaciones. Indica si se cortan en un punto, en una recta o si no tienen puntos en común:

$$ \pi_1: x + 2y - z = 1 $$ $$ \pi_2: 2x + y + 2z = 2 $$ $$ \pi_3: 3x + 3y + z = 3 $$