Regla de Laplace
En la escuela organizan una rifa para el viaje de egresados: se venden 200 números y se sortea uno. Si Agustina compró 5 números, ¿qué chances tiene de ganar? Cuando todos los resultados tienen las mismas chances, calcular una probabilidad se reduce a contar: cuántos resultados te sirven y cuántos hay en total. Esa es toda la regla de Laplace. El desafío en 6° año no es la fórmula, que ya conocés, sino contar bien cuando los casos son miles o millones.
Qué significa «al azar»: sucesos equiprobables
Para ver qué pasa en un experimento sencillo, tirá la moneda muchas veces:
Se utiliza una ruleta dividida en $12$ sectores iguales, numerados del $1$ al $12$. Calcula la probabilidad de que al girar la ruleta la flecha se detenga en: a) Un…
Se utiliza una ruleta dividida en $12$ sectores iguales, numerados del $1$ al $12$. Calcula la probabilidad de que al girar la ruleta la flecha se detenga en:
- a) Un número divisible por $3$.
- b) Un número que sea cuadrado perfecto (como $1, 4, 9$).
- c) Un número mayor que $2$ y menor que $7$.
Si elegimos al azar una letra de la palabra ESTADISTICA, determina la probabilidad de los siguientes eventos: a) Que la letra sea una vocal. b) Que la letra sea la S. c)…
Si elegimos al azar una letra de la palabra ESTADISTICA, determina la probabilidad de los siguientes eventos:
- a) Que la letra sea una vocal.
- b) Que la letra sea la S.
- c) Que la letra sea una consonante.
Lanzamos simultáneamente dos monedas equilibradas al aire. a) Escribí el espacio muestral del experimento. b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente una cara?…
Lanzamos simultáneamente dos monedas equilibradas al aire.
- a) Escribí el espacio muestral del experimento.
- b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente una cara?
- c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cruz?
La regla de Laplace: casos favorables sobre casos posibles
En una partida de un juego de rol, un jugador lanza un dado de ocho caras (octaedro) numeradas del $1$ al $8$. Si el dado está perfectamente equilibrado, calcula las…
En una partida de un juego de rol, un jugador lanza un dado de ocho caras (octaedro) numeradas del $1$ al $8$. Si el dado está perfectamente equilibrado, calcula las siguientes probabilidades utilizando la Regla de Laplace:
- a) Obtener un número par.
- b) Obtener un número mayor que $5$.
- c) Obtener un número primo.
De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta al azar. Determiná la probabilidad de los siguientes eventos: a) Que la carta sea un as. b) Que sea una copa.…
De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta al azar. Determiná la probabilidad de los siguientes eventos:
- a) Que la carta sea un as.
- b) Que sea una copa.
- c) Que sea el rey de oros.
Un grupo de estudiantes de 2º de Bachillerato organiza una rifa para el viaje de fin de curso. Han vendido papeletas numeradas del $1$ al $100$. Si el sorteo se realiza…
Un grupo de estudiantes de 2º de Bachillerato organiza una rifa para el viaje de fin de curso. Han vendido papeletas numeradas del $1$ al $100$. Si el sorteo se realiza extrayendo un número al azar, halla la probabilidad de que el número premiado:
- a) Sea un múltiplo de $10$.
- b) Termine en la cifra $7$.
- c) Sea un número menor que $15$.
Suceso contrario, «o» y tablas de contingencia
Muchas veces es más fácil contar de otra manera que ir directo a lo que pide el problema. Tres herramientas:
En un cajón hay $10$ calcetines negros, $6$ calcetines azules y $4$ calcetines blancos, todos ellos sueltos. Si elegimos uno al azar para ir a clase, calcula: a) La…
En un cajón hay $10$ calcetines negros, $6$ calcetines azules y $4$ calcetines blancos, todos ellos sueltos. Si elegimos uno al azar para ir a clase, calcula:
- a) La probabilidad de que sea azul.
- b) La probabilidad de que no sea blanco.
- c) La probabilidad de que sea negro o blanco.
En una clase hay $30$ alumnos, de los cuales $18$ son chicas y $12$ son chicos. Se sabe que a $10$ chicas y a $8$ chicos les gusta el podcast de matemáticas "Derivando".…
En una clase hay $30$ alumnos, de los cuales $18$ son chicas y $12$ son chicos. Se sabe que a $10$ chicas y a $8$ chicos les gusta el podcast de matemáticas "Derivando". Si organizas los datos en una tabla de contingencia (chicas/chicos frente a gusta/no gusta) y eliges un alumno al azar, calcula la probabilidad de que:
- a) Sea un chico.
- b) Sea una chica a la que le guste el podcast.
- c) Sea una persona a la que no le guste el podcast.
Se ha realizado una encuesta en un instituto sobre el uso de redes sociales. De los $100$ estudiantes de 2º de Bachillerato, se sabe que $65$ usan TikTok, $40$ usan…
Se ha realizado una encuesta en un instituto sobre el uso de redes sociales. De los $100$ estudiantes de 2º de Bachillerato, se sabe que $65$ usan TikTok, $40$ usan Instagram y $15$ no usan ninguna de las dos aplicaciones. Si seleccionamos un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que:
-
a) Use ambas redes sociales.
-
b) Use TikTok pero no Instagram.
Tres conjuntos: el diagrama de Venn
Con tres grupos que se superponen conviene dibujar las regiones y completarlas de adentro hacia afuera: primero la intersección de los tres, después las intersecciones de a dos (restando la del medio), después los que están solo en uno.
Se realiza un estudio sobre los hábitos de consumo de contenidos vía streaming entre los jóvenes de una ciudad. Se sabe que: El $65\%$ tiene suscripción a la plataforma…
Se realiza un estudio sobre los hábitos de consumo de contenidos vía streaming entre los jóvenes de una ciudad. Se sabe que:
-
El $65\%$ tiene suscripción a la plataforma N.
-
El $50\%$ tiene suscripción a la plataforma D.
-
El $45\%$ tiene suscripción a la plataforma H.
-
El $30\%$ está suscrito a N y D.
-
El $25\%$ está suscrito a N y H.
-
El $20\%$ está suscrito a D y H.
-
El $10\%$ está suscrito a las tres plataformas.
Si se elige a un joven al azar, calcula la probabilidad de que esté suscrito únicamente a una de las tres plataformas.
Como ayuda, en el diagrama de Venn solo se ha anotado la región de las tres plataformas; completa tú el resto de regiones.
Espacios muestrales con varias etapas
Cuando el experimento tiene varias etapas (dos monedas, dos dados, tres dados), el espacio muestral son las sucesiones ordenadas de resultados, y esas sí son equiprobables. Si hay $a$ resultados en la primera etapa, $b$ en la segunda y $c$ en la tercera, hay $a \cdot b \cdot c$ casos posibles.
En un festival de juegos de mesa, se utilizan dos dados cúbicos equilibrados (con caras del 1 al 6). Un jugador lanza ambos dados a la vez. La tabla recoge la suma de…
En un festival de juegos de mesa, se utilizan dos dados cúbicos equilibrados (con caras del 1 al 6). Un jugador lanza ambos dados a la vez. La tabla recoge la suma de las puntuaciones para cada resultado posible (filas: dado 1; columnas: dado 2).
Calcula la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas sea un número primo mayor que $5$.
En un bombo de lotería hay $10$ bolas numeradas del $0$ al $9$. Se extraen dos bolas sucesivamente con reemplazamiento (se devuelve la primera antes de sacar la…
En un bombo de lotería hay $10$ bolas numeradas del $0$ al $9$. Se extraen dos bolas sucesivamente con reemplazamiento (se devuelve la primera antes de sacar la segunda). Calcula la probabilidad de que el número formado por ambas cifras (considerando la primera como decenas y la segunda como unidades) sea un múltiplo de $4$ o un número mayor que $75$.
Lanzamos tres dados equilibrados de seis caras (numeradas del 1 al 6) y anotamos los resultados como $(d_1, d_2, d_3)$. Calcula la probabilidad de que el producto de los…
Lanzamos tres dados equilibrados de seis caras (numeradas del 1 al 6) y anotamos los resultados como $(d_1, d_2, d_3)$. Calcula la probabilidad de que el producto de los tres números obtenidos sea un cuadrado perfecto (por ejemplo: $1 \cdot 2 \cdot 2 = 4 = 2^2$).
Contar con orden: variaciones y permutaciones
Si hay que armar una clave, un código o una fila, el orden importa. Con $n$ opciones en cada lugar y repeticiones permitidas hay $n^k$ casos. Si no se pueden repetir, el primer lugar tiene $n$ opciones, el segundo $n - 1$, etc.
Para entrar en una aplicación de banca online, se genera un código PIN aleatorio de $4$ cifras (del $0$ al $9$). Calcula la probabilidad de que el código asignado cumpla…
Para entrar en una aplicación de banca online, se genera un código PIN aleatorio de $4$ cifras (del $0$ al $9$). Calcula la probabilidad de que el código asignado cumpla las siguientes condiciones:
-
a) Todas sus cifras sean distintas.
-
b) Sea un número capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda).
Un sistema de seguridad informática requiere una contraseña de 6 caracteres. El usuario debe elegir estos caracteres del conjunto formado por las 26 letras minúsculas…
Un sistema de seguridad informática requiere una contraseña de 6 caracteres. El usuario debe elegir estos caracteres del conjunto formado por las 26 letras minúsculas del alfabeto y los dígitos del 0 al 9. Si el sistema genera automáticamente una contraseña al azar, ¿cuál es la probabilidad de que contenga exactamente 2 dígitos, 4 letras y que, además, no se repita ningún carácter?
Juntos, separados y letras de una palabra
Cuando algunos elementos «tienen que ir juntos», se los pega y se cuentan como un solo bloque; después se multiplica por las formas de ordenar adentro del bloque. Para «separados» conviene usar el suceso contrario: $\text{separados} = \text{todos} - \text{juntos}$.
Un grupo de $5$ amigos (Ana, Borja, Clara, David y Elena) va a posar en fila para una foto de graduación. Si se colocan de forma aleatoria, calcula la probabilidad de…
Un grupo de $5$ amigos (Ana, Borja, Clara, David y Elena) va a posar en fila para una foto de graduación. Si se colocan de forma aleatoria, calcula la probabilidad de que Ana y Elena aparezcan juntas en la foto.
Utilizando las letras de la palabra $ALGORITMO$, se forman todas las permutaciones posibles. Si se elige una de estas ordenaciones al azar, calcula la probabilidad de…
Utilizando las letras de la palabra $ALGORITMO$, se forman todas las permutaciones posibles. Si se elige una de estas ordenaciones al azar, calcula la probabilidad de que la palabra resultante comience y termine por consonante, y que además todas las vocales aparezcan juntas en algún lugar de la cadena.
En una cena de graduación de 2º de Bachillerato, se sientan 8 amigos en una mesa circular. Entre ellos están una pareja, Alicia y Bruno, que han discutido y no quieren…
En una cena de graduación de 2º de Bachillerato, se sientan 8 amigos en una mesa circular. Entre ellos están una pareja, Alicia y Bruno, que han discutido y no quieren sentarse juntos, y otros dos amigos, Nerea y Thiago, que son inseparables y deben sentarse obligatoriamente uno al lado del otro. Si los asientos se asignan de forma totalmente aleatoria, calcula la probabilidad de que se cumplan simultáneamente los deseos de los cuatro amigos.
Contar sin orden: combinaciones
Si lo que importa es qué elementos se eligen y no en qué orden (cartas de una mano, integrantes de un equipo, bolillas extraídas), se usan combinaciones $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$. Sacar varias cosas «a la vez» o «una tras otra sin reposición» da la misma probabilidad, siempre que cuentes numerador y denominador con el mismo criterio.
De una baraja española de $40$ cartas se extraen dos cartas simultáneamente (lo que equivale a extraer una tras otra sin devolución). Calculá la probabilidad de que: a)…
De una baraja española de $40$ cartas se extraen dos cartas simultáneamente (lo que equivale a extraer una tras otra sin devolución). Calculá la probabilidad de que:
-
a) Ambas cartas sean del mismo palo.
-
b) Al menos una de las cartas sea un as.
En una urna de cristal para un sorteo de un local de tecnología hay $12$ bolas blancas y $8$ bolas negras. Se extraen tres bolas al azar, una a una y sin reposición.…
En una urna de cristal para un sorteo de un local de tecnología hay $12$ bolas blancas y $8$ bolas negras. Se extraen tres bolas al azar, una a una y sin reposición. Aplicando la regla de Laplace sobre el espacio muestral de eventos elementales equiprobables, determiná la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean del mismo color.
Se extraen, de forma simultánea, 3 cartas de una baraja española de 40 cartas. Calculá la probabilidad de que la suma de los valores de las tres cartas sea exactamente…
Se extraen, de forma simultánea, 3 cartas de una baraja española de 40 cartas. Calculá la probabilidad de que la suma de los valores de las tres cartas sea exactamente 10. (Para este ejercicio, considerá que las figuras: sota, caballo y rey, tienen valores de 8, 9 y 10 respectivamente, y el as vale 1).
Condiciones del tipo «al menos»
Con «al menos» o «como mínimo» hay dos caminos: sumar por casos, o usar el contrario cuando es más corto.
Si hay varias condiciones juntas (por ejemplo «al menos $3$ de un tipo y al menos $1$ del otro»), separás en casos incompatibles según cuántos hay de cada tipo, contás cada uno con un producto de combinaciones y sumás.
En un club de deportes electrónicos (eSports), se va a seleccionar un equipo de 5 jugadores para un torneo nacional. Al proceso de selección se han presentado 15…
En un club de deportes electrónicos (eSports), se va a seleccionar un equipo de 5 jugadores para un torneo nacional. Al proceso de selección se han presentado 15 candidatos: 8 especialistas en estrategia y 7 especialistas en reflejos. El reglamento del torneo exige que el equipo tenga, al menos, 3 especialistas en estrategia y, como mínimo, 1 especialista en reflejos. Si la directiva elige a los 5 integrantes al azar entre todos los candidatos, calcula la probabilidad de que el equipo cumpla estrictamente con el reglamento.
Probabilidad geométrica: cuando los casos son continuos
Un videojuego de puntería consiste en lanzar un dardo virtual a una diana cuadrada de $20\text{ cm}$ de lado que tiene inscrito un círculo de color naranja. El programa…
Un videojuego de puntería consiste en lanzar un dardo virtual a una diana cuadrada de $20\text{ cm}$ de lado que tiene inscrito un círculo de color naranja. El programa garantiza que el dardo siempre impacta en algún punto del cuadrado de forma aleatoria (equiprobable). Calcula la probabilidad de que el dardo impacte fuera del círculo naranja. (Considera $\pi \approx 3,14$).
Una aplicación de diseño gráfico genera un patrón aleatorio colocando un punto $P$ dentro de un círculo de radio $R = 10 \text{ cm}$. En el centro del círculo se…
Una aplicación de diseño gráfico genera un patrón aleatorio colocando un punto $P$ dentro de un círculo de radio $R = 10 \text{ cm}$. En el centro del círculo se encuentra inscrito un cuadrado de lado $L = 8 \text{ cm}$. El algoritmo de la aplicación considera un "acierto visual" si el punto $P$ cae dentro del cuadrado o en la región del círculo que queda por encima del diámetro horizontal pero fuera del cuadrado. Utilizando el concepto de probabilidad geométrica (extensión de la Regla de Laplace para áreas), calcula la probabilidad de obtener un "acierto visual" en un intento.
Volvé al principio: si Agustina compró $5$ números de los $200$ de la rifa, todos con las mismas chances, su probabilidad de ganar es $\dfrac{5}{200} = 0{,}025$, es decir, $2{,}5\,\%$.