Determinantes de orden 3
Una pyme de Rosario registra en una matriz de 3×3 cuántas unidades vende de tres productos en tres sucursales. Antes de usar esa tabla para resolver un sistema, necesita saber si es «invertible». ¿Cómo se averigua con un solo número? Con el determinante, y para matrices de 3×3 hay un método muy cómodo: la regla de Sarrus.
La regla de Sarrus
Con una matriz de 2×2 había una diagonal que sumaba y otra que restaba. Con 3×3 hay tres diagonales que suman y tres que restan.
En el dibujo, las dos primeras columnas se repiten (en gris) a la derecha de la matriz: así las seis diagonales quedan completas.
¿Por qué funciona así? Cada producto toma un elemento de cada fila y de cada columna, sin repetir. Con tres filas hay $3! = 6$ formas de hacerlo: tres con signo $+$ y tres con signo $-$.
Para no perder ningún producto, escribí de nuevo las dos primeras filas debajo de la matriz (o las dos primeras columnas a la derecha, como en el dibujo): así «ves» las tres diagonales descendentes y las tres ascendentes.
Calcula el valor del siguiente determinante utilizando la Regla de Sarrus. Asegúrate de realizar los productos de las diagonales principales y secundarias con cuidado en…
Calcula el valor del siguiente determinante utilizando la Regla de Sarrus. Asegúrate de realizar los productos de las diagonales principales y secundarias con cuidado en los signos:
$$ \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \end{array} \right| $$Una empresa de desarrollo de aplicaciones para celulares analiza el impacto de tres de sus funciones estrella (A, B y C) en tres mercados diferentes. Los datos de…
Una empresa de desarrollo de aplicaciones para celulares analiza el impacto de tres de sus funciones estrella (A, B y C) en tres mercados diferentes. Los datos de rendimiento se registran en la siguiente matriz $M$:
$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
Calculá el determinante de la matriz $M$ utilizando la regla de Sarrus para determinar si el modelo de análisis es consistente (es decir, si su determinante es distinto de cero).
Atajos: ceros, factor común y filas proporcionales
A veces no hace falta hacer los seis productos. Mirá la matriz antes de calcular.
¿Por qué? En una matriz triangular, al aplicar Sarrus todos los productos menos uno contienen algún $0$; el que sobrevive es el de la diagonal. Y si dos filas son proporcionales, las filas «se aplastan» y no queda ningún volumen: el determinante es $0$.
En una matriz triangular (superior o inferior), el determinante es simplemente el producto de los elementos de su diagonal principal. Calculá el determinante de la…
En una matriz triangular (superior o inferior), el determinante es simplemente el producto de los elementos de su diagonal principal. Calculá el determinante de la siguiente matriz de costos de producción de una empresa:
$$ \left| \begin{array}{ccc} 5 & 8 & 12 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right| $$Calcula el determinante de la siguiente matriz, que representa la cantidad de tres tipos de acciones (Tecnología, Energía, Banca) en tres carteras de inversión…
Calcula el determinante de la siguiente matriz, que representa la cantidad de tres tipos de acciones (Tecnología, Energía, Banca) en tres carteras de inversión diferentes:
$$ \left| \begin{array}{ccc} 10 & 10 & 10 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right| $$(Pista: Intenta sacar factor común de la primera fila antes de aplicar Sarrus para simplificar los números).
Demuestra, utilizando las propiedades de los determinantes, que el siguiente determinante es nulo para cualquier valor de las variables $a, b, c$, sin necesidad de…
Demuestra, utilizando las propiedades de los determinantes, que el siguiente determinante es nulo para cualquier valor de las variables $a, b, c$, sin necesidad de aplicar la regla de Sarrus:
$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ b+c & a+c & a+b \end{vmatrix}$$(Sugerencia: Intenta realizar operaciones elementales entre filas para que aparezcan elementos proporcionales).
Ecuaciones con determinantes
Cuando la matriz tiene una incógnita, el determinante es una expresión en esa incógnita. Se aplica Sarrus, se simplifica y se resuelve la ecuación que queda.
Cuando la ecuación es de segundo grado, usá la fórmula resolvente. Si aparece una función como $\log(x)$, tratala como una incógnita auxiliar: llamá $u = \log(x)$, resolvé para $u$ y después volvé a $x$ (recordá que $\log(x) = u$ significa $x = 10^u$ y que se necesita $x>0$).
Halla el valor de la incógnita $x$ para que el determinante de la siguiente matriz sea nulo: $$ \left| \begin{array}{ccc} x & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}…
Halla el valor de la incógnita $x$ para que el determinante de la siguiente matriz sea nulo:
$$ \left| \begin{array}{ccc} x & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right| = 0 $$Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado planteada a través de un determinante: $\begin{vmatrix} x & 0 & 1 \\ 1 & x & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 5$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado planteada a través de un determinante:
$\begin{vmatrix} x & 0 & 1 \\ 1 & x & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 5$
Resuelve la siguiente ecuación de tercer grado planteada mediante el determinante de una matriz que contiene funciones logarítmicas. Halla el valor de $x$ sabiendo que…
Resuelve la siguiente ecuación de tercer grado planteada mediante el determinante de una matriz que contiene funciones logarítmicas. Halla el valor de $x$ sabiendo que $x > 0$:
$$\begin{vmatrix} \log(x) & 0 & 0 \\ 1 & \log(x) & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 6$$(Pista: Desarrolla el determinante y resuelve la ecuación resultante para la variable $\log(x)$).
Matrices singulares y regulares
El criterio de orden 2 sigue valiendo: si $|A| = 0$ la matriz es singular (no tiene inversa); si $|A| \ne 0$ es regular (sí tiene inversa). Con tres filas, «aplastarse» significa que las filas quedan en un mismo plano en vez de llenar las tres dimensiones.
Si la matriz tiene un parámetro, planteá $|A| = 0$ y resolvé: los valores que encontrás son justamente los que vuelven singular a la matriz. Para todos los demás, la matriz es regular.
Para que un sistema de seguridad digital sea válido, la "matriz de firma" $S$ no debe ser singular (su determinante debe ser distinto de cero). Dada la matriz:…
Para que un sistema de seguridad digital sea válido, la "matriz de firma" $S$ no debe ser singular (su determinante debe ser distinto de cero). Dada la matriz:
$S = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ a & 0 & -1 \end{pmatrix}$
Determina los valores del parámetro real $a$ para los cuales el sistema de seguridad no sería válido.
Una empresa de logística analiza la viabilidad de tres rutas de reparto. La matriz de costos asociados $M$ depende de un factor de fluctuación del precio del combustible…
Una empresa de logística analiza la viabilidad de tres rutas de reparto. La matriz de costos asociados $M$ depende de un factor de fluctuación del precio del combustible $t$:
$$M = \begin{pmatrix} 1 & t & 0 \\ t & 1 & t \\ 1 & t & t \end{pmatrix}$$Se sabe que el sistema logístico se bloquea (la matriz no es invertible) cuando el determinante de $M$ es nulo. Determiná para qué valores de $t$ la empresa tendrá problemas de bloqueo en sus rutas.
Área de un triángulo con determinantes
¿Por qué? Si restás la primera fila a las otras dos, la columna de unos queda con ceros y el determinante se reduce a uno de 2×2 formado por dos lados del triángulo. Ese valor es el área del paralelogramo que armarían esos dos lados, y el triángulo es justo la mitad.
Un mapa digital sitúa tres puntos logísticos en un plano de coordenadas. El área de un triángulo cuyos vértices son $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ y $(x_3, y_3)$ se puede…
Un mapa digital sitúa tres puntos logísticos en un plano de coordenadas. El área de un triángulo cuyos vértices son $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ y $(x_3, y_3)$ se puede calcular mediante la fórmula:
$Área = \frac{1}{2} \cdot | \det(A) |$, donde $A = \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix}$.
Calcula el área del triángulo formado por los puntos $P_1(1, 2)$, $P_2(4, 5)$ y $P_3(2, 8)$ representados en el siguiente gráfico:
En el diseño de un nuevo mapa para un videojuego de estrategia, los vértices de una región triangular protegida vienen dados por las coordenadas de los puntos $P(1, 1)$,…
En el diseño de un nuevo mapa para un videojuego de estrategia, los vértices de una región triangular protegida vienen dados por las coordenadas de los puntos $P(1, 1)$, $Q(3, 5)$ y $R(k, 7)$. El punto $R$ puede estar en cualquier lugar de la recta $y = 7$, según el valor de $k$. El motor del juego exige que la superficie de esta región sea exactamente de $10$ unidades cuadradas para equilibrar las facciones.
Utiliza la fórmula del área mediante determinantes de orden 3 para hallar los posibles valores del parámetro $k$ que cumplen esta condición.
Volvé al principio: la pyme de Rosario se fija si el determinante de su matriz es distinto de cero. Si da $0$, la matriz es singular y no se puede invertir; si no, es regular y sí.