Representación de funciones
Un taxi en Mar del Plata cobra una bajada de bandera de $\$3.000$ más $\$1.500$ por kilómetro. Esa información se puede dar con una frase, con una fórmula, con una tabla o con un gráfico: son cuatro representaciones de la misma función. En este apartado vas a aprender a pasar de una a otra para las familias de funciones que más vas a usar, y a hacerlo con criterio: primero el dominio, después los puntos que de verdad importan.
De la tabla al gráfico
Hay que distinguir dos dominios. El dominio natural es el conjunto de valores para los que la fórmula tiene sentido. El dominio de la situación es el que además tiene sentido en el problema: si $x$ son kilómetros, no puede ser negativo.
Observá el gráfico de la recta y determiná su pendiente, su ordenada al origen y su expresión algebraica.
Observá el gráfico de la recta y determiná su pendiente, su ordenada al origen y su expresión algebraica.
Halla el dominio de definición de la función radical $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.
Halla el dominio de definición de la función radical $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda en caer al suelo un objeto que se suelta desde una altura $h$ (en metros) se aproxima con la función radical…
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda en caer al suelo un objeto que se suelta desde una altura $h$ (en metros) se aproxima con la función radical $t(h) = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula el dominio de la función en este contexto y determina el tiempo que tarda en caer un objeto soltado desde $4,9$ metros de altura.
Rectas y parábolas
Con los puntos $(0; 1)$ y $(2; 5)$: $m=\dfrac{5-1}{2-0}=2$, $b=1$, entonces $y=2x+1$.
Forma canónica y transformaciones
La forma canónica $f(x)=a(x-h)^2+k$ muestra el vértice $V=(h; k)$ directamente. Es la parábola $y=ax^2$ trasladada: $h$ unidades en horizontal y $k$ en vertical, o sea con el vector $(h; k)$.
Esto es un caso particular de lo que pasa con cualquier función $f$:
| Transformación | Qué le hace al gráfico de $f$ |
|---|---|
| $f(x)+k$ | lo desplaza $k$ unidades en vertical (hacia arriba si $k>0$) |
| $f(x+k)$ | lo desplaza $k$ unidades en horizontal, hacia la izquierda si $k>0$ |
| $-f(x)$ | lo refleja respecto del eje $x$ |
| $f(-x)$ | lo refleja respecto del eje $y$ |
| $-f(-x)$ | lo refleja respecto del origen (las dos reflexiones juntas) |
Por ejemplo, $y=(x+2)^2-3$ es la parábola base $y=x^2$ trasladada con el vector $(-2; -3)$, con vértice en $(-2; -3)$. Y si $f(x)=x^2+x$, el gráfico de $-f(-x)=-x^2+x$ es el de $f$ girado media vuelta alrededor del origen.
Un taxista cobra una bajada de bandera de $3\,000$ pesos y $1\,500$ pesos por cada kilómetro recorrido. Escribí la expresión algebraica de la función que relaciona el…
Un taxista cobra una bajada de bandera de $3\,000$ pesos y $1\,500$ pesos por cada kilómetro recorrido. Escribí la expresión algebraica de la función que relaciona el costo del trayecto con los kilómetros recorridos.
Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola $f(x) = x^2 - 6x + 5$.
Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola $f(x) = x^2 - 6x + 5$.
A partir de la parábola base $y = x^2$ (en trazo discontinuo), se ha realizado una traslación para obtener la parábola en trazo continuo. Escribe la expresión algebraica…
A partir de la parábola base $y = x^2$ (en trazo discontinuo), se ha realizado una traslación para obtener la parábola en trazo continuo. Escribe la expresión algebraica de la nueva parábola e indica el vector de traslación aplicado.
Parábolas que resuelven problemas
Muchos problemas piden "el máximo" o "el mínimo" de algo: eso es buscar un vértice. Y otros dan datos del gráfico y piden la fórmula: cada dato es una ecuación.
El beneficio de la venta de remeras de la fiesta de fin de año, en pesos, viene dado por la función $B(x) = -2\,000x^2 + 120\,000x - 1\,000\,000$, donde $x$ es la…
El beneficio de la venta de remeras de la fiesta de fin de año, en pesos, viene dado por la función $B(x) = -2\,000x^2 + 120\,000x - 1\,000\,000$, donde $x$ es la cantidad de remeras vendidas en cientos. ¿Cuántas remeras deben vender para maximizar el beneficio y cuál es dicho beneficio máximo?
Un granjero dispone de $120$ metros de valla para cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto. Sabiendo que no necesita vallar el lado que da al río, escribe…
Un granjero dispone de $120$ metros de valla para cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto. Sabiendo que no necesita vallar el lado que da al río, escribe la función que proporciona el área del terreno en función de la anchura $x$ perpendicular al río. ¿Qué dimensiones maximizan el área y cuál es el área máxima?
La trayectoria de un proyectil describe una parábola de ecuación $y = ax^2 + bx + c$. Sabiendo que el proyectil se lanza desde el punto $(0, 3)$, alcanza su altura…
La trayectoria de un proyectil describe una parábola de ecuación $y = ax^2 + bx + c$. Sabiendo que el proyectil se lanza desde el punto $(0, 3)$, alcanza su altura máxima en el punto $(2, 7)$ y cae al suelo, halla la expresión algebraica de la parábola y determina a qué distancia horizontal del punto de lanzamiento impactará.
Proporcionalidad inversa y funciones homográficas
Las asíntotas son rectas a las que el gráfico se acerca sin tocarlas. La homográfica es la hipérbola $\frac{a}{x}$ trasladada $k$ unidades en horizontal y $c$ en vertical. Por ahora alcanza con que sepas reconocerla y leer sus asíntotas: la vertical está donde se anula el denominador y la horizontal es el valor al que se acerca $f(x)$ cuando $x$ se hace muy grande.
Indica cuáles son las asíntotas vertical y horizontal de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.
Indica cuáles son las asíntotas vertical y horizontal de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.
El alquiler de un micro para una excursión escolar cuesta $600\,000$ pesos. Escribí la función $C(x)$ que determina el costo por alumno en función del número de alumnos…
El alquiler de un micro para una excursión escolar cuesta $600\,000$ pesos. Escribí la función $C(x)$ que determina el costo por alumno en función del número de alumnos $x$ que asistan. Si a última hora se dan de baja $5$ alumnos, escribí la nueva función de costo por alumno y hallá cuánto pagará cada uno si originalmente iban a ir $30$ alumnos.
La gráfica muestra la intersección entre la recta $y = -x + 5$ y la hipérbola $y = \frac{4}{x}$. Calcula de forma analítica las coordenadas exactas de los puntos de…
La gráfica muestra la intersección entre la recta $y = -x + 5$ y la hipérbola $y = \frac{4}{x}$. Calcula de forma analítica las coordenadas exactas de los puntos de corte $A$ y $B$.
Funciones exponenciales
Una cantidad que se multiplica por el mismo factor en cada paso es exponencial: si se duplica en cada ronda, $b=2$; si crece un $4\,\%$ por año, $b=1{,}04$.
En un concurso de preguntas, los puntos acumulados se duplican en cada ronda superada. Si comienzas con $100$ puntos, escribe la función exponencial $P(r)$ que…
En un concurso de preguntas, los puntos acumulados se duplican en cada ronda superada. Si comienzas con $100$ puntos, escribe la función exponencial $P(r)$ que proporciona los puntos en función del número de rondas $r$ superadas.
Se invierten $5\,000\,000$ pesos en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $4\%$. Escribe la función exponencial que modeliza el capital…
Se invierten $5\,000\,000$ pesos en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $4\%$. Escribe la función exponencial que modeliza el capital acumulado al cabo de $t$ años y calcula el capital disponible tras $5$ años.
La cantidad de Carbono-14 en un resto fósil disminuye exponencialmente según la función $N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{5730}}$, donde $N_0$ es la cantidad inicial y…
La cantidad de Carbono-14 en un resto fósil disminuye exponencialmente según la función $N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{5730}}$, donde $N_0$ es la cantidad inicial y $t$ el tiempo en años. Si un hueso conserva solo el $12,5\%$ de su Carbono-14 original, ¿cuántos años han transcurrido?
Función logarítmica
Por ejemplo, $\log_2 8=3$ porque $2^3=8$, y $\log 1.000=3$. Si el argumento es una expresión, hay que exigir que sea positiva.
Determina el dominio de la función logarítmica $f(x) = \log_3(x - 5)$.
Determina el dominio de la función logarítmica $f(x) = \log_3(x - 5)$.
El nivel de intensidad sonora $L$, en decibelios (dB), se calcula mediante la función logarítmica $L(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la…
El nivel de intensidad sonora $L$, en decibelios (dB), se calcula mediante la función logarítmica $L(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad del sonido e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ es el umbral de audición. Calcula el nivel de intensidad sonora de una conversación normal cuya intensidad es $I = 10^{-6} \text{ W/m}^2$.
Funciones definidas a trozos
Aparecen en tarifas: taxis, estacionamientos, facturas de servicios. Para calcular $f(a)$, primero se ve en qué tramo cae $a$.
Dada la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcula los valores numéricos de $f(-2)$,…
Dada la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcula los valores numéricos de $f(-2)$, $f(0)$ y $f(3)$.
La siguiente gráfica muestra la velocidad de un ciclista en función del tiempo. Determina la expresión algebraica de la función definida a trozos que la representa.
La siguiente gráfica muestra la velocidad de un ciclista en función del tiempo. Determina la expresión algebraica de la función definida a trozos que la representa.
El costo mensual de la factura de agua en un municipio se calcula mediante una función definida por partes: una cuota fija de $10\,000$ pesos que incluye los primeros…
El costo mensual de la factura de agua en un municipio se calcula mediante una función definida por partes: una cuota fija de $10\,000$ pesos que incluye los primeros $15 \text{ m}^3$, un costo de $500$ pesos por $\text{m}^3$ adicional para el consumo entre $15 \text{ m}^3$ y $30 \text{ m}^3$, y un costo de $1\,200$ pesos por cada $\text{m}^3$ que exceda los $30 \text{ m}^3$. Escribí la expresión analítica de la función costo $C(x)$ en función de los metros cúbicos totales consumidos $x$.
Valor absoluto como función a trozos
El valor absoluto de un número es su distancia al $0$: $|a|=a$ si $a\ge 0$ y $|a|=-a$ si $a<0$. Entonces $|g(x)|$ es una función a trozos: deja igual a $g$ donde es positiva o cero y la cambia de signo donde es negativa. Para escribirla hay que saber dónde $g$ es negativa: se buscan las raíces y se mira el signo de la parábola entre ellas.
Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto. Indica en qué intervalos la función cuadrática original era…
Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto. Indica en qué intervalos la función cuadrática original era negativa antes de aplicar el valor absoluto.
Funciones periódicas: seno
Para $f(t)=k+A\operatorname{sen}(Bt)$ (con $t$ en radianes): el valor máximo es $k+A$, el mínimo es $k-A$ y el período es $T=\dfrac{2\pi}{B}$. La recta $y=k$ es la altura "media" y $A$ es la amplitud.
La altura $h(t)$ en metros de una cabina de una noria de feria respecto al suelo en función del tiempo $t$ en minutos viene dada por…
La altura $h(t)$ en metros de una cabina de una noria de feria respecto al suelo en función del tiempo $t$ en minutos viene dada por $h(t) = 12 + 10\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. ¿Cuál es la altura máxima y mínima que alcanza la noria? ¿Cuánto tarda en dar una vuelta completa?
Volvé al principio: la tarifa del taxi es $C(x)=1.500x+3.000$. Con la fórmula, la tabla y el gráfico (una recta con ordenada al origen $3.000$ y pendiente $1.500$) tenés la misma información en tres formatos, y ahora sabés pasar de uno a otro.