Fracciones algebraicas
Si una canilla llena una bañera en $x$ horas y otra la llena en $x+3$ horas, ¿qué parte de la bañera llenan juntas en una hora? La respuesta es $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}$. Esa suma, con la incógnita en el denominador, es una fracción algebraica: se maneja igual que una fracción numérica, pero con polinomios arriba y abajo.
Qué es una fracción algebraica
Calcula el valor numérico de la fracción algebraica $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}$ para $x = -2$.
Calcula el valor numérico de la fracción algebraica $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}$ para $x = -2$.
Fracciones equivalentes: productos cruzados
Dos fracciones numéricas son equivalentes si representan el mismo valor: $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$ porque $2\cdot 6 = 3\cdot 4$. Con fracciones algebraicas pasa lo mismo.
Los productos cruzados también sirven para hallar un polinomio que falta en una igualdad: si $\frac{x+1}{P(x)}=\frac{3}{x}$, entonces $x(x+1)=3P(x)$ y se despeja $P(x)$.
Comprueba, realizando los productos cruzados, si las fracciones algebraicas $\frac{x-3}{x+1}$ y $\frac{x^2-9}{x^2+4x+3}$ son equivalentes.
Comprueba, realizando los productos cruzados, si las fracciones algebraicas $\frac{x-3}{x+1}$ y $\frac{x^2-9}{x^2+4x+3}$ son equivalentes.
Halla el polinomio $P(x)$ que hace que la siguiente igualdad entre fracciones algebraicas sea cierta: $\frac{x^2-9}{P(x)} = \frac{x-3}{x^2+2x}$
Halla el polinomio $P(x)$ que hace que la siguiente igualdad entre fracciones algebraicas sea cierta: $\frac{x^2-9}{P(x)} = \frac{x-3}{x^2+2x}$
Simplificar factorizando
Para simplificar, se factoriza el numerador y el denominador y se cancelan los factores que se repiten arriba y abajo. Es lo mismo que con fracciones numéricas: $\frac{12}{18} = \frac{2\cdot2\cdot3}{2\cdot3\cdot3} = \frac{2}{3}$.
Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo factor común en el numerador y en el denominador: $\frac{4x^3 - 2x^2}{6x^2 - 2x}$
Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo factor común en el numerador y en el denominador: $\frac{4x^3 - 2x^2}{6x^2 - 2x}$
Simplificá la siguiente fracción algebraica aplicando los productos notables: $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$
Simplificá la siguiente fracción algebraica aplicando los productos notables: $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$
Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador: $\frac{x^3 - 4x^2 + 4x}{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}$
Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador: $\frac{x^3 - 4x^2 + 4x}{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}$
Suma y diferencia de cubos
A veces aparecen cubos. Estas dos factorizaciones se comprueban multiplicando:
Fracciones que se simplifican: el teorema del resto
Una fracción $\dfrac{P(x)}{x-a}$ se puede simplificar solo si $x-a$ es un factor de $P(x)$, es decir, si $P(x)$ se divide exactamente por $x-a$. Por el teorema del resto, esto ocurre justo cuando $P(a)=0$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la fracción algebraica $\frac{x^2 - kx + 10}{x-5}$ se pueda simplificar (es decir, que el numerador sea divisible entre el…
Determina el valor del parámetro $k$ para que la fracción algebraica $\frac{x^2 - kx + 10}{x-5}$ se pueda simplificar (es decir, que el numerador sea divisible entre el denominador). Una vez hallado $k$, escribe la expresión simplificada.
Demuestra, operando y simplificando las fracciones algebraicas, que la siguiente expresión es igual a $2ab$: $\frac{a^3-b^3}{a-b} - \frac{a^3+b^3}{a+b}$
Demuestra, operando y simplificando las fracciones algebraicas, que la siguiente expresión es igual a $2ab$: $\frac{a^3-b^3}{a-b} - \frac{a^3+b^3}{a+b}$
El dominio: valores que anulan el denominador
Una fracción no existe si su denominador vale $0$. Esas restricciones se leen en el denominador original, antes de simplificar, y se mantienen aunque algún factor desaparezca al simplificar.
La base de un panel solar rectangular mide $x+5$ metros y su altura mide $x-5$ metros. El lado de un panel solar cuadrado mide $x$ metros. Escribe la fracción algebraica…
La base de un panel solar rectangular mide $x+5$ metros y su altura mide $x-5$ metros. El lado de un panel solar cuadrado mide $x$ metros. Escribe la fracción algebraica que representa el cociente entre el área del panel rectangular y el área del panel cuadrado. Calcula el valor numérico de esta fracción si $x = 10$ metros.
Multiplicar y dividir fracciones algebraicas
Igual que con números: para multiplicar, numerador por numerador y denominador por denominador; para dividir, se multiplica por la fracción inversa. Conviene factorizar antes de multiplicar, para simplificar por el camino.
Multiplica las siguientes fracciones algebraicas y da el resultado lo más simplificado posible: $\frac{x}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2}$
Multiplica las siguientes fracciones algebraicas y da el resultado lo más simplificado posible: $\frac{x}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2}$
Efectúa la división de fracciones algebraicas y simplifica: $\frac{2x+2}{x-1} : \frac{4x+4}{x^2-1}$
Efectúa la división de fracciones algebraicas y simplifica: $\frac{2x+2}{x-1} : \frac{4x+4}{x^2-1}$
El costo total en pesos de fabricar $x$ bicicletas viene dado por el polinomio $C(x) = 3\,000x^2 + 150\,000x$. Los ingresos totales en pesos por vender esas $x$…
El costo total en pesos de fabricar $x$ bicicletas viene dado por el polinomio $C(x) = 3\,000x^2 + 150\,000x$. Los ingresos totales en pesos por vender esas $x$ bicicletas se expresan mediante el polinomio $I(x) = 5\,000x^2 + 200\,000x$. Escribí la fracción algebraica irreducible que representa la razón entre los ingresos y los costos.
Sumar y restar fracciones algebraicas
Hace falta un denominador común, que se busca factorizando cada denominador: el mínimo común múltiplo toma cada factor con su mayor exponente, sin repetirlo. Si los denominadores ya son iguales, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
Realiza la siguiente suma de fracciones algebraicas y simplifica el resultado: $\frac{3x+2}{x-2} + \frac{-x-6}{x-2}$
Realiza la siguiente suma de fracciones algebraicas y simplifica el resultado: $\frac{3x+2}{x-2} + \frac{-x-6}{x-2}$
Efectúa la siguiente operación y simplifica el resultado: $\frac{x^2+5x}{x+3} - \frac{x^2-9}{x+3}$
Efectúa la siguiente operación y simplifica el resultado: $\frac{x^2+5x}{x+3} - \frac{x^2-9}{x+3}$
Realiza las siguientes operaciones reduciendo a común denominador y simplifica el resultado: $\frac{2}{x-1} + \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$
Realiza las siguientes operaciones reduciendo a común denominador y simplifica el resultado: $\frac{2}{x-1} + \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$
Efectúa la siguiente resta de fracciones algebraicas y simplifica al máximo: $\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}$
Efectúa la siguiente resta de fracciones algebraicas y simplifica al máximo: $\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}$
Volvé al principio: con el denominador común $x(x+3)$, lo que llenan las dos canillas juntas en una hora es $\dfrac{x+3}{x(x+3)} + \dfrac{x}{x(x+3)} = \dfrac{2x+3}{x^2+3x}$ de la bañera.
Una canilla de agua caliente tarda $x$ horas en llenar una bañera, mientras que la canilla de agua fría tarda $x+3$ horas. Escribí una fracción algebraica simplificada…
Una canilla de agua caliente tarda $x$ horas en llenar una bañera, mientras que la canilla de agua fría tarda $x+3$ horas. Escribí una fracción algebraica simplificada que represente la parte de la bañera que se llena en una hora si se abren ambas canillas a la vez.
Operaciones combinadas y problemas
Cuando una expresión mezcla varias operaciones, se respeta el orden de siempre: primero los paréntesis, después multiplicaciones y divisiones, y al final sumas y restas. En cada paso, factorizá y simplificá.
En los problemas con velocidades y tiempos, recordá que $\text{tiempo} = \dfrac{\text{distancia}}{\text{velocidad}}$ y que la velocidad media es el espacio total dividido el tiempo total. Los tiempos dan fracciones algebraicas que se suman como cualquier otra. En los problemas de áreas y volúmenes, escribí primero cada magnitud como polinomio factorizado y después armá el cociente.
Realiza la siguiente operación combinada con fracciones algebraicas y simplifica el resultado: $\left( \frac{1}{x} - \frac{2}{x+2} \right) : \frac{x-2}{x^2+2x}$
Realiza la siguiente operación combinada con fracciones algebraicas y simplifica el resultado: $\left( \frac{1}{x} - \frac{2}{x+2} \right) : \frac{x-2}{x^2+2x}$
Un tren recorre una distancia de $120$ km a una velocidad constante de $v$ km/h. En el trayecto de vuelta, debido a la lluvia, su velocidad disminuye en $10$ km/h.…
Un tren recorre una distancia de $120$ km a una velocidad constante de $v$ km/h. En el trayecto de vuelta, debido a la lluvia, su velocidad disminuye en $10$ km/h. Escribe la fracción algebraica que representa el tiempo total del viaje de ida y vuelta en función de $v$, reduciendo a una sola fracción.
Efectúa y simplifica todo lo posible la siguiente expresión: $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1} \cdot \left( \frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x} \right)$
Efectúa y simplifica todo lo posible la siguiente expresión: $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1} \cdot \left( \frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x} \right)$
Simplifica la siguiente expresión algebraica en forma de "castillo de fracciones": $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}$
Simplifica la siguiente expresión algebraica en forma de "castillo de fracciones": $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}$
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartón de dimensiones $x+6$ y $x+4$ centímetros, recortando cuadrados de $2$ cm de lado en…
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartón de dimensiones $x+6$ y $x+4$ centímetros, recortando cuadrados de $2$ cm de lado en las cuatro esquinas y doblando las solapas. Escribe la fracción algebraica irreducible que representa la razón entre el volumen de la caja y el área de su base.
En un laboratorio de química se mezclan $x$ litros de una disolución A, cuyo costo es de $\frac{20\,000}{x}$ pesos por litro, con $x+4$ litros de una disolución B, cuyo…
En un laboratorio de química se mezclan $x$ litros de una disolución A, cuyo costo es de $\frac{20\,000}{x}$ pesos por litro, con $x+4$ litros de una disolución B, cuyo costo es de $\frac{30\,000}{x+4}$ pesos por litro. Escribí la fracción algebraica que representa el precio por litro de la disolución resultante, simplificando la expresión al máximo.
Un atleta corre en una pista circular. Durante la primera mitad del recorrido corre a una velocidad de $v$ m/s, y durante la segunda mitad corre a una velocidad de $v-2$…
Un atleta corre en una pista circular. Durante la primera mitad del recorrido corre a una velocidad de $v$ m/s, y durante la segunda mitad corre a una velocidad de $v-2$ m/s. Sabiendo que la velocidad media de todo el recorrido se calcula como el espacio total dividido entre el tiempo total, demuestra mediante fracciones algebraicas que la velocidad media es $\frac{2v(v-2)}{2v-2}$ m/s.