Independencia de eventos
Valentina tira una moneda y después un dado. ¿Que haya salido cara cambia la probabilidad de sacar un 5? No. Por eso podés multiplicar sus probabilidades sin más. Pero cuando los datos vienen de una tabla o de una encuesta, no siempre es evidente si dos eventos son independientes: hay que comprobarlo con una condición matemática precisa, no "a ojo".
Definición de independencia
Una forma de pensarlo: si $A$ y $B$ son independientes, saber que ocurrió $B$ no cambia la probabilidad de $A$, es decir, $P(A/B) = P(A)$. Como $P(A \cap B) = P(B)\cdot P(A/B)$, de ahí sale el producto.
Y si ya sabés que son independientes, la igualdad sirve para calcular. Por ejemplo, tirás una moneda dos veces: la probabilidad de cara y después cruz es $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. También podés despejar: si $P(E\cap F)=0{,}15$ y $P(E)=0{,}3$, entonces $P(F) = 0{,}15 : 0{,}3 = 0{,}5$.
Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio. Se sabe que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cap B) = 0,2$. Determiná analíticamente si los eventos $A$ y $B$…
Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio. Se sabe que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cap B) = 0,2$. Determiná analíticamente si los eventos $A$ y $B$ son independientes.
En un experimento aleatorio, los eventos $C$ y $D$ son independientes. Si $P(C) = 0,6$ y $P(D) = 0,3$, calculá la probabilidad de que ocurran ambos eventos a la vez, es…
En un experimento aleatorio, los eventos $C$ y $D$ son independientes. Si $P(C) = 0,6$ y $P(D) = 0,3$, calculá la probabilidad de que ocurran ambos eventos a la vez, es decir, hallá $P(C \cap D)$.
Los eventos $E$ y $F$ son independientes. Sabiendo que la probabilidad de su intersección es $P(E \cap F) = 0,15$ y que $P(E) = 0,3$, hallá la probabilidad del evento…
Los eventos $E$ y $F$ son independientes. Sabiendo que la probabilidad de su intersección es $P(E \cap F) = 0,15$ y que $P(E) = 0,3$, hallá la probabilidad del evento $F$.
Con reposición y sin reposición
Cuando sacás cartas, bolillas o fichas, que los eventos sean independientes depende de si devolvés lo extraído.
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Con reposición: la composición de la urna no cambia, así que la segunda extracción no depende de la primera. Los eventos son independientes.
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Sin reposición: la urna cambia después de la primera extracción, y la segunda probabilidad queda condicionada por la primera.
También en un diagrama de árbol de dos etapas independientes, la probabilidad de un camino es el producto de las probabilidades de sus ramas.
Se sabe que la probabilidad de que ocurra el evento $G$ es $P(G) = 0,7$ y la probabilidad de que ocurra el evento $H$ sabiendo que ocurrió $G$ es $P(H|G) = 0,4$. Si $G$…
Se sabe que la probabilidad de que ocurra el evento $G$ es $P(G) = 0,7$ y la probabilidad de que ocurra el evento $H$ sabiendo que ocurrió $G$ es $P(H|G) = 0,4$. Si $G$ y $H$ son independientes, ¿cuál es el valor de $P(H)$?
Se lanza una moneda equilibrada dos veces consecutivas. Calculá la probabilidad de obtener "cara" en el primer lanzamiento y "cruz" en el segundo, asumiendo que los…
Se lanza una moneda equilibrada dos veces consecutivas. Calculá la probabilidad de obtener "cara" en el primer lanzamiento y "cruz" en el segundo, asumiendo que los lanzamientos son eventos independientes.
Observá el siguiente diagrama de árbol que modeliza dos experimentos independientes. Calculá la probabilidad de que ocurra el evento $\overline{A}$ en la primera etapa y…
Observá el siguiente diagrama de árbol que modeliza dos experimentos independientes. Calculá la probabilidad de que ocurra el evento $\overline{A}$ en la primera etapa y el evento $B$ en la segunda etapa.
Comprobar independencia con datos
Cuando los datos vienen de una tabla, una encuesta o un enunciado con porcentajes, primero calculá $P(A)$, $P(B)$ y $P(A\cap B)$ a partir de los conteos, y después comparás.
Dos eventos $M$ y $N$ son incompatibles (mutuamente excluyentes) y tienen probabilidades estrictamente mayores que cero. ¿Pueden ser independientes? Justificá tu…
Dos eventos $M$ y $N$ son incompatibles (mutuamente excluyentes) y tienen probabilidades estrictamente mayores que cero. ¿Pueden ser independientes? Justificá tu respuesta utilizando la definición matemática de independencia.
En un estudio estadístico sobre hábitos de lectura, se encuestó a $200$ personas. Los resultados muestran que $120$ leen habitualmente y $80$ no lo hacen. Además, $90$…
En un estudio estadístico sobre hábitos de lectura, se encuestó a $200$ personas. Los resultados muestran que $120$ leen habitualmente y $80$ no lo hacen. Además, $90$ de los encuestados tienen estudios universitarios, de los cuales $54$ leen habitualmente. Comprobá matemáticamente si los eventos "leer habitualmente" y "tener estudios universitarios" son independientes en esta muestra.
Se consideran dos eventos $A$ y $B$ de un mismo espacio muestral tales que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ y $P(A \cup B) = 0,8$. Demostrá analíticamente que los eventos $A$…
Se consideran dos eventos $A$ y $B$ de un mismo espacio muestral tales que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ y $P(A \cup B) = 0,8$. Demostrá analíticamente que los eventos $A$ y $B$ no son independientes y, a continuación, calculá la probabilidad condicional $P(A|B)$.
Unión de eventos independientes
Otra forma muy cómoda es pasar por el contrario: $P(A\cup B) = 1 - P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})$ (no ocurre ninguno).
En una competición de tiro con arco, la arquera Alpha tiene una probabilidad de $0,8$ de dar en el centro de la diana, mientras que el arquero Beta tiene una…
En una competición de tiro con arco, la arquera Alpha tiene una probabilidad de $0,8$ de dar en el centro de la diana, mientras que el arquero Beta tiene una probabilidad de $0,7$. Si ambos disparan una flecha de forma completamente independiente, calcula la probabilidad de que ambos acierten en el centro de la diana.
Dos máquinas, $M_1$ y $M_2$, envasan productos lácteos en una fábrica y funcionan de manera independiente. La probabilidad de que la máquina $M_1$ sufra una avería en un…
Dos máquinas, $M_1$ y $M_2$, envasan productos lácteos en una fábrica y funcionan de manera independiente. La probabilidad de que la máquina $M_1$ sufra una avería en un día de producción es $0,05$, y la de la máquina $M_2$ es $0,08$. Calcula la probabilidad de que, en un día determinado, al menos una de las dos máquinas sufra una avería.
En una ciudad costera, la probabilidad de que llueva un sábado es del $40\%$, y la probabilidad de que llueva un domingo es del $30\%$. Suponiendo que el tiempo del…
En una ciudad costera, la probabilidad de que llueva un sábado es del $40\%$, y la probabilidad de que llueva un domingo es del $30\%$. Suponiendo que el tiempo del domingo es independiente del tiempo del sábado, halla la probabilidad de que llueva durante el fin de semana (es decir, que llueva el sábado, el domingo o ambos días).
Sean $A$ y $B$ dos eventos independientes asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que la probabilidad de la unión es $P(A \cup B) = 0,88$ y la probabilidad de $A$…
Sean $A$ y $B$ dos eventos independientes asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que la probabilidad de la unión es $P(A \cup B) = 0,88$ y la probabilidad de $A$ es $P(A) = 0,6$. Calculá la probabilidad del evento $B$.
Varios componentes independientes
Cuando varios componentes (sensores, máquinas, jugadores) actúan por separado, el producto se extiende a tantos factores como componentes haya.
En un hospital, un paciente se somete a dos pruebas diagnósticas independientes para detectar una alergia respiratoria. La prueba $X$ da un falso negativo (no detecta la…
En un hospital, un paciente se somete a dos pruebas diagnósticas independientes para detectar una alergia respiratoria. La prueba $X$ da un falso negativo (no detecta la alergia cuando el paciente sí la padece) con una probabilidad de $0,15$. La prueba $Y$ da un falso negativo con una probabilidad de $0,10$. Si el paciente analizado es realmente alérgico, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las dos pruebas detecte su alergia?
Un estudiante tiene que realizar un examen de tipo test. La probabilidad de que sepa la respuesta correcta a una pregunta de Historia es $0,7$, y la probabilidad de que…
Un estudiante tiene que realizar un examen de tipo test. La probabilidad de que sepa la respuesta correcta a una pregunta de Historia es $0,7$, y la probabilidad de que sepa la respuesta a una de Geografía es $0,8$. Si le hacen una pregunta de cada materia y sus conocimientos sobre ellas son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que sepa responder exactamente a una de las dos preguntas?
Un sistema de seguridad bancaria de alta tecnología consta de tres sensores de movimiento que operan de forma totalmente independiente. Las probabilidades de que cada…
Un sistema de seguridad bancaria de alta tecnología consta de tres sensores de movimiento que operan de forma totalmente independiente. Las probabilidades de que cada sensor detecte a un intruso que entra en la bóveda son $0,90$, $0,85$ y $0,95$, respectivamente. Calcula la probabilidad de que el sistema detecte a un intruso (es decir, que al menos un sensor se active).
En una academia de idiomas se ofrecen clases de Francés y Alemán. El $60\%$ de los alumnos estudia Francés. Se sabe que los eventos "estudiar Francés" y "estudiar…
En una academia de idiomas se ofrecen clases de Francés y Alemán. El $60\%$ de los alumnos estudia Francés. Se sabe que los eventos "estudiar Francés" y "estudiar Alemán" son totalmente independientes. Si la probabilidad de que un alumno elegido al azar no estudie ninguno de los dos idiomas es del $12\%$, determiná qué porcentaje de los alumnos de la academia estudia Alemán.
Demostrá analíticamente que si dos eventos $A$ y $B$ son independientes, entonces sus eventos contrarios $\overline{A}$ y $\overline{B}$ también son independientes.…
Demostrá analíticamente que si dos eventos $A$ y $B$ son independientes, entonces sus eventos contrarios $\overline{A}$ y $\overline{B}$ también son independientes. Utilizá para ello las propiedades algebraicas de la probabilidad y la definición fundamental de independencia.
Volviendo al principio: la moneda y el dado son independientes porque $P(\text{cara}\cap 5) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{12}$, justo el producto.