Inecuaciones con una incógnita
Una cooperativa que fabrica monopatines no gana siempre: según cuánto produzca, tiene ganancias o pérdidas. Saber entre qué cantidades conviene producir es resolver una inecuación. Todas las que vemos acá se resuelven con la misma idea: llevar todo a un lado, factorizar o dejar un único cociente, y estudiar el signo por tramos.
Repaso: inecuaciones de primer grado
Una inecuación se resuelve como una ecuación, con una sola diferencia: si multiplicás o dividís por un número negativo, la desigualdad se da vuelta.
¿Por qué? Porque $2 < 5$, pero $-2 > -5$: al cambiar de signo, el orden en la recta se invierte.
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado: $3(x - 2) + 4 \leq 5x - 8$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado: $3(x - 2) + 4 \leq 5x - 8$. Expresa la solución en forma de intervalo.
La suma del doble de un número natural y $5$ es estrictamente menor que $17$. Plantea la inecuación correspondiente y halla todos los números naturales que la cumplen.
La suma del doble de un número natural y $5$ es estrictamente menor que $17$. Plantea la inecuación correspondiente y halla todos los números naturales que la cumplen.
Resuelve la inecuación con denominadores: $\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} > 1$.
Resuelve la inecuación con denominadores: $\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} > 1$.
Resuelve la siguiente inecuación prestando atención a los signos negativos delante de las fracciones: $\frac{2x - 1}{4} - \frac{3x + 2}{6} \geq \frac{x - 5}{3} - 1$.
Resuelve la siguiente inecuación prestando atención a los signos negativos delante de las fracciones: $\frac{2x - 1}{4} - \frac{3x + 2}{6} \geq \frac{x - 5}{3} - 1$.
Segundo grado: el signo de la parábola
Para resolver $ax^2 + bx + c \lessgtr 0$ pensamos en el gráfico de $y = ax^2 + bx + c$: una parábola. Resolver la inecuación es preguntar en qué tramos del eje $x$ la parábola está por encima (o por debajo) del eje.
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Pasá todo a un miembro, con $0$ del otro lado.
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Hallá las raíces (factoreo o fórmula resolvente).
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Dividí la recta en tramos y estudiá el signo, o mirá si la parábola abre hacia arriba ($a > 0$) o hacia abajo ($a < 0$).
Encuentra los valores de $x$ que verifican la inecuación de segundo grado, la cual ya se presenta factorizada: $(x - 4)(x + 2) < 0$.
Encuentra los valores de $x$ que verifican la inecuación de segundo grado, la cual ya se presenta factorizada: $(x - 4)(x + 2) < 0$.
Resuelve la siguiente inecuación incompleta de segundo grado y representa su solución en la recta real: $2x^2 - 18 \geq 0$.
Resuelve la siguiente inecuación incompleta de segundo grado y representa su solución en la recta real: $2x^2 - 18 \geq 0$.
Halla el intervalo solución de la inecuación de segundo grado: $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.
Halla el intervalo solución de la inecuación de segundo grado: $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.
Sistemas de inecuaciones
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita y expresa la solución como un único intervalo: $2x - 3 < 5$ $3x + 1 \geq -2$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita y expresa la solución como un único intervalo:
$2x - 3 < 5$
$3x + 1 \geq -2$
Estudia y resuelve el siguiente sistema formado por una inecuación de primer grado y otra de segundo grado: $3x - 5 \leq x + 1$ $x^2 - 7x + 10 > 0$
Estudia y resuelve el siguiente sistema formado por una inecuación de primer grado y otra de segundo grado:
$3x - 5 \leq x + 1$
$x^2 - 7x + 10 > 0$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y explica qué particularidad tiene su conjunto solución: $x^2 - 4x + 4 \leq 0$ $2x - 1 > 0$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y explica qué particularidad tiene su conjunto solución:
$x^2 - 4x + 4 \leq 0$
$2x - 1 > 0$
Grado superior: factorizando antes de estudiar el signo
Resuelve la inecuación polinómica de grado superior sacando factor común previamente: $x^3 - 4x^2 - 5x \leq 0$.
Resuelve la inecuación polinómica de grado superior sacando factor común previamente: $x^3 - 4x^2 - 5x \leq 0$.
Los beneficios mensuales de una fábrica de monopatines eléctricos, expresados en miles de pesos, vienen dados por la función $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x$, donde $x$…
Los beneficios mensuales de una fábrica de monopatines eléctricos, expresados en miles de pesos, vienen dados por la función $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x$, donde $x$ representa la cantidad de cientos de monopatines fabricados. ¿Cuántos monopatines deben fabricarse para que la empresa no tenga pérdidas (es decir, para que $B(x) \geq 0$)?
Racionales: estudiar el signo de numerador y denominador
Resuelve la inecuación racional sencilla estudiando el signo del numerador y del denominador: $\frac{x-3}{x+1} \leq 0$.
Resuelve la inecuación racional sencilla estudiando el signo del numerador y del denominador: $\frac{x-3}{x+1} \leq 0$.
Resuelve la inecuación racional: $\frac{2x + 1}{x - 2} > 3$. Recuerda pasar todos los términos a un miembro y operar para obtener un único cociente antes de estudiar los…
Resuelve la inecuación racional: $\frac{2x + 1}{x - 2} > 3$. Recuerda pasar todos los términos a un miembro y operar para obtener un único cociente antes de estudiar los signos.
Resuelve la inecuación racional en la que el numerador y el denominador son polinomios de segundo grado: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \leq 0$.
Resuelve la inecuación racional en la que el numerador y el denominador son polinomios de segundo grado: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \leq 0$.
Resuelve la siguiente inecuación racional, realizando las sumas algebraicas necesarias para expresarla como un único cociente antes de estudiar los signos:…
Resuelve la siguiente inecuación racional, realizando las sumas algebraicas necesarias para expresarla como un único cociente antes de estudiar los signos: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} \geq \frac{3}{4}$.
Inecuaciones con valor absoluto
El valor absoluto $|A|$ es la distancia de $A$ a $0$. Entonces:
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$|A| < k$ significa "$A$ está a menos de $k$ unidades del $0$": $-k < A < k$ (un solo tramo).
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$|A| > k$ significa "$A$ está a más de $k$ unidades del $0$": $A < -k$ o $A > k$ (dos semirrectas).
Resuelve la inecuación con valor absoluto y expresa su solución como unión de intervalos: $|2x - 5| \geq 7$.
Resuelve la inecuación con valor absoluto y expresa su solución como unión de intervalos: $|2x - 5| \geq 7$.
Resuelve la inecuación con valor absoluto que incluye expresiones fraccionarias: $\left| \frac{3x - 1}{2} \right| < 4$.
Resuelve la inecuación con valor absoluto que incluye expresiones fraccionarias: $\left| \frac{3x - 1}{2} \right| < 4$.
Problemas y parámetros
Para resolver un problema con inecuaciones: definí la incógnita, traducí la condición, resolvé y revisá la solución en el contexto (una longitud no puede ser negativa, una cantidad de cosas es un número natural).
Cuando el problema pregunta "¿para qué valores de $k$…?", suele aparecer el discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ de una ecuación de segundo grado:
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$\Delta < 0$: no tiene soluciones reales.
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$\Delta = 0$: una solución doble.
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$\Delta > 0$: dos soluciones distintas.
Esa condición se convierte en una inecuación en $k$.
Se quiere construir un jardín rectangular de modo que su largo sea $4$ metros mayor que su ancho $x$. Si se dispone de suficiente abono para cubrir como máximo…
Se quiere construir un jardín rectangular de modo que su largo sea $4$ metros mayor que su ancho $x$. Si se dispone de suficiente abono para cubrir como máximo $45 \text{ m}^2$, plantea una inecuación y determina los posibles valores que puede tomar el ancho $x$.
Una pequeña empresa de artesanía tiene unos costos fijos mensuales de $300\,000$ pesos y producir cada pulsera de cuero le cuesta $2\,000$ pesos. Si vende cada pulsera a…
Una pequeña empresa de artesanía tiene unos costos fijos mensuales de $300\,000$ pesos y producir cada pulsera de cuero le cuesta $2\,000$ pesos. Si vende cada pulsera a $5\,000$ pesos, ¿cuántas pulseras debe vender como mínimo al mes para empezar a obtener ganancias? Planteá y resolvé la inecuación.
Un furgón de reparto consume $8$ litros de combustible cada $100 \text{ km}$ en carretera y $12$ litros cada $100 \text{ km}$ en ciudad. Si en un trayecto de…
Un furgón de reparto consume $8$ litros de combustible cada $100 \text{ km}$ en carretera y $12$ litros cada $100 \text{ km}$ en ciudad. Si en un trayecto de $500 \text{ km}$ en total ha consumido menos de $45$ litros, ¿cuántos kilómetros como máximo ha podido recorrer por ciudad?
Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación de segundo grado $x^2 - kx + 9 = 0$ carece de soluciones reales. Plantea la inecuación correspondiente…
Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación de segundo grado $x^2 - kx + 9 = 0$ carece de soluciones reales. Plantea la inecuación correspondiente utilizando el discriminante y resuélvela.
Se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba en un experimento escolar. Su altura $h$ en metros en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la…
Se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba en un experimento escolar. Su altura $h$ en metros en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina algebraicamente durante qué intervalo de tiempo el cohete estará por encima de los $17 \text{ m}$ de altura.
En un triángulo isósceles, los lados iguales miden $x \text{ cm}$ y el lado desigual mide $10 \text{ cm}$. Para que el triángulo pueda construirse, la suma de las…
En un triángulo isósceles, los lados iguales miden $x \text{ cm}$ y el lado desigual mide $10 \text{ cm}$. Para que el triángulo pueda construirse, la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera debe ser estrictamente mayor que la longitud del tercer lado. Además, se desea que su perímetro no supere los $36 \text{ cm}$. Plantea un sistema de inecuaciones y halla los posibles valores de $x$.